風(fēng)花雪月數(shù)學(xué)之三十六計(jì)一

1、風(fēng)花雪月數(shù)學(xué)之三十六計(jì)（一）數(shù)學(xué)是美麗的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是一種智慧的享受，我們?cè)谔岣邔W(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的過(guò)程中不能僅僅看重?cái)?shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，也許今天我們的學(xué)生都可以考試得130，甚至140，150的高分，結(jié)果到了大學(xué)及更高層次學(xué)習(xí)空間時(shí)大都不選擇數(shù)學(xué)，更放棄了對(duì)數(shù)學(xué)的追求與探索，這也是我們這些數(shù)學(xué)老師不想看到的吧!下面還望我們老師們努力探索，積極引導(dǎo)，不僅提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，更調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)更多的“數(shù)學(xué)”人才！楊振寧認(rèn)為中國(guó)近代科技的落后主要原因是“數(shù)學(xué)”的落后！因此，從祖國(guó)發(fā)展的角度看，我們數(shù)學(xué)老師和學(xué)生身上有義不容辭的責(zé)任。盡管目前來(lái)看很多學(xué)生在社會(huì)，家長(zhǎng)等因素的作用下都比較現(xiàn)實(shí)，很少有學(xué)生

2、愿意深入研究數(shù)學(xué)，但是我們不可否認(rèn)，只要我們多灌輸，人才就會(huì)涌現(xiàn)！舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子：中國(guó)足球。我們承認(rèn)中國(guó)足球水平不高，但我們更要承認(rèn)我們足球土壤過(guò)于貧瘠，到底有多少人沒(méi)有真正踢過(guò)足球！也許我們可以有很多“馬拉多納”，可是這些“馬拉多納”可能一生都沒(méi)有踢過(guò)足球！而且我個(gè)人認(rèn)為，盡管從某種角度看，數(shù)學(xué)是比較枯燥，嚴(yán)謹(jǐn)，辛苦的；但換個(gè)角度我們也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的很多美妙之處！就像1990年意大利世界杯足球賽場(chǎng)上，阿根廷隊(duì)的球員卡尼吉亞一頭長(zhǎng)發(fā)，可能有人感覺(jué)大男人留長(zhǎng)發(fā)不太合適；但換個(gè)角度欣賞“長(zhǎng)發(fā)在風(fēng)中飛舞，讓人感受到了風(fēng)的速度！”因此卡尼吉亞得名“風(fēng)之子”，從此很多中國(guó)球迷心中多了一種情結(jié)叫“風(fēng)的情結(jié)”

3、！數(shù)學(xué)方法，思想處處體現(xiàn)著智慧，體現(xiàn)著美，在我看來(lái)數(shù)學(xué)就是一幅畫(huà)，一首詩(shī)，一支歌。將這首詩(shī)獻(xiàn)給美麗的數(shù)學(xué)。漂著綠葉小舟劃過(guò)河中暫緩?fù)Ｋ宄憾?jiàn)倒影映襯畫(huà)中央美景搭西湖高歌遍山林船夫蕩悠悠回音進(jìn)谷底風(fēng)起樹(shù)鳥(niǎo)聲悅耳月陶醉沙下魚(yú)餌當(dāng)餌耳作詩(shī)對(duì)詞以休閑讓清晨有笛樂(lè)以傍晚作賞月獨(dú)享風(fēng)景一， 混水摸魚(yú)-代入法品味1：若關(guān)于不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的值是解析：此題具體解比較麻煩!然則巧用“代入法”可以輕松“搞定”！將x=2代入迅速求得a=4.品味2：已知數(shù)列共有項(xiàng)，定義的所有項(xiàng)和為，第二項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為，第三項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為，第n項(xiàng)及以后所有項(xiàng)和為，若是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，等于A

4、B C D 解析：有題知，從而輕易算出，并且答案四個(gè)均不同，必定迅速完成！品味3：在數(shù)列中， ，則AA B C D解析：此題顯然就是考察“巧做”！直接做還是感覺(jué)比較復(fù)雜！然則，利用“代入法”可求出進(jìn)而可以迅速確定答案！品味4：解析：此題若直接做會(huì)耗費(fèi)諸多時(shí)間，而且不一定能做對(duì)，如果將答案找錯(cuò)，不難發(fā)現(xiàn)C中左面大于0，右面小于零！將答案代入榨出錯(cuò)誤！事半功倍，妙不可言！注意這是2007山東高考數(shù)學(xué)理科10題！品味5：已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，則的取值范圍為（）A B C D且解析：此類(lèi)求范圍的題目往往運(yùn)用“代入法”可以將其變成純運(yùn)算的題目！這一點(diǎn)相信很多同學(xué)會(huì)總結(jié)發(fā)現(xiàn)！如此題中，令a=2,可以判斷是

5、否成立，從而確定A是否正確！令a=0,可以判斷C是否正確！若還不能完全解出，可令a=1,必定可以選出答案！回味：應(yīng)該說(shuō)“代入”“特值”“排除”經(jīng)常聯(lián)手，充分利用選擇題的特點(diǎn)，充分利用選項(xiàng)作為條件，避實(shí)就虛，從側(cè)面解決問(wèn)題，尤其是在一些正面處理較困難的時(shí)候，不僅事半功倍，而且大大提高正確率并節(jié)約寶貴時(shí)間！實(shí)現(xiàn)“混水摸魚(yú)”！二， 以逸待勞-特值法品味1：如圖已知A、D、B、C分別為過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)和圓的交點(diǎn)，則_解析：此題考查圓的幾何性質(zhì)（數(shù)形結(jié)合）及拋物線(xiàn)的定義！若直接求解，有一定運(yùn)算量！但采用特值：令A(yù)D與x軸垂直，可以迅速解出結(jié)果！品味2：已知關(guān)于x的不等式有唯一的整數(shù)解，則方

6、程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為( )A,0 B,1 C,2 D,3解析：此題正確率不到百分之十五，毫無(wú)疑問(wèn)很難！但是巧用特值法可以節(jié)省時(shí)間并且提高正確率！大膽猜想a的值（找一個(gè)最好算的），不難想到2，3，10，e等！令a=2知滿(mǎn)足不等式，代入方程可輕松搞定！品味3：解析：此題直接處理設(shè)計(jì)較多運(yùn)算，公式等，并且不易做對(duì)！但采用特值，將四個(gè)答案均很好判斷，這樣的題目學(xué)生一般想不到間接處理，而直接處理多數(shù)同學(xué)很困難，要麼做不出，要麼浪費(fèi)大量時(shí)間！可見(jiàn)“特值法”不僅巧，而且必不可少！品味4：在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)于任意為唯一確定的實(shí)數(shù)，且對(duì)于任意具有以下性質(zhì)：（1）；（2）；（3）。關(guān)于的性質(zhì)，有如下說(shuō)

7、法：1函數(shù)f(x)的最小值為3；2函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；3函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為。其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）解析：此題很多學(xué)生難以入手，對(duì)于f(x)始終停留在抽象的程度上。其實(shí)，不難分析：f(x)必須求出，其中（1）（2）顯然不能完成。因此必須令（3）中c=0就可以輕松解決，得來(lái)全不費(fèi)工夫！回味：由以上的題目可見(jiàn)“特值法”決不僅僅是節(jié)省時(shí)間，它是一種重要的做題方法！用的合理就可以做到“以逸待勞”！三，瞞天過(guò)海-數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化化歸”思想的方法，常用于與n,n有關(guān)的題目，其本質(zhì)是不從正面與要證明的結(jié)論交手，轉(zhuǎn)而利用一種遞推加一次驗(yàn)證來(lái)側(cè)面解決戰(zhàn)斗！即先驗(yàn)證第一個(gè)值時(shí)命題成立

8、，再假設(shè)實(shí)際上感覺(jué)是在用“假設(shè)”證明問(wèn)題，然而有十分嚴(yán)密，有“避實(shí)就虛”之功效！例1：2009山東高考理科20題（2）問(wèn)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立.由、可得不等式恒成立.（也可以用比較法算出的大小，只需平方一次就能算出！）本題主要考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.但是用歸納法的思維難度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于放

9、縮法，而且歸納法還可以固定的步驟分，在2005年21題（3）問(wèn)共有4分若用歸納法最關(guān)鍵一步僅一分！即使考試說(shuō)明也對(duì)這兩者平等對(duì)待，要求都是了解！下面我們看一下放縮法，以下略，故原式成立，步驟略！看似運(yùn)算量小，但是思維量絕對(duì)不低！下面再舉一例（超級(jí)經(jīng)典）：已知函數(shù)求證：對(duì)于大于1的任意正整數(shù)解：（法一）首先：當(dāng)a=1時(shí)，易證在上為增函數(shù)，當(dāng)故此法需要較強(qiáng)的構(gòu)造思想，并且涉及利用函數(shù)證明不等關(guān)系問(wèn)題！但是構(gòu)造的“思維”難度較大，并且很多學(xué)生會(huì)問(wèn)：“為甚麼？怎麼能想到？”往往老師很難回答！（法二）神奇的數(shù)學(xué)歸納法（1） n=2,易證，在此略！（2） n=k,假設(shè)則當(dāng)n=k+1時(shí)，=，下面證明下面展開(kāi)

10、精彩換元（相比較法一，法二的換元是明確的，順理成章的！可見(jiàn)歸納法從側(cè)面化簡(jiǎn)了問(wèn)題?。┓绞揭唬?，以下涉及極限問(wèn)題！如何處理呢？巧用換元！方式二：故此題充分展示了“數(shù)學(xué)歸納法”的神奇魅力，如果不用歸納法而直接處理的思維難度極大，關(guān)鍵在于如何找到需要構(gòu)造的函數(shù)！但歸納法卻“避實(shí)就虛”尋到了問(wèn)題構(gòu)造的關(guān)鍵-如何構(gòu)造函數(shù)！當(dāng)然，此題也涉及到如何“換元”！正是歸納法“瞞天過(guò)?！敝圃斐隽巳绾巍皳Q元“的條件，才是問(wèn)題解決的前提！四， 無(wú)中生有-“歸納，猜想，證明”引入2009山東高考數(shù)學(xué)理科卷（22）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是

11、否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。分析:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.應(yīng)該說(shuō)這道題是考前我認(rèn)為的必考題！今年解析集合大題很可能形式上是“園與橢圓”理由：解析幾何只有“橢圓與拋物線(xiàn)”是要求掌握！而2008已經(jīng)考察了“拋物線(xiàn)”！至于為甚麼會(huì)將圓交匯，原因之一“考試說(shuō)明”最后一句“通過(guò)解析幾何理解數(shù)形結(jié)合思想”而圓與向量是數(shù)形結(jié)合的絕好載體！

12、原因之二青島一摸理科21題給我們一種強(qiáng)烈的預(yù)感！可以說(shuō)今年的壓軸題是“意料之中”！而且相對(duì)于“向量的較深數(shù)形結(jié)合考察”來(lái)說(shuō)繼續(xù)沿著“圓和橢圓”甚至“圓和圓錐曲線(xiàn)”的方向發(fā)展的概率也很大！解（2）（法一）由于題目中“使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且”，故可以先通過(guò)特殊情況（直線(xiàn)斜率不存在時(shí)候）將圓的方程先解出，利用此時(shí)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)分別為（r,r）,(r,-r)即為A,B兩點(diǎn)，由于，故由圓的數(shù)形結(jié)合知：，可迅速解出，之后在明確圓的情況下，再證明對(duì)于一般情況下是否能滿(mǎn)足：1直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，2是。這兩點(diǎn)在明確了圓的方程之后不難“驗(yàn)證”！這種做法優(yōu)勢(shì)在于“早早明確了目標(biāo)”，而

13、且結(jié)合后面求的范圍，故此圓必須存在，因此即使“算”不出來(lái)也應(yīng)該“編上”，繼續(xù)往下做！可以說(shuō)利用“特殊情況”歸納，“猜出”所要探索的值（其實(shí)是算出來(lái)的），然后根據(jù)情況選擇合適的方法去證明這個(gè)值滿(mǎn)足一般情況。這種做法可以說(shuō)是“無(wú)中生有”！如果這種“探究性問(wèn)題”直接做的話(huà)并不知道“值”是多少，只能一步一步往下做；而“歸納，猜想，證明”卻早早確定了方向！這種思想絕不等價(jià)于“數(shù)學(xué)歸納法”因?yàn)樗摹白C明”時(shí)并非必須用“歸納法”來(lái)證，適應(yīng)的范圍也要廣得多。很多“探究性”題目都可以采用，在高考越來(lái)越重視“探究性問(wèn)題”的現(xiàn)在，“歸納，猜想，證明”是值得重視的。BAOT下面再看法二，（2）（法一）假設(shè)存在圓心在原

14、點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即,則=,即假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線(xiàn)方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€(xiàn)為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線(xiàn),所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線(xiàn)都滿(mǎn)足或,而當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿(mǎn)足,綜上,存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.這種直接探究的方式往往運(yùn)算量較大，而且不能預(yù)知“方向”，結(jié)果對(duì)不對(duì)都不知道！尤其是這種“方向模糊”情況下的

15、前進(jìn)往往需要大得多的思維量,經(jīng)常還需要“技巧”，而“歸納，猜想，證明”則是“方向明確”情況下的“運(yùn)算”驗(yàn)證！舉例1:分析：此題熟練的同學(xué)可以迅速反映出來(lái)c只能是9，因?yàn)橹挥羞@樣通項(xiàng)才可能是一次函數(shù)！可是如何描述步驟呢？在具體做的過(guò)程中大部分學(xué)生都表達(dá)不好或不充分！可是如果采用“歸納，猜想，證明”便輕松“搞定”！解：令可得c=6,然后在證明舉例2：，是否存在分析：若此題直接做倒難度不是很大，但運(yùn)算化簡(jiǎn)有一定技巧，需使的系數(shù)為0！若換個(gè)題目可能比較難整理（如后面的超級(jí)經(jīng)典）。若采用“歸納，猜想，證明”則如下：由可求可求出下面只需證明，這不就是運(yùn)算驗(yàn)證嗎！舉例3：分析：當(dāng)L與x軸重合時(shí)，構(gòu)不成；當(dāng)L

16、與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)的方程為代入得，而所以，下面證明一般情況：設(shè)直線(xiàn)，運(yùn)算驗(yàn)證即可！下面輕松“搞定”！超級(jí)經(jīng)典：已知橢圓過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：由即兩圓相切于點(diǎn)（0，1），所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）證明如下當(dāng)直線(xiàn)L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）若直線(xiàn)L不垂直于x軸，可設(shè)直線(xiàn)L：由記點(diǎn)、所以TATB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)

17、T（0，1）滿(mǎn)足條件分析：此題若直接做運(yùn)算量很大容易算錯(cuò)或算不出來(lái)，并且有化簡(jiǎn)技巧容易找不出來(lái)！因?yàn)楸仨氃O(shè)點(diǎn)，結(jié)果變量較多，關(guān)系較復(fù)雜，可謂十之八九算不出來(lái)！但采用“歸納，猜想，證明”來(lái)處理，很早就可以知道,之后就成了驗(yàn)證，其實(shí)就是沒(méi)有技巧的“純”運(yùn)算。前者盡管運(yùn)算時(shí)需要很大運(yùn)算量以及化簡(jiǎn)技巧，但是“小巧”，后者化繁為簡(jiǎn)，把整個(gè)過(guò)程變成了“純運(yùn)算”，是“大巧”！真是“無(wú)中生有”！讓人嘆服不已。數(shù)學(xué)真的是“美不勝收”，“風(fēng)情萬(wàn)種”！五， 偷梁換柱-換元法品味一：(2009山東卷理21)兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選

18、地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說(shuō)明理由。分析:此題的分析建模難度不大，當(dāng)學(xué)生進(jìn)行求導(dǎo)分析單

19、調(diào)性等時(shí)，據(jù)我的了解最主要問(wèn)題是絕大部分同學(xué)未算出或算對(duì)，暴漏了運(yùn)算能力的不足，“運(yùn)算能力”是考試說(shuō)明要求的第一能力，甚至于常見(jiàn)的運(yùn)算技巧如“換元”“分式最值”等必須不斷強(qiáng)化，我個(gè)人感覺(jué)“運(yùn)算”的強(qiáng)化必須滲透于平時(shí)不間斷！如2008年山東文22題，今年反復(fù)讓學(xué)生做了三遍！結(jié)果今年理科22題有在第2問(wèn)考察了幾乎一樣的運(yùn)算問(wèn)題！除了純運(yùn)算，很多學(xué)生想不到另通過(guò)換元簡(jiǎn)化運(yùn)算，也是運(yùn)算技巧不足的表現(xiàn)！當(dāng)然對(duì)分式問(wèn)題的運(yùn)算其實(shí)平時(shí)學(xué)生應(yīng)該早就暴露出來(lái)了，因?yàn)橥鶎W(xué)生只會(huì)求導(dǎo)直接算，很少考慮化簡(jiǎn)，換元等!估計(jì)在這點(diǎn)高考是會(huì)繼續(xù)的！A B C x 解法一:（1）如圖,由題意知ACBC,其中當(dāng)時(shí)，y=0.06

20、5,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得,所以,即,當(dāng)時(shí),即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí),即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí),即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí),函數(shù)有最小值.解法二：（2）中,令則=，之后便是一馬平川！解法三:（1）同上.（2）設(shè),則,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)為減函數(shù),在(160,400)為增函數(shù).利用定義，略！所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,可見(jiàn)，巧用“換元法”解決大問(wèn)題，尤其是在山東考試說(shuō)明要求的第一能力就是“運(yùn)算能力”！可以對(duì)換元法說(shuō)：“冰雪不語(yǔ)寒夜的你難隱藏的光彩！”品味二（2009山東理科22）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)

21、M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。分析:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.應(yīng)該說(shuō)這道題是考前我認(rèn)為的必考題！我在考前多次與同學(xué)們分析：今年解析集合大題很可能形式上是“園與橢圓”理由：解析幾何只有“橢圓與拋物線(xiàn)”是要求掌握！而2008已經(jīng)考察了“拋物線(xiàn)”！至于為甚麼會(huì)

22、將圓交匯，原因之一“考試說(shuō)明”最后一句“通過(guò)解析幾何理解數(shù)形結(jié)合思想”而圓與向量是數(shù)形結(jié)合的絕好載體！原因之二青島一摸理科21題給我們一種強(qiáng)烈的預(yù)感！由于考前多次強(qiáng)調(diào)圓的處理方式與橢圓不同，相信學(xué)生會(huì)在此題受益，只是可惜這是22題，很多學(xué)生時(shí)間不多了！盡管答案未給出，實(shí)際上最后一問(wèn)在求是充分利用圓及等條件結(jié)合“射影定理”很簡(jiǎn)單就能算出！說(shuō)明了圓的問(wèn)題盡量用“數(shù)形結(jié)合”！可以說(shuō)今年的壓軸題是“意料之中”！可以說(shuō)圓就是“運(yùn)算”之王，如果運(yùn)用圓的“數(shù)形結(jié)合”運(yùn)算較靈活；若將圓當(dāng)成橢圓則成為代數(shù)運(yùn)算量較大！解:（2）中求（法一）, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不

23、存在時(shí),兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上,|AB |的取值范圍為即:（2）（法二）由于題目中“使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且”，故可以先通過(guò)特殊情況（直線(xiàn)斜率不存在時(shí)候）將圓的方程先解出，利用此時(shí)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)分別為（r,r）,(r,-r)即為A,B兩點(diǎn)，由于，故由圓的數(shù)形結(jié)合知：，可迅速解出，之后在明確圓的情況下，再證明對(duì)于一般情況下是否能滿(mǎn)足：1直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，2是。這兩點(diǎn)在明確了圓的方程之后不難“驗(yàn)證”！這種做法優(yōu)勢(shì)在于“早早明確了目標(biāo)”，而且結(jié)合后面求的范圍，故此圓必須存在，因此即使“算”不出來(lái)也應(yīng)該“編上”，繼續(xù)往下做！再求是如果巧用“圓”的“數(shù)形結(jié)合”特性，

24、也會(huì)是問(wèn)題得到大大化簡(jiǎn)！通過(guò)題目不難發(fā)現(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)與圓相切于T點(diǎn)，在直角三角形OAB中，,設(shè)，由射影定理知，又。可以解得下面求范圍應(yīng)該較法一簡(jiǎn)單不少！此題充分體現(xiàn)出“巧妙換元”的巨大美麗！說(shuō)明“圓”與“橢圓”處理方式的區(qū)別，圓是“數(shù)形結(jié)合的精靈”，橢圓是體現(xiàn)“代數(shù)方法（坐標(biāo)）研究幾何問(wèn)題的載體！”兩者在高考考察是有明確體現(xiàn)的！因?yàn)閺钠綍r(shí)來(lái)看，多數(shù)學(xué)生對(duì)于“圓的數(shù)形結(jié)合”認(rèn)識(shí)不夠，更對(duì)“考試說(shuō)明”沒(méi)有分析，應(yīng)該說(shuō)在考前重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了“圓與橢圓”的問(wèn)題，如果此題不是最后一題，相信學(xué)生會(huì)有“更好”表現(xiàn)！應(yīng)該說(shuō)，對(duì)于圓的“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn)，沒(méi)有老師的引領(lǐng)和適當(dāng)?shù)闹匾暸c訓(xùn)練是很難掌握的，因?yàn)椤皵?shù)形結(jié)合”較橢圓

25、中的方程處理更靈活，若處理不當(dāng)又很容易運(yùn)算復(fù)雜！品味三;（2008山東文22）已知曲線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積為，曲線(xiàn)的內(nèi)切圓半徑為記為以曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦，是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)是上異于橢圓中心的點(diǎn)（1）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小值解：（）（2）當(dāng)存在且時(shí)，由（1）得，由解得，所以，解法一：由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜上所述，的面積的最小值為解法二：由于 ，令則，此題轉(zhuǎn)化至二次函數(shù)最值問(wèn)題。此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜

26、上述，的面積的最小值為分析：此題中的第二問(wèn)中涉及的分式最值運(yùn)算，甚至于在2009山東理科21題出現(xiàn)的類(lèi)型，這樣的題目，考察方式非常常見(jiàn)！可以說(shuō)是極好的考察運(yùn)算的載體！其中涉及“換元”，“化簡(jiǎn)”等技巧，以及“轉(zhuǎn)化化歸”等思想！可以說(shuō)運(yùn)算能力包含了數(shù)學(xué)的多種思想方法技巧，絕非一日之功，必須不斷強(qiáng)化訓(xùn)練！更深刻的美味（2007山東高考理科22）設(shè)函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立解：（III）當(dāng)時(shí)，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有.即當(dāng)時(shí)，有，對(duì)任意正整數(shù)，取得最深刻的美味已知函數(shù)求證：對(duì)于大于1的任意正整數(shù)解：（法一）首先

27、：當(dāng)a=1時(shí)，易證在上為增函數(shù)，當(dāng)故此法需要較強(qiáng)的構(gòu)造思想，并且涉及利用函數(shù)證明不等關(guān)系問(wèn)題！但是構(gòu)造的“思維”難度較大，并且很多學(xué)生會(huì)問(wèn)：“為甚麼？怎麼能想到？”往往老師很難回答?。ǚǘ┥衿妗皳Q元”，下面通過(guò)“數(shù)學(xué)歸納法”來(lái)體現(xiàn)“換元”的迷人芬芳！（3） n=2,易證，在此略！（4） n=k,假設(shè)則當(dāng)n=k+1時(shí)，=，下面證明下面展開(kāi)精彩換元（相比較法一，法二的換元是明確的，順理成章的！可見(jiàn)歸納法從側(cè)面化簡(jiǎn)了問(wèn)題?。┓绞揭唬?，以下涉及極限問(wèn)題！如何處理呢？巧用換元！方式二：故此題充分展示了“換元”的神奇魅力，通過(guò)如何“換元”順利解決！六，苦肉計(jì)-易錯(cuò)集錦這是一摸考試前的易錯(cuò)集錦1（知識(shí)點(diǎn)）

28、復(fù)數(shù)中0在虛軸上！正態(tài)分布中的大小與圖象的矮胖，瘦高的關(guān)系？命題否定與否命題！向量夾角范圍及夾角問(wèn)題，零向量問(wèn)題，優(yōu)化方案112頁(yè)例2及示例連接！線(xiàn)面角的向量求法！等比數(shù)列討論，數(shù)列討論！及迭加，迭乘公式！拋物線(xiàn)（非標(biāo)準(zhǔn)）的方程如：！圓錐曲線(xiàn)中K是否存在，判別式大于零，聯(lián)立后二次方程系數(shù)是否可能為零！函數(shù)定義域遺漏（尤其是真數(shù)大于0）！導(dǎo)數(shù)等于0與極值點(diǎn)問(wèn)題！零點(diǎn)存在定理0只能判斷存在零點(diǎn)不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)！誘導(dǎo)公式！二項(xiàng)式定理小心通項(xiàng)中r對(duì)應(yīng)是第r+1項(xiàng)！直方圖的中縱坐標(biāo)是頻率/組距！了解排列組合：重視分類(lèi)討論思想，不要遺漏！分布列概率和為1，其中最后一個(gè)概率易錯(cuò)！數(shù)列最值如求：的最大值！統(tǒng)計(jì)的諸多概念如數(shù)據(jù)的方差，標(biāo)準(zhǔn)差如何求！二項(xiàng)分布的識(shí)