統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)06renew第六講：參數(shù)估計

1、統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)第六講：參數(shù)估計甄峰大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院2013年10月30日特別感謝張宇婷同學(xué)的貢獻！School of Statistics, Renmin University of China1學(xué)習(xí)目標了解參數(shù)估計的基本原理掌握一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法掌握兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法掌握樣本量的確定方法School of Statistics, Renmin University of China2內(nèi)容參數(shù)估計的基本原理一個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計樣本量的確定School of Statistics, Renmin University of China31.0 參數(shù)估計的地位Sch

2、ool of Statistics, Renmin University of China4假設(shè)檢驗參數(shù)估計推斷統(tǒng)計描述統(tǒng)計統(tǒng)計學(xué)方法1.1 參數(shù)估計的基本概念參數(shù)估計：用樣本統(tǒng)計量（q）估計總體參數(shù)（q ）估計量：用來推斷總體參數(shù)的統(tǒng)計量（隨量）估計值：一個具體樣本計算出來的估計量的數(shù)值PopulationSampleRandom samplingSchool of Statistics, Renmin University of China5Statistic ： xs2Parameter ：md 21.2 點估計與區(qū)間估計點估計:用估計量的數(shù)值作為總體參數(shù)的估計值一個總體參數(shù)的估計量可以

3、有多個 。如估計總體方差時：nnå(xå(x - x)2- x)2ii和 i=1n i=1n -1都可以作為估計量缺點：無法給出誤差（可靠性評判）School of Statistics, Renmin University of China61.2 點估計與區(qū)間估計區(qū)間估計：根據(jù)事先確定的置信度1 - a給出總體參數(shù)的一個估計范圍理論基礎(chǔ)：抽樣分布例：某班級平均分數(shù)在7585之間，置信水平是95%School of Statistics, Renmin University of China71.2 點估計與區(qū)間估計對區(qū)間估計的理解 x - m £ Za /2

4、s好的估計量和真實值差距不大：n： Pæ x - mö= a差距大是小概率> Zç sa /2 ÷nèø則：æ x - mPö= 1- a£ Zç sa /2 ÷nèø s £ m £ x + Zs （作為真值m的區(qū)間估計）Þ x - Za 2a 2nnSchool of Statistics, Renmin University of China81.2 總體均值的區(qū)間估計常用置信水平的Za/2 值置信系數(shù)(1- a) 0.90

5、0.950.99置信水平Z a/21.6451.962.5890%95%99%School of Statistics, Renmin University of China91.2 點估計與區(qū)間估計 置信度1 - a的含義： 在同樣的方法得到的所有置信區(qū)間中，有100(1- a)% 的區(qū)間包含總體參數(shù) （真實值）樣本均值的 抽樣分布_xa/2a/2a1 -_X= mmxSchool of Statistics, Renmin University of China101.3 評價估計量的標準：無偏性估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)E(q) = qSchool of Statist

6、ics, Renmin University of China111.3 評價估計量的標準：有效性對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效School of Statistics, Renmin University of China121.3 評價估計量的標準：一致性隨樣本量的增大，估計量的值越來越接近被估計總體參數(shù)School of Statistics, Renmin University of China13內(nèi)容參數(shù)估計的基本原理一個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計樣本量的確定School of Statistics, Renmin University o

7、f China142.0 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計School of Statistics, Renmin University of China15總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值mx比例pp方差s 2s22.1 總體均值的區(qū)間估計大樣本假定條件：總體服從正態(tài)分布,且方差(s) 已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n ³ 30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 Z：z = x - m N (0,1)sn總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為 s ns(s 未知)x ± z或 x ± za 2a 2nSchool of Statistics, Renmin Universit

8、y of China162.1 總體均值的區(qū)間估計大樣本 s n s n£ m £ x + Zx - Zaa22School of Statistics, Renmin University of China17Pæ x - m £ Zö = 1 - aça / 2 ÷ç sn÷èøP ( x - m £ E ) = 1- a2.1 總體均值的區(qū)間估計大樣本例：一家保險公司收集到由36個投保人組成的隨機樣本，得到每個投保人的：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立(投保人90%的置信區(qū)間。

9、School of Statistics, Renmin University of China1836個投保人的數(shù)據(jù)2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322.1 總體均值的區(qū)間估計大樣本s = 7.77x = 39.5s= 39.5 ±1.645´ 7.77x ± za2n36= 39.5 ± 2.13= (37.37, 41.63)School of Statistics, Renmin University of China192.1 總體均值

10、的區(qū)間估計小樣本假定條件：總體服從正態(tài)分布,但方差(s) 未知總體服從正態(tài)分布，小樣本 (n < 30)使用t 分布統(tǒng)計量：t = x - m t(n -1)sn總體均值 m 在1-a置信水平下的置信區(qū)間為：sx ± ta 2nSchool of Statistics, Renmin University of China202.1 總體均值的區(qū)間估計小樣本School of Statistics, Renmin University of China21x - ts£ m £ x + tsn-1,a 2nn-1,a 2næ x - mö

11、P ç sn £ tn-1,a / 2 ÷ = 1- aèøP ( x - m £ E ) = 1- a2.1 總體均值的區(qū)間估計小樣本例：已知某種燈泡的服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用：h)如下。建立該批(燈泡平均使用95%的置信區(qū)間。School of Statistics, Renmin University of China2216燈泡使用的數(shù)據(jù)15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702.1 總體均值的區(qū)間估計小樣本x

12、 = 1490s = 24.77s7x ± ta2n= (1476.8,1503.2)School of Statistics, Renmin University of China232.1 總體均值的區(qū)間估計小樣本用SPSS求置信區(qū)間（小樣本）第1步：選擇【Analyze】下拉菜單，并選擇【Descriptivestatistics-Explore】選項進入主框第2步：在主框中將變量選入【Variables】，點擊【Statistics】，在【Descriptive】下確定所需的置信水平(隱含值是95%) 。點擊【Continue】回到主對話框。點擊【OK】School of S

13、tatistics, Renmin University of China242.1 總體均值的區(qū)間估計小樣本SPSS輸出DescriptivesSchool of Statistics, Renmin University of China25StatisticStd. Errors n燈燈燈燈Mean1490.006.19195% ConfidenceLower BoundInterval for MeanUpper Bound1476.801503.205% Trimmed Mean MedianVarianceStd. Deviation Minimumum RangeInterqua

14、rtile Range SkewnessKurtosis1490.001485.00613.33324.766145015308040.030-1.272.5641.0912.1 總體均值的區(qū)間估計School of Statistics, Renmin University of China26± tæsöa 2 çn ÷èøx2.2 總體比例的區(qū)間估計假定條件：總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似次數(shù))和n(1-p)(失敗次數(shù))均應(yīng)該大于10np(使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z： z =p - p N (0,1)p (1- p

15、)n總體比例p在1-a置信水平下的置信區(qū)間為（ p未知）p(1-p)p ± za 2nSchool of Statistics, Renmin University of China272.2 總體比例的區(qū)間估計 p(1- p) = 65% ±1.96 ´65%(1- 65%)100p ± za 2n= 65% ± 9.35%= (55.65%, 74.35%)School of Statistics, Renmin University of China282.3 總體方差的區(qū)間估計假定總體服從正態(tài)分布總體方差 s 2 的點估計量為s2,且(

16、n -1) s2 c 2(n-1)s 2總體方差在1-a 置信水平下的置信區(qū)間：(n -1) s2s 2c£ ca1-a 2，(n-1) £222，(n-1)(n -1) s2(n -1) s2£ s 2 £cc22a 2，(n-1)1-a 2，(n-1)School of Statistics, Renmin University of China292.3 總體方差的區(qū)間估計圖示：School of Statistics, Renmin University of China302.4 小結(jié)School of Statistics, Renmin U

17、niversity of China31內(nèi)容參數(shù)估計的基本原理一個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計樣本量的確定School of Statistics, Renmin University of China323.0 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計School of Statistics, Renmin University of China33總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值差m1 - m2x1 - x2比例差p1 - p 2p1 - p2方差比s 2s 212s2s2123.1.1 兩個總體均值之差的估計：大樣本假定條件：兩個總體都服從正態(tài)分布，s1、 s2已知若非正態(tài)分布, 可用正態(tài)分布來

18、近似(n1³30和n2³30)兩個樣本是的隨機樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 zz = (x1 - x2 ) - (m1- m2 ) N (0,1)ss212+2n1n2School of Statistics, Renmin University of China343.1.1 兩個總體均值之差的估計：大樣本 s ， s已知時，兩個總體均值之差m -m 在1-a置信水平1212下的置信區(qū)間為:ss2122(x1 - x2 ) ± za+2n1n2 s ， s未知時，兩個總體均值之差m -m 在1-a置信水平1212下的置信區(qū)間為:s2s2(x1 - x2 ) ±

19、; za 1 + 2 2n1n2School of Statistics, Renmin University of China353.1.1 兩個總體均值之差的估計：大樣本例：某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此在兩所中學(xué)抽取兩個隨機樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學(xué)高考英語平均分數(shù)之差95%的置信區(qū)間。School of Statistics, Renmin University of China36兩個樣本的有關(guān)數(shù)據(jù)中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33x1 = 86x2 = 78S1=5.8S2=7.23.1.1 兩個總體均值之差的估計：大樣本 兩個總體均值

20、之差在1-a置信水平下的置信區(qū)間為:s 2s 2( x1 - x2 ) ± za 1 + 2 n22n15.822+ 7.2= (86 - 78) ± 1.96 ´4633= 8 ± 2.97 = (5.03,10.97)兩所中學(xué)高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間為5.0310.97分School of Statistics, Renmin University of China37小樣本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，假定條件：兩個總體都服從正態(tài)分布，s 、 s 已知12方差未知但相等， s 2=s212兩個樣本是的小樣本 (n1<30和n

21、2<30)總體方差的合并估計量：(n -1)s + (n -1)s22sp =211n1 + n22- 22x1 - x2均值之差的抽樣分布標準差為：s2s211pp+= s+pnnnn1212School of Statistics, Renmin University of China38小樣本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，兩個樣本均值之差的標準化：t = (x1 - x2 ) - (m1- m2 ) t(n+ n - 2)1211+nspn12兩個總體均值之差m1-m2在1-a 置信水平下的置信區(qū)間為：æ 1 + 1 ö( x - x ) ±

22、; t(n + n - 2)s2ç n÷a 21212pnè12 øSchool of Statistics, Renmin University of China39小樣本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，例：為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件所需的時間(單位：min)下如表。假定兩種方法組裝的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝所需平均時間差值的置信區(qū)間。School of Statistics, Renmin University of Chin

23、a40兩個方法組裝所需的時間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5小樣本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得:= 19.358s2x = 32.5x = 28.8= 15.996s22121合并估計量為= (12 -1) ´15.996 + (12 -1) ´19.358 = 17.677s2p12 +12 - 2(32.5 - 28.8) ± 2.0739 ´17.

24、677 ´æ 1 + 1 ö = 3.7 ± 3.56ç 1212 ÷èø兩種方法平均時間之差的置信區(qū)間為0.14分鐘7.26分鐘School of Statistics, Renmin University of China41小樣本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，用SPSS求兩個總體參數(shù)的置信區(qū)間：第1步：選擇【Analyze】【Compare Means-IndependentSamples T Test 】進入主框第2步：檢驗變量(零件)選入【Test Variable(s)】, 將分組變量(方法

25、)選入【Grouping Variable(s)】，并選擇【Define Groups】，在【Group1后輸入1】,在【Group2后輸入2】,點擊【Continue】回到主框。點擊【OK】第3步：點擊【Options】，選擇所需的置信水平(隱含值為95%)。點擊【Continue】回到主School of Statistics, Renmin University of China框?！綩K】42小樣本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，SPSS輸出結(jié)果（1）：兩個樣本的描述統(tǒng)計量Group StatisticsSchool of Statistics, Renmin Univers

26、ity of China43組組組組NMeanStd. DeviationStd. Error Mean組組組組12121232.50028.8003.99954.39981.15461.2701小樣本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，SPSS輸出結(jié)果（2）：估計部分School of Statistics, Renmin University of China44小樣本：s1 ¹s 2223.1.2 均值之差，假定條件：兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：s1s2兩個的小樣本(n1<30和n2<30)使用統(tǒng)計量：(x - x ) - (m - m )

27、t =1212 t(v)s2s2 1 + 2 n1n2School of Statistics, Renmin University of China45小樣本：s1 ¹s 2223.1.2 均值之差， 兩個總體均值之差m1-m2在1-a 置信水平下的置信區(qū)間為:s2s2( x1- x2 ) ± ta 1 + 2 2 (v)n1n2s2 ö2æ s2 1 + 2ç÷è n1n2 ø自由度v =(n1)(n2 )222122ss+n1 - 1n2 - 1School of Statistics, Renmin Uni

28、versity of China46小樣本：s1 ¹s 2223.1.2 均值之差，例：沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝所需平均時間差值的置信區(qū)間。School of Statistics, Renmin University of China47兩個方法組裝所需的時間方法1方法228.336.022.631.730.137.232.28.929.038.512.837.634.438.032.128.022.028

29、.830.026.8小樣本：s1 ¹s 2223.1.2 均值之差，SPSS輸出結(jié)果School of Statistics, Renmin University of China483.1.3 均值之差，匹配大樣本假定條件：兩個匹配大樣本(n1³ 30和n2 ³ 30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差md =m1-m2在1-a 置信水平下的置信區(qū)間為：s dd ± za 2nSchool of Statistics, Renmin University of China493.1.4 均值之差，匹配小樣本假定條件：兩個匹配小樣本(n

30、1< 30和n2 < 30)兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差md=m1-m2在1-a 置信水平下的置信區(qū)間為：sdd ± t(n -1)a 2nSchool of Statistics, Renmin University of China50差值的樣本標準差3.1.4 均值之差，匹配小樣本例：由10名學(xué)生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進試，結(jié)果如下表。試建立兩種試卷分數(shù)之差md=m1-m2區(qū)間。95%的置信School of Statistics, Renmin University of China5110名學(xué)生兩套試卷的得分學(xué)號試

31、卷A試卷B差值d193726111489845691741754951-276855138766016985778105539163.1.4 均值之差，匹配小樣本根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得:nånå(di - d )2di110= 6.53 i=1sdd = 11 i=1ndn -110dsd= 11± 2.2622 ´ 6.53d ± t(n -1)a 2n10= 11± 4.67兩種試卷所產(chǎn)生的分數(shù)之差的置信區(qū)間為6.33分15.67分School of Statistics, Renmin University of China523.

32、1.4 均值之差，匹配小樣本用SPSS對配對樣本進行估計：第1步：選擇【Analyze】下拉菜單，并選擇【CompareMeans - Paired- Samples T Test】選項，進入主對話框第2步：將兩個樣本同時選入【Paired Variables】第3步：點擊【Options】，選擇所需的置信水平(隱含值為95%)。點擊【Continue】回到主框?！綩K】School of Statistics, Renmin University of China533.1.4 均值之差，匹配小樣本SPSS輸出結(jié)果School of Statistics, Renmin University

33、 of China543.2 兩個總體比例之差的區(qū)間估計假定條件：兩個總體服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似（n較大）兩個樣本是的n1p1和n1(1-p1)， n2p2和n2(1-p2)，均應(yīng)該大于10兩個總體比例之差p1-p 2在1-a 置信水平下的置信區(qū)間為p1 (1- p1 ) + p2 (1- p2 )( p - p ) ± za 212nn12School of Statistics, Renmin University of China553.2 兩個總體比例之差的區(qū)間估計例：某電視收視率中，農(nóng)村隨機400人，有32%的人收看；城市隨機500人，有45%的人收看。試以95%

34、的置信水平估計城市與農(nóng)村的收視率差別。解：已知 n1=500,n2=400,p1=45%, p2=32%, 1-a =95%, za/2=1.96p1-p 2置信度為95%的置信區(qū)間為45% ´ (1- 45%) + 32% ´ (1- 32%)(45% - 32%) ±1.96 ´500400= 13% ± 6.32% = (6.68% , 19.32%)城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.32%School of Statistics, Renmin University of China563.3 兩個總體方差比的區(qū)間估計用兩

35、個樣本的方差比來：22如果 S1 /S2接近于 1 ,說明兩個總體方差很接近如果 S12/S2遠離 1 ,說明兩個總體方差之間存在差異2總體方差比在1-a置信水平下的置信區(qū)間為：(n -1)s(n -1)s22u c (n1 -1),u c (n2 -1)221122dd2221(n -1)s2-1)/(n111d2u F (n1 -1, n2-1)1(n -1)s2-1)/(n222d22School of Statistics, Renmin University of China573.3 兩個總體方差比的區(qū)間估計ds22u F (n1 -1, n2 -1) 12 ds2221ds22&

36、#163;£ Fa / 2F1-a / 2 12 ds2221ss2s222s2s££ 12 1 12 s22FaF1-a 22School of Statistics, Renmin University of China583.3 兩個總體方差比的區(qū)間估計例：為了研究男女學(xué)生在生活費：元)上的差(異，在某大學(xué)各隨機抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果：= 260= 280= 520= 480s2男學(xué)生： x11女學(xué)生： x2s22試以90%置信水平估計男女學(xué)生生活費區(qū)間。方差比的置信School of Statistics, Renmin Unive

37、rsity of China593.3 兩個總體方差比的區(qū)間估計根據(jù)自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得Fa/2(24)=1.98， F1-a/2(24)=1/1.98=0.505s12 /s2 置信度為90%的置信區(qū)間為2s2260 280£ 260 280£ 1 s221.980.505男女學(xué)生生活費方差比的置信區(qū)間為0.471.84School of Statistics, Renmin University of China603.4 小結(jié)School of Statistics, Renmin University of China61正態(tài)總

38、體內(nèi)容參數(shù)估計的基本原理一個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計樣本量的確定School of Statistics, Renmin University of China624.1 關(guān)于抽樣誤差的幾個概念實際抽樣誤差：樣本估計值與總體真實值之間的絕| x - m | q - q |對離差真實值未知，因此實際抽樣誤差是不可知的樣本估計值隨樣本變化，因此實際抽樣誤差是隨機變量School of Statistics, Renmin University of China634.1 關(guān)于抽樣誤差的幾個概念抽樣平均誤差：即標準誤，反映樣本均值（或比例）與總sq =E(q-q )2，指抽樣平均誤差

39、體均值（比例）的平均差異程度抽樣中可以對抽樣誤差進行= 1- f d 2, f = n= s2xsE(x - m)2=V(x)xnNSchool of Statistics, Renmin University of China644.1 關(guān)于抽樣誤差的幾個概念最大誤差：確定置信區(qū)間時樣本均值（或樣本比例）加減的量，一般用E來表示，置信區(qū)間長度的一半人為確定，者在相應(yīng)置信度下可的誤差水平æ x - mPö= 1- a£ Zç sa /2 ÷nèø s £ m £ x + Zs（作為真值m的區(qū)間估計）

40、22; x - Za 2a 2nnSchool of Statistics, Renmin University of China654.2 必要樣本量的確定影響必要樣本量的因素：V(x) = s= 1- f d 2, f = n2總體標準差xnNæ x - m P£ Zö= 1- a最大誤差ç sa /2 ÷nèø置信度1- a s £ m £ x + Z s nÞ x - Za 2a2n抽樣方式School of Statistics, Renmin University of China664.3 估計總體均值時樣本量的確定一個總體均值 s n)2s 2(zaE = za2n =2E2式中