高中數(shù)學(xué)教程__數(shù)列專題

1、數(shù)列專題一、 證明等差等比數(shù)列1 等差數(shù)列的證明方法： （1）.定義法：(常數(shù)) （2）.等差中項(xiàng)法：2等比數(shù)列的證明方法：（1）.定義法：(常數(shù)) （2）.等比中項(xiàng)法：例1.設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1），數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為，Tnn2n例2設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式：3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，3，4，）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；解：（1）由a1=S1=

2、1，S2=1+a2，得a2=又3tSn（2t+3）Sn1=3t3tSn1（2t+3）Sn2=3t得3tan（2t+3）an1=0，（n=2，3，）所以an是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.練習(xí)：(2006年山東卷）已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數(shù)列l(wèi)g(1+an)是等比數(shù)列；（2） 設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)；答案.(2),;二通項(xiàng)的求法（1）.利用等差等比的通項(xiàng)公式(2).累加法：例3已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以，（3）.構(gòu)造等差或等比

3、或例4（2006年福建卷）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。即例5已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以練習(xí).已知數(shù)列滿足，且。（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（1）（2）（4）利用例6若和分別表示數(shù)列和的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：2分 當(dāng) 當(dāng)4分練習(xí)：1. 已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得

4、10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2)當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73a1， a3，a15不成等比數(shù)列a13;當(dāng)a1=2時(shí)， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n32（2006年全國(guó)卷I）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：解：（I），解得：所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列所以：得：（其中n為正整數(shù)）（II）所以：（5）累積法 轉(zhuǎn)化為，逐商相乘.例7已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又，練習(xí)：1.已知，求。解：

5、。2（2004，全國(guó)I,理）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng)解：由已知，得，用此式減去已知式，得當(dāng)時(shí)，即，又，將以上n個(gè)式子相乘，得（6）倒數(shù)變形：,兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例8：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，練習(xí)：已知數(shù)列an滿足：a1，且an求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：將條件變?yōu)椋?，因此1為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從而1，據(jù)此得an（n1）三數(shù)列求和1、等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、錯(cuò)位相減法求和 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例9 求和：解：由題可知，設(shè)（設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求

6、和公式得：。練習(xí)： 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè)得4、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例10求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得又由可得：.+得： 5、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例11 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得（分組）當(dāng)a1時(shí)，（分組求和）當(dāng)時(shí)，6、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)

7、法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）（1）為等差數(shù)列，（2）例12 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè)，則 例13 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和： 練習(xí)：1（理）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足 。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）(理)若，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求 （文）若，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證Tn3/4解：（1）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足則 （）相減得： （） 又當(dāng)n=1時(shí)， ， 是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列 （）（2）=2已知數(shù)列：求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求它的公差設(shè)，求的和。解：由條件，；故為等差數(shù)列，公差又知3已知點(diǎn)列在直線l：y = 2x + 1上，P1為直線l與 y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列an的公差為. （）求an、bn的通項(xiàng)公式； （）（理）若數(shù)列滿足：