高等數(shù)學(xué)十五2010新版

1、格林公式定理 設(shè)閉區(qū)域 D 由分段光滑的曲線 L 圍成，函數(shù)P（ x ，y）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有其中 L 是 D 的取正向的邊界曲線。上述公式稱格林公式。這一公式揭示了閉區(qū)域 D 上的二重積分與沿閉區(qū)域 D 的正向邊界曲線 L 上的曲線積分之間的聯(lián)系，利用這一聯(lián)系使得兩種積分的計(jì)算可以相互轉(zhuǎn)化。 （四）例題【 例 1- 3 - 22 】 計(jì)算半徑為 R 、中心角為 2a 的圓弧L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I （線密度 1 ）。【解】 取圓弧的圓心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為 x 軸，并使圓弧位于y軸的右側(cè)（圖 1 一 36 ) ，則 L 的參數(shù)方程為于是【 例 1-

2、3 - 23 】計(jì)算y2dx，其中L是半徑為 a 、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)針?lè)较蚶@行的上半圓周（圖 1 -3-7 ）?！?解】 L 是參數(shù)方程為當(dāng)參數(shù)從 0 變到的曲線弧。因此 五、積分的應(yīng)用（一）定積分的應(yīng)用 1 幾何應(yīng)用 （ 1 ）平面圖形的面積 1 ）直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由曲線 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) g （ x ) ）和直線 x = a 、 x = b所圍成（圖 1-3 - 8 ) ，則其面積2 ）極坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由曲線 （ )及射線a、所圍成（圖 1-3-9 ) ，則其面積（ 2 ）體積 l ）旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)旋轉(zhuǎn)體由曲線 y = f （ x

3、）與直線 x = a 、 x = b 及 x 軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成（圖 1-3 -10 ) ，則其體積（ 3 ）平面曲線的弧長(zhǎng) l ）直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線的方程為 y = f （ x ) （ a x b ) , f （ x ）在 a ，b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)2 ）參數(shù)方程情形設(shè)曲線的參數(shù)方程為 x （ t ) , y （ t ) （at ）, （ t ）、（ t ）在 a, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng)3 ）極坐標(biāo)情形設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為（） （ a ），（ ）在 a ，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長(zhǎng) s =（ 2 ）水壓力設(shè)有平面薄板，鉛直放置水中，取薄板所在平面與水平面的交線為

4、 y 軸，x 軸鉛直向下（圖 1-3 -12 ) ，設(shè)薄板的形狀為則薄板一側(cè)所受的水壓力為其中 為水的密度， g 為重力加速度。（二）二重積分的應(yīng)用 1 曲面的面積設(shè)曲面的方程為 z = f （ x ，y)，在 x Oy面上的投影區(qū)域?yàn)?D , f （x，y）在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面的面積2 平面薄片的質(zhì)量、重心及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)平面薄片占有 x Oy面上的區(qū)域 D ，薄片在 D 上任一點(diǎn) P （ x , y ）處的面密度為（ x , y ) ，則薄片的質(zhì)量為薄片重心的坐標(biāo)為薄片關(guān)于 x 軸、 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（三）例題 【 例 1 -3 -25 】 計(jì)算由兩條拋物線：y2 = x 、

5、 y x2所圍成的圖形的面積?！窘?】 兩條拋物線所圍成的圖形如圖 1-3-13 所示， x 的變化區(qū)間為 0 , 1 ，所求面積為【例 1- 3 -26 】 計(jì)算心形線 a （ 1 + cos ） （ a> 0) 所圍成的圖形的面積。【 解 】 心形線所圍成的圖形如圖 1-3 -14 所示，的變化區(qū)間為 -,。所求面積為【 例1-3-27】計(jì)算由橢圓= 1所圍成的圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為【解 】 這個(gè)旋轉(zhuǎn)體也可看作是由半個(gè)橢圓及 x 軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。 x 的變化區(qū)間為- a , a 。所求體積為故應(yīng)選（ C ）。【例1 - 3 -29】 計(jì)算擺線 x = a（- sin ) ，y a （ 1 cos）的一拱（ 0 2）（圖 l -3-15 ）的長(zhǎng)度?！?解 】 的變化區(qū)間為 0 , 2, x '（） = a （ 1 cos ) ，y（） = asin ，所求弧長(zhǎng)為【 例 1-3 30】 求半徑為 a 的均勻半圓薄