高中數(shù)學必修⑤111正弦定理教學設計

1、課題：必修正弦定理三維目標： 1、知識與技能（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的合作探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；（2）能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理及相關(guān)的三角知識解斜三角形的兩類基本問題；（3）通過簡單運用，初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為下一步學習打好基礎(chǔ)。2、過程與方法引領(lǐng)學生從已有的幾何、三角知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導學生通過觀察、分析、實踐、交流，由特殊到一般歸納出正弦定理，在體驗由特殊到一般的推理過程及合作探究過程的同時，不斷認識三角、向量知識的工具性作用及所帶來的分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想；通過用向量推導三角公式，體會向量的強大

2、威力，鍛煉自己的抽象思維能力和推理論證能力；通過公式的推導與應用，進一步體會三角知識的本質(zhì)聯(lián)系以及數(shù)學工具應用的廣泛性與重要性；培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學生的運算能力、嚴謹?shù)乃季S習慣以及解題的規(guī)范性。3、情態(tài)與價值觀（1）培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。（2）通過三角知識的進一步拓展和運用，體會數(shù)學知識抽象性、概括性和廣泛性，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，形成學數(shù)學、用數(shù)學的思維和意識，培養(yǎng)學好數(shù)學的信心，為遠大的志向而不懈

3、奮斗。（3）通過對三角知識的進一步學習及探索，不斷培養(yǎng)自主學習、主動探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神； 教學重點：用向量法推導正弦定理及其基本應用教學難點：公式的探索、推導以及已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。教 具：多媒體、實物投影儀教學方法：合作探究、分層推進教學法教學過程：一、雙基回眸 科學導入：同學們，前面我們已全面學習了三角的基本知識，通過初步運用，我們也初步感受到了三角知識的強大威力和無限魅力，同學們可以回顧一下相關(guān)的三角公式在初中，我們也學習了一些基本的三角知識，比如：勾股定理體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)：邊、角的關(guān)系，對于

4、非直角三角形，有沒有關(guān)于邊、角的性質(zhì)呢？ 今天，我們一起探討這個問題二、 創(chuàng)設情境 合作探究：【創(chuàng)設情境】在初中，我們已學過如何解直角三角形，直角三角形中，有勾股定理來體現(xiàn)邊的關(guān)系，有沒有更深入的邊與角的關(guān)系呢？如圖11-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。 A思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ C B (圖11-1)下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖11-2，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又

5、, A則 b c從而在直角三角形ABC中， C a B(圖11-2)【思考】那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？【合作探究】（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：（證法一）：如圖11-3，當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C同理可得， b a從而 A c B (圖11-3)【思考】是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。（證法二）：過點A作， C由向量的加法可得 則 A B ，即同理，過點C作，可得 從而 類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學

6、生課后自己推導）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 【點評】（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；（2）等價于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。三、互動達標 鞏固所學：問題.1在中，已知，cm，解三角形?！痉治觥靠上壤萌切蝺?nèi)角和為1800求出角C, 然后用正弦定理求出其它兩邊即可【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根

7、據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，【點評】此問題是利用正弦定理解決的第一類基本問題：已知三角形的任意兩角及其一邊求其他邊和角，對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。問題.2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）?！痉治觥恐獌蛇吅鸵贿叺膶?，直接利用正弦定理求另一邊的對角的正弦即可：【解析】根據(jù)正弦定理，因為，b>a, 所以，或 當時， ， 當時， ，【點評】此問題是利用正弦定理解決的第二類基本問題：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形要注意分析是由一解還是有兩解，根據(jù)所給的兩邊的大小容易得之。四、思悟小結(jié)：知識線：（1）正弦定理；（2）相關(guān)的三角公式和性質(zhì)；（3）向量性質(zhì)的運用。思想方法線： （1）公式法； （2）等價轉(zhuǎn)化思想；（3）分類討論思想方法。題目線：（1）已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。 五、針對訓練 鞏固提高：