高中數(shù)學(xué)必修五等比數(shù)列前n項和

1、等比數(shù)列的前n項和教案一、教學(xué)目的1、理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡單問題2、通過公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)3、通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)。教學(xué)關(guān)鍵：推導(dǎo)等

2、比數(shù)列的前n項和公式的關(guān)鍵是通過情境的創(chuàng)設(shè)，發(fā)現(xiàn)錯位相減求和法。應(yīng)用公式的關(guān)鍵是如何從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列模型，運(yùn)用公式解決問題。三、教具、學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課件。運(yùn)用多媒體教學(xué)手段，增大教學(xué)容量和直觀性，提高教學(xué)效率和質(zhì)量。四、教學(xué)方法數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和啟發(fā)式教學(xué)原則，我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過開放式問題的設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，在思考中體會數(shù)學(xué)概念形成過程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受。本節(jié)課將采用“多媒體

3、優(yōu)化組合激勵發(fā)現(xiàn)”式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。該模式能夠?qū)⒔虒W(xué)過程中的各要素，如教師、學(xué)生、教材、教法等進(jìn)行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造最佳的教學(xué)氛圍。主要包括啟發(fā)式講解、互動式討論、研究式探索、反饋式評價。五、學(xué)法指導(dǎo)“授人以魚，不如授人以漁”。教是為了不教，教給學(xué)生好的學(xué)習(xí)方法，讓他們會學(xué)習(xí)，并善于用數(shù)學(xué)思維去分析問題和解決問題，受益終身。根據(jù)二期課改的精神，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也是本次課改的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育的核心學(xué)科之一，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，變學(xué)生被動接受式學(xué)習(xí)為主動參與式學(xué)習(xí)，不僅有利于提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。在課堂結(jié)構(gòu)上我根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知層次，

4、設(shè)計了創(chuàng)設(shè)情景觀察歸納討論研究即時訓(xùn)練總結(jié)反思任務(wù)延續(xù)，六個層次的學(xué)法，他們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學(xué)目的。自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。抓住學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進(jìn)；同時從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，抽象出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，獲得解決問題的方法，幫助學(xué)生培養(yǎng)勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。六、教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)回顧，引舊導(dǎo)新（1）等比數(shù)列的定義及通項公式，。（2）等比中項：如果a,b,c成等比，則。（3）等比數(shù)列的一些結(jié)論：2、

5、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚為什么呢？師：同學(xué)們，你能解釋這是為什么嗎？本節(jié)課我們研究等比數(shù)列前n項和，通過學(xué)習(xí)，我們就可以很容易解釋這個問題了。（板書課題）2.5等比數(shù)列的前n項和一般地，等比數(shù)列的前n項和用表示，即：。設(shè)計意圖：設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。此時我再問：同學(xué)

6、們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)。帶著這樣的問題，學(xué)生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和這時我對他們的這種思路給予肯定設(shè)計意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙同時，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆。3、師生互動，探究問

7、題在肯定他們的思路后，我接著問：是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？探討1：設(shè)，記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？設(shè)計意圖：留出時間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機(jī)。經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的

8、項就消去了，得到：。老師指出：這就是錯位相減法，并要求學(xué)生縱觀教師推導(dǎo)全過程。師：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？生：乘以2后使得（1）式與（2）式出現(xiàn)相同的項，從而可以實(shí)現(xiàn)兩式相減，消去相同的項。設(shè)計意圖：經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。4、類比聯(lián)想，解決問題這時我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列，首項為，公比為，如何求前n項和呢？在此讓學(xué)生自主完成，并叫一名學(xué)生上黑板，然后對每個學(xué)生在自覺研究時遇到的難題進(jìn)行指導(dǎo)點(diǎn)拔。設(shè)計意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已

9、知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。在學(xué)生推導(dǎo)完成后，我再問：由得，對不對呢？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時是什么數(shù)列？此時（這里引導(dǎo)學(xué)生對q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)）即：再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，如何把用、表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）即：設(shè)計意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用。5、討論交流

10、，延伸拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎？方法二：我們知道, 。那么我們能否利用這個關(guān)系而求出呢？即：提取公比q，有：方法三：根據(jù)等比數(shù)列的定義又有，能否聯(lián)想到等比定理從而求出呢？即：利用等比定理設(shè)計意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營造一個讓學(xué)生主動觀察、思考、討論的氛圍. 以上兩種方法都可以化歸到, 這其實(shí)就是關(guān)于的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用。6、例題講解，形成技能例1、口答下列各題：(1)求等比數(shù)列的前10項的和；(2)已知等比數(shù)列中，求；(3)請利用第(2

11、)題的數(shù)據(jù)，自己編題，改求或求q，并求解 (自己擬題能鞏固和深化所學(xué)的知識)生：(口答)（1）（2）(3)生甲：已知：q=3，求解：，。生乙：已知：，。求q。解：，。例2、已知為等比數(shù)列，且，(ab0)，求。師：要求，需知，q，而已知條件為和能否進(jìn)一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？生甲：（1）式除以（2）式得：，即將（3）式代入（1）式得：，則，以下再化簡即可師：這位同學(xué)處理問題很巧妙他沒有分別求得與的值，而改為求與的值，這樣使問題變得簡單些，請問同學(xué)們，這樣解這個題目是否有問題呢？生乙：我認(rèn)為第（1）式就有問題，他附加了條件，而對情況沒有考慮師：對！使用等比數(shù)列前n項和公式時，要特別

12、注意適用條件，即時，；時，。(含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，學(xué)生常忽略q=1情況，要引起足夠重視，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性) (學(xué)生演算習(xí)題，教師投影出正確答案)解：設(shè)數(shù)列的公比為。若(此時數(shù)列為常數(shù)列)，則，此時，則。若，即，則由已知又因?yàn)?，所以由?）式除以（1）式得：，即，所以將（1）式式變形后代入（3）式得：，于是數(shù)列的前3n項的和為：師：(小結(jié))這節(jié)課我們從已有的知識出發(fā)，用多種方法(迭加法、運(yùn)用等比性質(zhì)、錯位相減法)推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n項和公式，并在應(yīng)用中加深了對公式的認(rèn)識如已知，n，q，則選擇已知a1，q，an，則選擇對含字母的題目一般要分別考慮q=1和q1兩種情況，不能附加條

13、件，統(tǒng)一按去解題。小結(jié)：等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，從這五個量中，只要知道任意三個量，均可求得其余兩個量。7、加強(qiáng)練習(xí)，深化認(rèn)識（1）求的前n項和（2）求的前n項和（3）求數(shù)列的前n項和。（4）畫一個邊長為2cm的正方形, 再將這個正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個正方形,依此類推,這樣一共畫了10個正方形, 求這10個正方形的面積的和。8、總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法方面總結(jié)： (1) 等比數(shù)列的前n項和公式(2) 公式的推導(dǎo)方法錯位相減法(3) 求和思路構(gòu)造常數(shù)列或部分常數(shù)列。通過師生的共同小結(jié)，發(fā)揮

14、學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生鞏固所學(xué)知識，也能培養(yǎng)學(xué)生的歸納和概括能力。進(jìn)一步完成認(rèn)知目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)。設(shè)計意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。9、故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾。 設(shè)計意圖：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學(xué)生克服疲倦、繼續(xù)積極思維。10、布置作業(yè)課本習(xí)題2.5第1、2題。11、教學(xué)信息反饋五分鐘測驗(yàn)“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首中國古詩的答案應(yīng)該是多少？教案說明本教案的內(nèi)容是等比數(shù)列的前n項和的第一節(jié)課，現(xiàn)將該節(jié)課設(shè)計意圖簡單介紹如下：根據(jù)高二學(xué)生心理特點(diǎn)、教材內(nèi)容、遵循因材施教原則和啟發(fā)性教學(xué)思想，本節(jié)課的教學(xué)策略與方法我采用規(guī)則學(xué)習(xí)和問題解決策略，即“案例公式應(yīng)用”，案例為淺層次要求，使學(xué)生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點(diǎn)集中推導(dǎo)講解，便于突破。應(yīng)用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學(xué)，反饋驗(yàn)證本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)。 其中，案例是基礎(chǔ)，使學(xué)生感知教材；公式為關(guān)鍵，使學(xué)生理解教材；練習(xí)為應(yīng)用，使學(xué)生鞏固知識，舉一反三。 在這三步教學(xué)中