高二文科數(shù)學(xué)專題五雙曲線

1、專題六-雙曲線一、知識(shí)點(diǎn)匯總定義（其中）標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)軸長焦距=2c,實(shí)軸長2a，虛軸長2b 三者間關(guān)系c2a2b2離心率e且e1漸近線yxyx等軸雙曲線x2y2(0)漸近線方程為：yx.離心率為：e.二、課前熱身：判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，則點(diǎn)C的

2、軌跡是雙曲線()(3)到兩定點(diǎn)F1(3,0)、F2(3,0)的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)M的軌跡是兩條射線()(4)雙曲線方程中a，b分別為實(shí)、虛軸長()(5)方程1(a0，b0)的漸近線方程為yx.()(6)離心率e越大，雙曲線1的漸近線的斜率絕對(duì)值越大()【答案】(1)(2)(3) (4)(5)(6)三、典例分析題型一：雙曲線定義的應(yīng)用例1. （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到A(5,0)的距離與它到B(5,0)的距離的差等于6，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A.1 B.1 C.1(x0) D.1(x0)【解析】由雙曲線的定義得，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支由已知得a3，c5，b4.故P點(diǎn)的軌跡方程為1(x0)，因此選

3、D.【答案】D(2) 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，雙曲線上一點(diǎn)P到F1的距離是12，則P到F2的距離是()A17B22 C7或17 D2或22【解析】由雙曲線方程1得a5，|PF1|PF2|2510.又|PF1|12，|PF2|2（舍）或22.故選B【答案】B(3)已知雙曲線1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線上，且MF1x軸，則F1到直線F2M的距離為()A. B. C. D.【解析】不妨設(shè)點(diǎn)F1(3,0)，容易計(jì)算得出|MF1|，|MF2|MF1|2.解得|MF2|.而|F1F2|6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|F1F2|MF2|d，求得F1到直線F2M的距離d為.故選C變式

4、訓(xùn)練1：（1）已知圓M1：(x4)2y225，圓M2：(x-4)2y21，一動(dòng)圓P與這兩個(gè)圓都外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為_【解】設(shè)動(dòng)圓的半徑是R，則由題意知兩式相減得|PM1|PM2|4|M1M2|8，所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以點(diǎn)M1(4,0)、M2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線中靠近焦點(diǎn)M2(4,0)的一支（2）已知F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_【答案】9【解析】設(shè)右焦點(diǎn)為F，依題意，|PF|PF|4，|PF|PA|PF|4|PA|PF|PA|4|AF|4549.題型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2. 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)a

5、2，經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，焦點(diǎn)在y軸上；(2)與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，它們的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4; (3)求經(jīng)過點(diǎn)(3,0)，(6，3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(4)虛軸長為12，離心率為；(5)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為yx；(6)與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過點(diǎn)M(2，2)【解】(1)因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)由題設(shè)知，a2，且點(diǎn)A(2，5)在雙曲線上，所以解得a220，b216.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(，4)或(，4)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則解得

6、故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(3)設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3,0)，(6，3)，解得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1. (4)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a0，b0)由題意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(5)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由且a3得b.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由且a3得b2.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(6)設(shè)與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2k，將點(diǎn)(2，2)代入得k(2)22.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.變式訓(xùn)練2已知方程1表示的曲線為C.給出以下四個(gè)判斷：當(dāng)1t4時(shí)，曲線C表示橢圓；當(dāng)t4或t

7、1時(shí)，曲線C表示雙曲線；若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1t；若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則t4.其中判斷正確的是_(只填正確命題的序號(hào))【解析】錯(cuò)誤，當(dāng)t時(shí)，曲線C表示圓；正確，若C為雙曲線，則(4t)(t1)0，t1或t4；正確，若C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4tt10.1t；正確，若曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，t4.【答案】題型三：雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題例3. (1)如圖221，雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作直線交雙曲線的左支于點(diǎn)A，B，且|AB|m，則ABF2的周長為_圖221(1)4a2m ，因?yàn)樗詜AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4a.又

8、因?yàn)閨AF1|BF1|AB|m，所以|AF2|BF2|4am.所以ABF2的周長為|AF2|BF2|AB|4a2m.（2）若F1，F(xiàn)2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的點(diǎn)，且|PF1|PF2|32，試求F1PF2的面積【精彩點(diǎn)撥】雙曲線方程|PF1|PF2|2a|PF1|2|PF2|2的值F1PF290SF1PF2【自主解答】由雙曲線方程1，可知a3，b4，c5.由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a6，將此式兩邊平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如圖所示，在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1P

9、F20，F(xiàn)1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.變式訓(xùn)練3（1）若F1，F(xiàn)2是雙曲線8x2y28的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該雙曲線上，且PF1F2是等腰三角形，則PF1F2的周長為_. 【解析】雙曲線8x2y28可化為標(biāo)準(zhǔn)方程x21，所以a1，c3，|F1F2|2c6.因?yàn)辄c(diǎn)P在該雙曲線上，且PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|F1F2|6，或|PF2|F1F2|6，當(dāng)|PF1|6時(shí)，根據(jù)雙曲線的定義有|PF2|PF1|2a624，所以PF1F2的周長為66416；同理當(dāng)|PF2|6時(shí)，PF1F2的周長為66820.【答案】16或20（2）.如圖222，已知雙曲線中c2a，F(xiàn)1，F(xiàn)2為

10、左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的點(diǎn)，F(xiàn)1PF260，SF1PF212.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖222 【解】由題意可知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由于|PF1|PF2|2a，在F1PF2中，由余弦定理得cos 60，所以|PF1|PF2|4(c2a2)4b2，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 602b2b2，從而有b212，所以b212，c2a，結(jié)合c2a2b2，得a24.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.題型四：雙曲線的幾何性質(zhì)例4. (1)求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程. 【解】將原方程轉(zhuǎn)化為1，即1，a3，b2，c，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(3,0)，A2(3

11、,0)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，實(shí)軸長是2a6，虛軸長是2b4，離心率e，漸近線方程yx.(2)已知雙曲線x21(b0)的一條漸近線的方程為y2x，則b_.【解析】由雙曲線x21，得a1，2，b2.【答案】2(3)雙曲線x2y21的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于()A. B. C1 D.(3)雙曲線x2y21的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，漸近線為yx，xy0，頂點(diǎn)到漸近線的距離為d. 選B(4)若實(shí)數(shù)k滿足0k5，則曲線1與曲線1的()A實(shí)半軸長相等 B虛半軸長相等C離心率相等 D焦距相等 (4)因?yàn)?k0，b0)的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為() Ayx By2x Cyx

12、Dyx【解析】由已知，得b1，c，a.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為yxx.【答案】C8已知雙曲線1(a0)的離心率為2，則a()A2 B. C. D1【解析】由題意得e2，2a，a234a2，a21，a1.【答案】D9橢圓1與雙曲線1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是()A. B1或2 C1或 D1【解析】由于a0,0a24，且4a2a2，所以可解得a1，故選D.【答案】D10雙曲線1的離心率e(1,2)，則k的取值范圍是()A(10,0) B(12,0) C(3,0) D(60，12)【解析】雙曲線方程化為1，則a24，b2k，c24k，e，又e(1,2)，12，解得12k0.【答案】B

13、11與曲線1共焦點(diǎn)，且與曲線1共漸近線的雙曲線的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1【解析】根據(jù)橢圓方程可知焦點(diǎn)為(0，5)，(0,5)設(shè)所求雙曲線方程為(0)，即1.由64(36)25，得.故所求雙曲線的方程為1.【答案】A12已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，F(xiàn)1PF260，則|PF1|PF2|()A2 B4 C6 D8【解析】由題意，得|PF1|PF2|2，|F1F2|2.因?yàn)镕1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|8，所以|PF1|

14、PF2|8224.【答案】B13已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且0，|2，則該雙曲線的方程是()A.y21 Bx21 C.1 D.1【解析】由雙曲線定義|MF1|MF2|2a，兩邊平方得：|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2，因?yàn)?，故MF1F2為直角三角形，有|MF1|2|MF2|2(2c)240，而|2，40224a2，a29，b21，所以雙曲線的方程為y21.【答案】A14若點(diǎn)P到點(diǎn)(0，3)與到點(diǎn)(0,3)的距離之差為2，則點(diǎn)P的軌跡方程為_【解析】由題意并結(jié)合雙曲線的定義，可知點(diǎn)P的軌跡方程為雙曲線的上支，且c3,2a2，則a1，

15、b2918，所以點(diǎn)P的軌跡方程為y21(y1)【答案】y21(y1)15若直線x2與雙曲線x21(b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，且AOB的面積為8，則焦距為_【解析】由雙曲線為x21得漸近線為ybx，則交點(diǎn)A(2,2b)，B(2，2b)SAOB24b8，b2.又a21，c2a2b25.焦距2c2.【答案】216(1)已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)且焦距與虛軸長之比為54，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】由題意得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且a3，焦距與虛軸長之比為54，即cb54，解得c5，b4，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.【答案】1(2)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)和Q(6，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_. 【解析】設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，則解得故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.【答案】1(3)以橢圓1短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)A(4，5)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解】由1，得a4，b3，所以短軸兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，又雙曲線過A點(diǎn)，由雙曲線定義得2a|2，a，又c3，從而b2c2a24，又焦點(diǎn)在y軸