221平行四邊形的性質(zhì)

1、平行四邊形平行四邊形本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.22.2.1 平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)做一做做一做 在小學(xué)，在小學(xué)， 我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平行四邊形我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平行四邊形. 在圖在圖2-10 中找出平行四邊形，并把它們勾畫出來中找出平行四邊形，并把它們勾畫出來.圖圖2-10四邊形四邊形平行四邊形平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形平行四邊形.如圖如圖2-11，在四邊形，在四邊形ABCD 中，中，ADBC，ABDC， 則四邊形則四邊形ABCD是平行四邊是平行四邊形形.圖圖2-11 平行四邊形平行四邊形ABCD記作記作“ ABCD

2、” .探究探究圖圖2-12 每位同學(xué)根據(jù)定義畫一個(gè)平行四邊形，測(cè)量平每位同學(xué)根據(jù)定義畫一個(gè)平行四邊形，測(cè)量平行四邊形（或者圖行四邊形（或者圖2-12中的中的ABCD）四條邊的長(zhǎng)度、）四條邊的長(zhǎng)度、 四個(gè)角的大小，由此你能做出什么猜測(cè)？四個(gè)角的大小，由此你能做出什么猜測(cè)？你能證明嗎？你能證明嗎？ 通過觀察和測(cè)量，通過觀察和測(cè)量，我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對(duì)我發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對(duì)邊邊相等、相等、對(duì)角對(duì)角相等相等. 這些猜測(cè)對(duì)嗎？這些猜測(cè)對(duì)嗎？ 下面我們來證明這個(gè)結(jié)論下面我們來證明這個(gè)結(jié)論.平行四邊形的對(duì)邊平行四邊形的對(duì)邊相相等、等、對(duì)角對(duì)角相等相等. 在圖在圖2-13的的ABCD中，連接中，連接AC. 1=

3、2 ， 4=3. ABDC ，BCAD（平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行）（平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行）. .圖圖2-13 四邊形四邊形ABCD為平行四邊形，為平行四邊形，又又 AC =CA， AB = CD，BC = DA，B =D. ABC CDA. 又又1+4=2+ 3. 即即BAD=DCB.圖圖2-13結(jié)論結(jié)論平行四邊形對(duì)邊相等，平行四邊形的對(duì)角相等平行四邊形對(duì)邊相等，平行四邊形的對(duì)角相等.由此得到平行四邊形的性質(zhì)定理由此得到平行四邊形的性質(zhì)定理：例例1 如圖如圖2-14，四邊形，四邊形ABCD和和BCEF均為平行四邊形，均為平行四邊形， AD =2cm，A =65，E =33，求，求E

4、F和和BGC.舉舉例例圖圖2-14 四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，是平行四邊形， AD = BC = 2cm，1=A = 65. 四邊形四邊形BCEF是平行四邊形，是平行四邊形， EF = BC = 2cm ，2 =E = 33. 在在BGC中，中，BGC = 180- -1 - -2 = 82.解解圖圖2-14所以所以AB=CD.如圖如圖2-15，直線，直線l1與與l2平行，平行，AB，CD是是l1與與l2之間的任之間的任意兩條平行線段意兩條平行線段. 試問：試問：AB與與CD是否相等？為什么？是否相等？為什么？圖圖2-15舉舉例例例例2 夾在兩條平行夾在兩條平行線間的平行線段相等線間的

5、平行線段相等.因?yàn)橐驗(yàn)閘1l2，ABCD，所以四邊形所以四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形.解解 1. 如圖，如圖，ABCD的一個(gè)外角為的一個(gè)外角為38，求，求A， B，BCD，D的度數(shù)的度數(shù).練習(xí)練習(xí)答：答： A =142； B= 38 ； BCD= 142； D = 38 .2. 如圖，在如圖，在ABCD中，中，ABC= 68，BE平分平分ABC， 交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)E. AB=2cm，ED=1cm.（1）求）求A，C，D的度數(shù)；的度數(shù)；（2）求）求ABCD的周長(zhǎng)的周長(zhǎng).（1）答：答： A =112； C= 112； D = 68 . AE = AB =2cm, AD= AE+ED=2+

6、1=3 ( (cm).). ABCD的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)=2 ( (AD+ AB) ) =2( (3+2) )=10 ( (cm).).ABE=AEB.（2）解解 由已知可得由已知可得探究探究 如圖如圖2-16，四邊形，四邊形ABCD是平行四邊形，它的兩條是平行四邊形，它的兩條對(duì)角線對(duì)角線AC與與BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O. 比較比較OA ，OC ，OB ，OD 的長(zhǎng)度，有哪些線段相等？你能作出什么猜測(cè)？的長(zhǎng)度，有哪些線段相等？你能作出什么猜測(cè)？圖圖2-16圖圖2-16我發(fā)現(xiàn)我發(fā)現(xiàn)OA=OC，OB=OD.圖圖2-16我猜測(cè)點(diǎn)我猜測(cè)點(diǎn)O 是每條對(duì)角線的中點(diǎn)是每條對(duì)角線的中點(diǎn). 從而從而 1=2，3=4.所以

7、所以 OAB OCD.( (ASA) )于是于是 OA=OC，OB=OD. 這個(gè)猜測(cè)對(duì)嗎？這個(gè)猜測(cè)對(duì)嗎？下面我們來進(jìn)行證明下面我們來進(jìn)行證明.如圖如圖2-17，由于四邊形由于四邊形ABCD是平行四邊形，是平行四邊形，因此因此AB=CD，且，且ABCD.圖圖 2-17結(jié)論結(jié)論平行四邊形的對(duì)角線互相平分平行四邊形的對(duì)角線互相平分.由此得到平行四邊形的性質(zhì)定理由此得到平行四邊形的性質(zhì)定理：如圖如圖2-18，在，在ABCD中，對(duì)角線中，對(duì)角線AC與與BD相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)O，AC=6，BD=10，CD=4.8. 試求試求COD的周長(zhǎng)的周長(zhǎng).例例3113522OCAC,ODBD.又又 CD = 4.8，

8、COD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為3 + 5 + 4.8 = 12.8. AC，BD為平行四邊形為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，的對(duì)角線，解解圖圖2-18舉舉例例如圖如圖2-19，在，在ABCD中，對(duì)角線中，對(duì)角線AC 與與BD相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)O，過點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線的直線MN分別交分別交AD，BC于點(diǎn)于點(diǎn)M，N.例例4求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)O是線段是線段MN的中點(diǎn)的中點(diǎn).圖圖2-19舉舉例例 ADBC， MAO =NCO.又又AOM=CON， AOMCON. OM= ON. AC，BD為為ABCD的對(duì)角線，且相交于點(diǎn)的對(duì)角線，且相交于點(diǎn)O， OA = OC .證明證明圖圖2-19 點(diǎn)點(diǎn)O是線段是線段MN的中點(diǎn)的中

9、點(diǎn). 1. 如圖，如圖，在在ABCD中，中，BC=10cm，AC=8cm， BD=14cm . （1）AOD的周長(zhǎng)；的周長(zhǎng)； （2）ABC與與BCD的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？長(zhǎng)多少？的周長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)？長(zhǎng)多少？練習(xí)練習(xí)答：答：（1）AOD的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是21cm. （2）BCD的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)比ABC 的周長(zhǎng)長(zhǎng)，長(zhǎng)的周長(zhǎng)長(zhǎng)，長(zhǎng)6cm. 答：相等答：相等. 2. 平行四邊形一條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)到另一條對(duì)角線平行四邊形一條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)到另一條對(duì)角線 的距離相等嗎？為什么？的距離相等嗎？為什么？MN證明：如右圖所示，在證明：如右圖所示，在ABCD中，中， DMAC于點(diǎn)于點(diǎn)M，DNAC于點(diǎn)于點(diǎn)N . AC，BD為為A

10、BCD的對(duì)角線，的對(duì)角線， 且相交于點(diǎn)且相交于點(diǎn)O， OB = OD .又又 AOD=COB， RtDOMRtBON. DM = BN.中考中考 試題試題例例1 如圖，在如圖，在ABCD中，中，AC與與BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，點(diǎn)點(diǎn)E是是BC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，OE=1，則，則AB的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是 .解析解析四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，是平行四邊形，OC=OA，又又點(diǎn)點(diǎn)E是是BC邊中點(diǎn)，邊中點(diǎn)， OE為為ABC的中位線，的中位線， AB=2，OE=2.2中考中考 試題試題例例2 如圖，如圖，ABCD的的對(duì)角線對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)，點(diǎn)E是是CD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，ABD的周的周長(zhǎng)為長(zhǎng)為16cm，則則 DOE的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是 cm.解析解析E是是CD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，O是是BD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OE是是BCD的中位線，的中位線， DOEDBC，相似比為，相似比為1:2，又又DBC BDA， DOEBDA，相似比為，相似比為1:2，故故 DOE的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為116=8 cm .2()()8中考中考 試題試題例例3 如圖，在如圖，在ABC