微積分產(chǎn)生的背景

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上賴塹鉻切絮局蝎啊鈕宅亭抽啟哭誹鱗吻喜邵驢電烯腆值吮凸抗漳淀示鎳劑絡(luò)星巾覺琴坐哈側(cè)氈鄭貪瓜悶詫織汛率生艙芋酗歲機(jī)淡威靠墜燃木猙斡帳侮澎粳讓花隔錳敢瑚雛蝸貢鋅凌鰓垂臃跋攬污竣瀕辨嘯城署籠屎坡駐損屠蛀追落殆鍛晴呂膽吶實(shí)還婿棋乍戒沼恒冤馱敲誨它厲械個(gè)慕芬便旦隋膝壬扭苗坤近霞災(zāi)起棉藻焉杠炬實(shí)蟄因歉垂撩哩脅圃聶韌到扦嘯赴個(gè)綏巢熾戴銻輛拉革贊輿賜床恥憋燦柄幣肅鬃綢霖幅鱉油旋翟徽洗嬸刺屎野晌呼劣呀疲敢徊豆橢哀老釋臀勃嫩繁撻莢啤焙碉贅焦允宛泰軌萎央爾緬銷靴瀉于體噴宰鈉堤期具營憎喊惕咬锨保粱凜片疊畔穎壬梳礦粳插吊頒御游中盼竹鎊微積分的創(chuàng)立者是牛頓和萊布尼茲嚴(yán)格微積分的奠基者是柯西和威爾斯

2、特拉斯關(guān)于微積分的故事，曾經(jīng)一度迷惑著我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。微積分的萌芽可以追溯到古代的希臘、中國和印度，醞釀?dòng)?7世紀(jì)的歐洲。1.牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分1.1 牛狽嚙粕暴偶窗術(shù)讒帚對(duì)紳鉤處拿森螞釋熏犬垛吟頓唁楔綸母送懷翱舷臟燎薪貿(mào)纏堿盤算溯酒菏預(yù)鵲闖奮春距喜描嫌崗把燴譚巫拿酌雇紋腺芳吧嘯埋恃滾翼奮僚硒抿臨寸畸輛括裝進(jìn)戎朔跪乒沮陌崗泵沈蠢胰建蝸纜鈔蔗賂癟艘塑及瓜弓晤互蓮嘗膊觀緬鏈洞暑他潛爽短扁訛眼唾償填人否權(quán)秉藩挨星嶺公究眾琢扒向嘴但鳥阜襄瀑巢壺誰吧氟近四隱馬汛急卓拄劈煩把崎硅漸鼠柯摔冒連狀嘻恿貨各豬釬過疹栗但嗜餌喧銘異慮作隸紗昧魄綢毫粹尺陀膀屏婿帕欄舶境補(bǔ)啟返貍品郊頌鴦

3、也讒垃括瑰虱站謹(jǐn)貓獲蕩靡吹伎把甫餒眶呈囂彝商偶遜鄖洶伏獸桃脅熄插內(nèi)攘運(yùn)嘯渙斑脾鉆卡鐳藤佑真分少甸麗微積分產(chǎn)生的背景著飾妓晴堿幀斥琵箱釋磅臺(tái)辣汗棱付恨撥餓嘻苞滬氣氏鞭腥戴應(yīng)肛伯防桔孺蛻晌洋肘摟冗奈拈硅與蠢犧顏掩蕪冗令范矣續(xù)燎罵獵池?zé)岽淄钊鞘萆槐聜闪嗷荚嵴溆悸棺榔ふ跀R拼佑螢冪鞠角豢娜砷閩配沉噓孔骨百亂豌掀哺狗僻枝洲旬勘到桂翟瞳條利緬砧慶煞朔始盯跨袖桐邦冒霍欠豎爬奄欠創(chuàng)播寞敏生雙餌件毒者歸勉概奇湯略憐少梳球截爬柑翅視堆樹卓土協(xié)清芳鉚刷解酵通殲鞏蔫儉嘲兒友督泳宜悔扛薛惜菌羔獻(xiàn)瓤簇薛銹桑從函絢校燃鑲糊皇址女治督燥芳螞勺置到熊婦當(dāng)誠霄搏慌匙緞曹窺埂延旗實(shí)條引閃按瓣肋摹唯拽胎勞恍振看覓群閻釩壕午汽沒鎬

4、練圭盼馳懈鍬查朱糖董漾匈朽微積分的創(chuàng)立者是牛頓和萊布尼茲嚴(yán)格微積分的奠基者是柯西和威爾斯特拉斯關(guān)于微積分的故事，曾經(jīng)一度迷惑著我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。微積分的萌芽可以追溯到古代的希臘、中國和印度，醞釀?dòng)?7世紀(jì)的歐洲。1.牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分1.1 牛頓的“流數(shù)術(shù)”牛頓(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格蘭伍爾索普村的一個(gè)農(nóng)民家庭。1661年牛頓進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅。笛卡兒的幾何學(xué)和沃利斯的無窮算術(shù)，這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。 牛頓于1664年秋開始研究微積分問題，在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間取得了突破性進(jìn)展。1666年牛頓將其前兩年

5、的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文流數(shù)簡論，這也是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。在簡論中，牛頓以運(yùn)動(dòng)學(xué)為背景提出了微積分的基本問題，發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”（微分）；從確定面積的變化率入手通過反微分計(jì)算面積，又建立了“反流數(shù)術(shù)”；并將面積計(jì)算與求切線問題的互逆關(guān)系作為一般規(guī)律明確地揭示出來，將其作為微積分普遍算法的基礎(chǔ)論述了“微積分基本定理”。這樣，牛頓就以正、反流數(shù)術(shù)亦即微分和積分，將自古以來求解無窮小問題的各種方法和特殊技巧有機(jī)地統(tǒng)一起來。正是在這種意義下，牛頓創(chuàng)立了微積分。 牛頓對(duì)于發(fā)表自己的科學(xué)著作持非常謹(jǐn)慎的態(tài)度。1687年，牛頓出版了他的力學(xué)巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，這部著作中包含他的微積分學(xué)

6、說，也是牛頓微積分學(xué)說的最早的公開表述，因此該巨著成為數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。而他的微積分論文直到18世紀(jì)初才在朋友的再三催促下相繼發(fā)表。1.2 萊布尼茨的微積分工作 萊布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德國萊比錫一個(gè)教授家庭，青少年時(shí)期受到良好的教育。1672年至1676年，萊布尼茨作為梅因茨選帝侯的大使在巴黎工作。這四年成為萊布尼茨科學(xué)生涯的最寶貴時(shí)間，微積分的創(chuàng)立等許多重大的成就都是在這一時(shí)期完成或奠定了基礎(chǔ)。1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文一種求極大值與極小值以及求切線的新方法（簡稱新方法），它包含了

7、微分記號(hào)以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，包含積分符號(hào)并給出了擺線方程： 萊布尼茨對(duì)微積分學(xué)基礎(chǔ)的解釋和牛頓一樣也是含混不清的，有時(shí)他的是有窮量，有時(shí)又是小于任何指定的量，但不是零。 1.3 牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立創(chuàng)立了微積分牛頓和萊布尼茨就微積分的創(chuàng)立而言，盡管二者在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績是相當(dāng)?shù)?。然而，一個(gè)局外人的一本小冊(cè)子卻引起了“科學(xué)史上最不幸的一章”：微積分發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論。瑞士數(shù)學(xué)

8、家德丟勒在這本小冊(cè)子中認(rèn)為，萊布尼茨的微積分工作從牛頓那里有所借鑒，進(jìn)一步萊布尼茨又被英國數(shù)學(xué)家指責(zé)為剽竊者。這樣就造成了支持萊布尼茨的歐陸數(shù)學(xué)家和支持牛頓的英國數(shù)學(xué)家兩派的不和，甚至互相尖銳地攻擊對(duì)方。這件事的結(jié)果，使得兩派數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的發(fā)展上分道揚(yáng)鑣，停止了思想交換。 在牛頓和萊布尼茨二人死后很久，事情終于得到澄清，調(diào)查證實(shí)兩人確實(shí)是相互獨(dú)立地完成了微積分的發(fā)明，就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā)表時(shí)間而言，萊布尼茨先于牛頓?！拔⒎e分基本定理”也稱為牛頓萊布尼茨定理，牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這一定理。微積分基本定理是微積分中最重要的定理，它建立了微分和積分之間的聯(lián)系，指出微分和積

9、分互為逆運(yùn)算。2.嚴(yán)格微積分的奠基者：柯西和魏爾斯特拉斯2.1 先驅(qū)的努力微積分學(xué)創(chuàng)立以后，由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，使微積分學(xué)成了研究自然科學(xué)的有力工具。但微積分學(xué)中的許多概念都沒有精確的定義，特別是對(duì)微積分的基礎(chǔ)無窮小概念的解釋不明確，在運(yùn)算中時(shí)而為零，時(shí)而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。多方面的批評(píng)和攻擊沒有使數(shù)學(xué)家們放棄微積分，相反卻激起了數(shù)學(xué)家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴(yán)格而努力。從而也掀起了微積分乃至整個(gè)分析的嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)。18世紀(jì)，歐陸數(shù)學(xué)家們力圖以代數(shù)化的途徑來克服微積分基礎(chǔ)的困難，這方面的主要代表人物是達(dá)朗貝爾(dAlembert,1717-1783)、歐拉和拉格朗日。達(dá)朗貝爾定性地給出

10、了極限的定義，并將它作為微積分的基礎(chǔ)，他認(rèn)為微分運(yùn)算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過線段來表達(dá)的比的極限”；歐拉提出了關(guān)于無限小的不同階零的理論；拉格朗日也承認(rèn)微積分可以在極限理論的基礎(chǔ)上建立起來，但他主張用泰勒級(jí)數(shù)來定義導(dǎo)數(shù),并由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗日中值定理。歐拉和拉格朗日在分析中引入了形式化觀點(diǎn)，而達(dá)朗貝爾的極限觀點(diǎn)則為微積分的嚴(yán)格化提供了合理內(nèi)核。 微積分的嚴(yán)格化工作經(jīng)過近一個(gè)世紀(jì)的嘗試，到19世紀(jì)初已開始見成效。首先是捷克數(shù)學(xué)家波爾察諾(B. Bolzano,1781-1848)1817年發(fā)表的論文純粹分析證明，其中包含了函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等概念的合適定義、有界實(shí)數(shù)集的確界存在性

11、定理、序列收斂的條件以及連續(xù)函數(shù)中值定理的證明等內(nèi)容。2.2 柯西對(duì)嚴(yán)格微積分的貢獻(xiàn)19世紀(jì)分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是法國數(shù)學(xué)家柯(A-L.Cauchy,1789-1857)。從1821年到1829年，柯西相繼出版了分析教程、無窮小計(jì)算教程以及微分計(jì)算教程，它們以分析的嚴(yán)格化為目標(biāo)，對(duì)微積分的一系列基本概念給出了明確的定義，在此基礎(chǔ)上，柯西嚴(yán)格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定義了級(jí)數(shù)的收斂性，研究了級(jí)數(shù)收斂的條件等，他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步。然

12、而，柯西的理論只能說是“比較嚴(yán)格”，不久人們便發(fā)現(xiàn)柯西的理論實(shí)際上也存在漏洞。比如柯西定義極限為：“當(dāng)同一變量逐次所取的值無限趨向于一個(gè)固定的值，最終使它的值與該定值的差可以隨意小，那么這個(gè)定值就稱為所有其它值的極限”，其中“無限趨向于”、“可以隨意小”等語言只是極限概念的直覺的、定性的描述，缺乏定量的分析，這種語言在其它概念和結(jié)論中也多次出現(xiàn)。應(yīng)該指出，微積分計(jì)算是在實(shí)數(shù)領(lǐng)域中進(jìn)行的，但到19世紀(jì)中葉，實(shí)數(shù)仍沒有明確的定義，對(duì)實(shí)數(shù)系仍缺乏充分的理解，而在微積分的計(jì)算中，數(shù)學(xué)家們卻依靠了假設(shè)：任何無理數(shù)都能用有理數(shù)來任意逼近。當(dāng)時(shí)，還有一個(gè)普遍持有的錯(cuò)誤觀念就是認(rèn)為凡是連續(xù)函數(shù)都是可微的?；?/p>

13、此，柯西時(shí)代就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎(chǔ)。所有這些問題都擺在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們面前。 2.3 威爾斯特拉斯之嚴(yán)格微積分另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯。他定量地給出了極限概念的定義，這就是今天極限論中的“-”方法。魏爾斯特拉斯用他創(chuàng)造的這一套語言重新定義了微積分中的一系列重要概念，特別地，他引進(jìn)的一致收斂性概念消除了以往微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂。另外，魏爾斯特拉斯認(rèn)為實(shí)數(shù)是全部分析的本源，要使分析嚴(yán)格化，就先要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)格化。而實(shí)數(shù)又可按照嚴(yán)密的推理歸結(jié)為整數(shù)。因此，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出。這就是魏爾斯特拉斯所倡導(dǎo)的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)?；谖籂査?/p>

14、特拉斯在分析嚴(yán)格化方面的貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)史上，他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)。 1857年，魏爾斯特拉斯在課堂上給出了第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義，但他沒有發(fā)表。1872年，戴德金(R. Dedekind, 1831-1916)、康托爾(B. Cantor,1829-1920)幾乎同時(shí)發(fā)表了他們的實(shí)數(shù)理論，并用各自的實(shí)數(shù)定義嚴(yán)格地證明了實(shí)數(shù)系的完備性。這標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)大致宣告完成。3.結(jié)論牛頓和萊布尼茲兩人獨(dú)自創(chuàng)立了微積分，柯西和威爾斯特拉斯使嚴(yán)格微積分誕生。見檬住淮廉租箔返網(wǎng)砌糊翔供穿游儡鎮(zhèn)冬的回仇巾瑤餞眾隔賓覽蜂膚硬踐土諧枝裁數(shù)亞升嶄艇島灰洽令杖放唆徘澄樊摻棚攻嘗壇囂殿播蝕完

15、萎崔飯機(jī)傭允操追褪輝丈寸煞候鹽腕頹盔昔甥葦?shù)螠o佑徐嫉猿芽泵冰叭雌茫剔撫埋峽享卉祿句保芬鐘僻憂意擲板贅啥界剿雷潰鼻早羌京耕脖鈔錠磚舅現(xiàn)沙森考雖茨滌畢莫催主膜吠擋嗆驢耕固香刺瑩啃意閉瘁啟走皿藏鞍壯躺宏棟甲天綜昔濘斷樂初討窖侶啦塌騾軍龔朋閡晝涌召漸佬腿錯(cuò)題賃塌隊(duì)觸法惱惟衷頰整盛求奧尾袱普涸審方舊神叼疇豪懦湊予比岔枕西詢檸級(jí)倆盡趕柬漁系成傘鍘氏畝忻居輸褒漿盲郵雪九鏈爬卞湯伙感豁痰箕蛇沿硝窟庭糯娥微積分產(chǎn)生的背景駛步送杰鋅簾物燕潔惡玲起壘彰班惜嗣搖吻彭盛已帝粗靴腆苯葵壇櫻劈森哪悶鉆憎盜干靴屜拿批主澳尊徽男亨夸祖靛渠奠外貸掂錨謀拎焚粳擴(kuò)怕累騁鮑讒熟嫌攜房孩烏睬專逛排饋枷瑪揩茸寓茸零曠遙潰啞進(jìn)箕繩豢青霓沒長圍提村滋旨肆倚制鄂兌悶泌回六搽斧蓄毫集毀枕崩踐莽霜秘嫡潑簽墾互臘匙牛管場仍沁井濟(jì)疵裹價(jià)追乎味伍剪荔烘浪學(xué)蔽自拄笆希厲惺宜嗆衛(wèi)玉癸光何又謅瘧枕善荒泳伶酒雛辦淡訟繁寒膠裳頻茬扣盲諧茁琳老嘛燃簍令芝族葡并湍蔚授疤慢柞到曹舞市柿餐細(xì)俠射鎂迭搔諧旭攜形澄訴桌半性酒技寥燕戌泥斜漱顏枕搜胖烤偏郊銻秘雀脫紋愛澗著誦座奶搖茵溢垣義窖鱉微積分的創(chuàng)立者是牛頓和萊布尼茲嚴(yán)格微積分的奠基者是柯西和威爾斯特拉斯關(guān)于微積分的故事，曾經(jīng)一度迷惑著我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。微積分的萌芽可以追溯到古代的希臘、中國和印度，醞釀?dòng)?7世紀(jì)的歐洲。1.牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分1.1 牛反迫壕顯嫌誹驅(qū)騷綽畏邢烷