高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 132 極大值與極小值習(xí)題 蘇教版選修22

1、1.3.2極大值與極小值明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.了解函數(shù)極值的概念，能從幾何方面理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.掌握函數(shù)極值的判定及函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.3.掌握用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的極值1極值的概念(1)極大值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb處附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0，則把f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值(2)極小值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa處附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則把f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極

2、小值函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值2極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系xx1左側(cè)x1x1右側(cè)f(x)f(x)>0f(x)0f(x)<0f(x)增()極大值f(x1)減()3.極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系xx2左側(cè)x2x2右側(cè)f(x)f(x)<0f(x)0f(x)>0f(x)減()極小值f(x2)增()情境導(dǎo)學(xué)在必修1中，我們研究了函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值與最小值問題但函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)附近，也存在著哪一點(diǎn)的函數(shù)值大，哪一點(diǎn)的函數(shù)值小的問題，如何利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來判斷函數(shù)在某點(diǎn)附近函數(shù)值的大小問題？又如何求出這些值？這就是本節(jié)我們要研究的主要內(nèi)容探究點(diǎn)一函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系思考1如圖，表

3、示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)4.9t26.5t10的圖象，觀察發(fā)現(xiàn)，ta時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大那么，函數(shù)h(t)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是什么？此點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？答函數(shù)h(t)在點(diǎn)ta處h(a)0.在ta的附近，當(dāng)t<a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞增，h(t)>0；當(dāng)t>a時(shí)，函數(shù)h(t)單調(diào)遞減，h(t)<0.思考2如圖觀察，函數(shù)yf(x)在d、e、f、g、h、i等點(diǎn)處的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？yf(x)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，yf(x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？答以d、e兩點(diǎn)為例，函數(shù)

4、yf(x)在點(diǎn)xd處的函數(shù)值f(d)比它在點(diǎn)xd附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(d)0；在xd的附近的左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)0.類似地，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xe處的函數(shù)值f(e)比它在xe附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(e)0；在xe附近的左側(cè)f(x)>0，右側(cè)f(x)<0.思考3函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值和極小值是唯一的嗎？答函數(shù)的極大值與極小值并無確定的大小關(guān)系，一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的極大值或極小值可以不止一個(gè)思考4若某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，那么，此點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？舉例說明答不一定可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，但導(dǎo)數(shù)值為零

5、的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在x0兩側(cè)f(x)的符號(hào)不同例如，函數(shù)f(x)x3可導(dǎo)，且在x0處滿足f(0)0，但由于當(dāng)x<0和x>0時(shí)均有f(x)>0，所以x0不是函數(shù)f(x)x3的極值點(diǎn)例1求函數(shù)f(x)x34x4的極值解f(x)x24.解方程x240，得x12，x22.由f(x)>0，得x<2或x>2；由f(x)<0，得2<x<2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由表可知：當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值

6、f(2)；當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極小值f(2).反思與感悟求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格檢測(cè)f(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值跟蹤訓(xùn)練 1求函數(shù)f(x)3ln x的極值解函數(shù)f(x)3ln x的定義域?yàn)?0，)，f(x).令f(x)0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1

7、(1，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減3單調(diào)遞增因此，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值f(1)3.探究點(diǎn)二已知函數(shù)極值求參數(shù)的值思考已知函數(shù)的極值，如何求函數(shù)解析式中的參數(shù)？答解這類問題，通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件，所以必須對(duì)求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合函數(shù)取得極值的條件例 2已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值解因?yàn)閒(x)在x1時(shí)有極值0，且f(x)3x26axb，所以即解之得或當(dāng)a1，b3時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(

8、x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去當(dāng)a2，b9時(shí)，f(x)3x212x93(x1)(x3)當(dāng)x(3，1)時(shí)，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)在x1時(shí)取得極小值，因此a2，b9.反思與感悟(1)利用函數(shù)的極值確定參數(shù)的值，常根據(jù)極值處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2)因?yàn)椤皩?dǎo)數(shù)值等于零”不是“此點(diǎn)取得極值”的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后，必須驗(yàn)證根的合理性跟蹤訓(xùn)練2設(shè)當(dāng)x1與x2時(shí)，函數(shù)f(x)aln xbx2x取得極值(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)判斷當(dāng)x1，x2時(shí)函數(shù)f(x)取得極大值還是極小值，并說明理由解(1)f(x)aln

9、 xbx2x，f(x)2bx1.由極值點(diǎn)的必要條件可知：f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解方程組得，a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x，且函數(shù)f(x)ln xx2x的定義域是(0，)，f(x)x1x1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0；所以，x1時(shí)函數(shù)f(x)取得極小值，x2時(shí)函數(shù)f(x)取得極大值探究點(diǎn)三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例 3設(shè)函數(shù)f(x)x36x5，xR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x的方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2

10、.因?yàn)楫?dāng)x>或x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0.所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)和(，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(，)當(dāng)x時(shí)，f(x)有極大值54；當(dāng)x時(shí)，f(x)有極小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示所以，當(dāng)54a54時(shí)，直線ya與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程f(x)a有三個(gè)不同的實(shí)根反思與感悟用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù)，是一種很有效的方法它通過函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷方程根的個(gè)數(shù)跟蹤訓(xùn)練3若函數(shù)f(x)2x36xk在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)k的取值范圍解f(x)2x36xk，則f(x)

11、6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是單調(diào)減函數(shù)，f(x)在(，1)和(1，)上是單調(diào)增函數(shù)f(x)的極大值為f(1)4k，f(x)的極小值為f(1)4k.要使函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需4k<0或4k>0(如圖所示)或即k<4或k>4.k的取值范圍是(，4)(4，)1“函數(shù)yf(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)取得極值”的_條件答案必要不充分解析對(duì)于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0處取極值，反之成立2下列函數(shù)存在極值的是_(填序號(hào))y；yxex；yx3x22x3；yx3.答案解析中f(x)，

12、令f(x)0無解，中函數(shù)無極值中f(x)1ex，令f(x)0可得x0.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0.yf(x)在x0處取極大值，f(0)1.中f(x)3x22x2，42420<0.yf(x)無極值也無極值3已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為_答案a<3或a>6解析f(x)3x22ax(a6)，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，那么(2a)24×3×(a6)>0，解得a>6或a<3.4直線ya與函數(shù)yx33x的圖象有三個(gè)相異的交點(diǎn)，則a的取值范圍是_答案2<

13、;a<2解析f(x)3x23.令f(x)0可以得到x1或x1，f(1)2，f(1)2，2<a<2.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處取得極值的充要條件是f(x0)0且在xx0兩側(cè)f(x)符號(hào)相反2利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖象的交點(diǎn)問題.一、基礎(chǔ)過關(guān)1.函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?a，b)，yf(x)的圖象如圖，則函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)取得極小值的點(diǎn)有_個(gè)答案1解析當(dāng)滿足f(x)0的點(diǎn)，左側(cè)f(x)<0，右側(cè)f(x)>0時(shí)，該點(diǎn)為極小值點(diǎn)，觀察題圖，只有一個(gè)極小值點(diǎn)2下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的

14、是_(填序號(hào))導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的極小值一定小于它的極大值；函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值；若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)答案解析由極值的概念可知只有正確3若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值為_答案9解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1處有極值，f(1)122a2b0，ab6.又a>0，b>0，ab2，26，ab9，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)等號(hào)成立，ab的最大值為9.4函數(shù)yx33x29x(2<x<2)的極大值為_答案5解析由y3x26x90

15、，得x1或x3，當(dāng)x<1或x>3時(shí)，y>0.當(dāng)1<x<3時(shí)，y<0.故當(dāng)x1(2<x<2)時(shí)，函數(shù)有極大值5.5函數(shù)f(x)ax3bx在x1處有極值2，則a、b的值分別為_、_.答案13解析因?yàn)閒(x)3ax2b，所以f(1)3ab0.又x1時(shí)有極值2，所以ab2.由解得a1，b3.6若函數(shù)yx33axa在(1,2)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案1<a<4解析y3x23a，當(dāng)a0時(shí)，y0恒成立，函數(shù)yx33axa為單調(diào)函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)a>0時(shí)，y3x23a0x±，不難分析，當(dāng)1<<2，即1&

16、lt;a<4時(shí)，函數(shù)yx33axa在(1,2)內(nèi)有極小值7求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)；(2)f(x)x2ex.解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，1)(1，)f(x)，令f(x)0，得x11，x22.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,1)1(1,2)2(2)，f(x)00f(x)單調(diào)遞增單調(diào)減遞單調(diào)遞增3單調(diào)遞增故當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極大值，并且極大值為f(1)，無極小值(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)2xexx2·2xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)

17、f(x)00f(x)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增4e2單調(diào)遞減由上表可以看出，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)有極小值，且為f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值，且為f(2)4e2.二、能力提升8設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)xx0(x00)時(shí)f(x)取得極大值，以下結(jié)論一定正確的是_(填序號(hào))xR，f(x)f(x0)；當(dāng)xx0時(shí)f(x)取得極小值；當(dāng)xx0時(shí)f(x)取得極小值；當(dāng)xx0時(shí)f(x)取得極小值答案解析錯(cuò)，因?yàn)闃O大值未必是最大值錯(cuò)，因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)xx0時(shí)f(x)取得極大值錯(cuò)，函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，當(dāng)xx0時(shí)f(x)取得極小值對(duì)，函數(shù)yf(x)

18、與yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)xx0時(shí)yf(x)取得極小值9.函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x3既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)(2，)解析f(x)3x26ax3(a2)，令3x26ax3(a2)0，即x22axa20，函數(shù)f(x)有極大值和極小值，方程x22axa20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即4a24a80，解得a2或a1.10.如果函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)yf(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)yf(x)有極小值；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)yf(x)有極大值則上述判斷

19、正確的是_(填序號(hào))答案解析當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)<0，所以f(x)在(，2)上為減函數(shù)，同理f(x)在(2,4)上為減函數(shù)，在(2,2)上是增函數(shù)，在(4，)上為增函數(shù)，所以可排除和，可選擇.由于函數(shù)在x2的左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，所以當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值；而在x的左右兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是正數(shù)，故函數(shù)在x的左右兩側(cè)均為增函數(shù)，所以x時(shí)函數(shù)無極值排除和.11已知函數(shù)f(x)x3mx22m2x4(m為常數(shù)，且m>0)有極大值，求m的值解f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，則xm或xm.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，m)mmf(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增f(x)極大值f(m)m3m32m34，m1.12.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的極值；(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線yf(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，則x或x1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x()，(，1)1(1，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增f(x)的極大值是f()a，極小值是f(1)a1.(2)函數(shù)f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可