高一數(shù)學(xué)高一數(shù)學(xué)下解斜三角形解析及答案

1、. . . .高一數(shù)學(xué)下第5章解斜三角形解析及答案鞏固基礎(chǔ)一、自主梳理 1.正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圓半徑. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=. 3.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,S=Sr(S=,r為內(nèi)切圓半徑)=(R為外接圓半徑). 4.在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=si

2、n, sin=cos 在ABC中，熟記并會(huì)證明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B=60°； (3)ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列. 7.解三角形常見的四種類型 (1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180°及=，可求出角C，再求b、c. (2)已知兩邊b、c與其夾角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C. (3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知兩邊a、b及其中一邊的對(duì)角A，由正

3、弦定理=，求出另一邊b的對(duì)角B，由C=-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通過=求B時(shí)，可能出一解，兩解或無解的情況，其判斷方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<ba>bsinA兩解無解無解a=bsinA一解a<bsinA無解 8.用向量證明正弦定理、余弦定理，關(guān)鍵在于基向量的位置和方向. 9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.二、點(diǎn)擊雙基1.在ABC中，A=60°，a=43,b=4，則B等于( )A.45°或135° B.135&

4、#176; C.45° D.以上答案都不對(duì)解析：sinB=,又b<a,B<A.0°<B<60°.故B=45°.答案：C2.ABC中，a=2bcosC，則此三角形一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. sin(B-C)=0. 又-<B-C<，B-C=0.答案：A3.設(shè)A是ABC最小內(nèi)角，則sinA+cosA的取值范圍是( )A.(-，) B.-, C.(1，) D.(1,解析：0°

5、;<A60°,45°<A+45°105°. sinA+cosA=sin(A+45°)(1,.答案：D4.(2006山東濰坊檢測(cè))在ABC中，cos2=(a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為( )A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形解析：cos2=,=,即cosA=. 又cosA=,=,即a2+b2=c2.ABC為直角三角形.故選B.答案：B5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則A=_.解析：由已知得(b+c)2-a2=3bc,b2+c2-a2=bc.=.A=.答案：訓(xùn)

6、練思維6、ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,如果a2=b(b+c),求證:A=2B.剖析：研究三角形問題一般有兩種思路.一是邊化角,二是角化邊.證明：用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中,得 sin2A=sinB(sinB+sinC)sin2A-sin2B=sinBsinC -=sinBsin(A+B) (cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B) sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B).因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角,所以sin(A+B)0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,

7、即A=2B.講評(píng)：利用正弦定理,將命題中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角間關(guān)系,從而全部利用三角公式變換求解.鏈接·聚焦 7、(1)該題若用余弦定理如何解決? 解：利用余弦定理,由a2=b(b+c),得 cosA= =,cos2B=2cos2B-1=2()2-1=-1=. 所以cosA=cos2B.因?yàn)锳、B是ABC的內(nèi)角,所以A=2B. (2)該題根據(jù)命題特征,能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角形,利用幾何知識(shí)解決? 解：由題設(shè)a2=b(b+c),得=, 做出ABC,延長CA到D,使AD=AB=c,連結(jié)BD.式表示的即是=,所以BCDABC.所以1=D. 又AB=AD,可知2=D,所以1=2. 因?yàn)锽AC

8、=2+D=22=21, 所以A=2B.講評(píng)：近幾年的高考題中,涉及到三角形的題目,重點(diǎn)考查正弦、余弦定理,考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.8、（2004全國高考卷）已知銳角ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求證:tanA=2tanB;(2)設(shè)AB=3,求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式,結(jié)合圖形,以(1)為鋪墊,解決(2).(1)證明：sin(A+B)=,sin(A-B)=, =2. tanA=2tanB.(2)解：A+B,sin(A+B)=. tan(A+B)=-, 即=-.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4t

9、anB-1=0,解得tanB=(負(fù)值舍去).得tanB=,tanA=2tanB=2+. 設(shè)AB邊上的高為CD,則AB=AD+DB=+=. 由AB=3得CD=2+,AB邊上的高為2+.講評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)概念,兩角和與差的公式以及應(yīng)用,分析和計(jì)算能力.9、 如圖，有兩條相交成60°角的直路EF、MN，交點(diǎn)是O.起初，阿福在OE上距O點(diǎn)3千米的點(diǎn)A處；阿田在OM上距O點(diǎn)1千米的點(diǎn)B處.現(xiàn)在他們同時(shí)以4千米/時(shí)的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向.(1)求起初兩人的距離；(2)用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離；(3)什么時(shí)候他們兩人的距離最短？解：(1)AB2=OA2+

10、OB2-2OA·OBcos60°=7, 起初他們兩人的距離是7千米. (2)設(shè)他們t小時(shí)后的位置分別是P、Q，則AP=4t,BQ=4t. 下面分兩種情況討論: 當(dāng)0t時(shí)，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°. 當(dāng)t>時(shí)，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°. 由綜合得PQ2=48t2-24t+7,即PQ=. (3)PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4, 當(dāng)t=時(shí)，即在第15分鐘時(shí)他們兩人的距離最短.鏈接·拓展 本題還可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，從而避

11、免分類討論. 提示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則t時(shí)刻P(3-4t,0),Q(1+4t), (1+4t).狀元訓(xùn)練復(fù)習(xí)篇10.在ABC中，下列三式·>0,·>0,·>0中能夠成立的不等式個(gè)數(shù)( )A.至多1個(gè) B.有且僅有1個(gè) C.至多2個(gè) D.至少2個(gè)解析：原條件可轉(zhuǎn)化為cosA>0,cosB>0,cosC>0.而A、B、C是三角形的內(nèi)角，A+B+C=最多一個(gè)鈍角.答案：D11.在ABC中，a=80,b=100,A=45°，則此三角形解的情況是( )A.一解 B.兩解 C.一解或兩解 D.無解解析

12、：bsinA=50,a>bsinA.答案：B12（理）在ABC中，若A=60°,b=1,SABC=，則的值為( )A. B. C. D.解析：SABC=bcsinA,bcsinA=. c=4.a2=b2+c2-2bccosA=13.a=. =.答案：B13、(文)(2004浙江高考)在ABC中,“A30°”是“sinA”的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析：在ABC中,A30°0sinA1sinA;sinA30°A150°A30°.答案：B14.在ABC中,角A、B、C

13、所對(duì)的邊分別是a、b、c,若三角形的面積S=(a2+b2-c2),則C的度數(shù)是_.解析：由S=(a2+b2-c2)得absinC=·2abcosC.tanC=1.C=45°.答案：45°15.在ABC中,若C=60°,則+=_.解析：+= =. (*) C=60°,a2+b2-c2=2abcosC=ab.a2+b2=ab+c2. 代入(*)式得=1.答案：116.在ABC中，c=2,a>b,C=,且有tanA·tanB=6,試求a、b以及此三角形的面積.思路分析：由已知可求出tanA+tanB,這樣便可求得tanA和tanB的值

14、，只要求出sinA、sinB利用正弦定理可求得a、b.解：tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB) =-tan(1-6)=5, 又tanA·tanB=6且a>b,則tanA>tanB.tanA=3,tanB=2. 而0<A<,0<B<, sinA=,sinB=. 由正弦定理得a=, b=, SABC=absinC=.17.(2006北京海淀模擬)(理)ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，2sin2C=3cosC,c=,又ABC的面積為.求：(1)角C的大小；(2)a+b的值.解：(

15、1)由已知得2(1-cos2C)=3cosC, cosC=或cosC=-2(舍), 在ABC中，C=60°. (2)SABC=absinC=, absin60°=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosC, ()2=a2+b2-2abcosC. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5.18(文)ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，ABC的面積為,且c=,3cosC-2sin2C=0.求：(1)角C的大?。?2)a、b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2C)=3cosC, cosC=或cosC=-2(舍), 在ABC中，C=60°.

16、(2)SABC=absinC=, absin60°=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosC, ()2=a2+b2-2abcosC. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5. a=2,b=3或a=3,b=2.加強(qiáng)篇19、在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.解：b2=ac, cosB= =(+)-.0B, y= =sinB+cosB=sin(B+). B+,sin(B+)1.故1y.20.(全新創(chuàng)編題)某城市有一條公路,自西向東經(jīng)過A點(diǎn)到市中心O點(diǎn)后轉(zhuǎn)向東北方向OB,現(xiàn)要修建一條鐵路L,L在OA上設(shè)一站A,在OB上設(shè)

17、一站B,鐵路在AB部分為直線段,現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km,問把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短?并求其最短距離.(不要求作近似計(jì)算)解：在AOB中,設(shè)OA=a,OB=b. 因?yàn)锳O為正西方向,OB為東北方向, 所以AOB=135°. 則|AB|2=a2+b2-2abcos135°=a2+b2+ab2ab+ab=(2+)ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),“=”成立.又O到AB的距離為10,設(shè)OAB=,則OBA=45°-.所以 a=,b=, ab=·= = = =, 當(dāng)且僅當(dāng)=22°30時(shí),“=”成立. 所以|AB|2=40

18、0(+1)2, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b,=22°30時(shí),“=”成立. 所以當(dāng)a=b=10時(shí),|AB|最短,其最短距離為20(+1),即當(dāng)AB分別在OA、OB上離O點(diǎn)10km處,能使|AB|最短,最短距離為20(-1).教學(xué)參考 一、教學(xué)思路 1.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩條途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊.具體有如下四種方法：通過正弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；通過余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)換；通過三角變換找出角之間的關(guān)系；通過三角函數(shù)值符號(hào)的判斷以及正、余弦函數(shù)有界性的討論. 2.用正弦(余弦)定理解三角形問題時(shí)可適當(dāng)應(yīng)用向量數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形邊長等. 3.在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件. 4.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時(shí)，需通過向量的方向判斷向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補(bǔ). 二、注意問題 1.一方面要讓學(xué)生體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用,另一方面要讓學(xué)生體會(huì)解三角