高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及試題 數(shù)列1 B卷附答案

1、第三章數(shù)列(一)知識網(wǎng)絡(luò)范題精講一、等差數(shù)列的概念、通項公式【例1】 等差數(shù)列an的前n項和記為Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通項an;(2)若Sn=242,求n.分析：在等差數(shù)列中，有a1、an、n、d、Sn五個基本量，若已知其中的任何三個，總可以求出另外兩個的值.解：(1)由an=a1+(n1)d,a10=30,a20=50,得方程組解得a1=12,d=2.所以an=2n+10.(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242.解得n=11或n=22(舍去).評注：本題是一個最基礎(chǔ)的數(shù)列題，內(nèi)容上只涉及等差數(shù)列的通項和前n項和.它主要考查等差數(shù)列

2、的通項公式、求和公式以及構(gòu)造方程的數(shù)學(xué)方法，考查運算能力.知識點較為單一，但高考中仍不乏這類考查目的明確、適應(yīng)所有考生的中低檔題.二、等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例2】 已知等差數(shù)列an為等差數(shù)列，pq,ap=q,aq=p,求ap+q.分析：可先轉(zhuǎn)化為a1和d去探索，也可利用等差數(shù)列性質(zhì)求解，還可利用一次函數(shù)圖象來解.解法一： 相減得(pq)d=qp,pq,d=1.代入,得a1=p+q1.故ap+q=a1+(p+q1)d=0.解法二：ap=aq+(pq)d,q=p+(pq)d,以下同解法一.解法三：不妨設(shè)p<q,由于an為關(guān)于n的一次函數(shù)圖象上均勻排列的一群孤立點.故(p,ap)、(q,aq)、

3、(p+q,ap+q)三點在同一直線上，如圖.由ABEBCF得(設(shè)ap+q=m)1=.設(shè)m=0,得ap+q=0.三、等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用【例3】 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,S12中哪一個值最大，并說明理由.(1)解：依題意有由a3=12,得a1=122d.又d3.(2)解法一：由d0,可知a1a2a3a12a13.因此，若在1n12中，存在自然數(shù)n，使得an0,an+10,則Sn就是S1,S2,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)0,S13=13a70,即a6+a70,a70,由此得a6a7

4、0.故在S1，S2，S12中S6的值最大.解法二：Sn=na1+d=n(122d)+n(n1)d=n2(12)n=n(5)2(5)2.d0,n(5)2最小時，Sn最大.當(dāng)d3時，6(5)6.5.n=6時，n(5)2最小.S6最大.解法三：由d0,可知a1a2a3a12a13.因此，若在1n12中，存在自然數(shù)n，使得an0,an+10,則Sn就是S1,S2,S12中的最大值.由已知故在S1,S2,S12中S6的值最大.評注：第(2)題用了三種方法來解，解法一與解法三類似，只是確定a60,a70的方法不同，解法一技巧性強,解法二是把問題轉(zhuǎn)化成了有限制條件的一元二次函數(shù)最值問題.四、數(shù)列的應(yīng)用【例4

5、】 某魚塘養(yǎng)魚，由于改進了飼養(yǎng)技術(shù)，預(yù)計第一年產(chǎn)量的增長率為200%，以后每年的增長率是前一年增長率的一半，設(shè)此魚塘里原來的魚儲存量為a.(1)寫出改進飼養(yǎng)技術(shù)后的第一年、第二年、第三年、第四年的產(chǎn)量，并寫出第n年與第(n1)年(nN且n2)的產(chǎn)量之間的關(guān)系式(不要求證明).(2)由于環(huán)境污染及池塘老化等因素，致使每年將損失年產(chǎn)量的10%，這樣以后每年的產(chǎn)量是否始終逐年提高?若是，請予以證明；若不是，請說明從第幾年起產(chǎn)量將不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)不妨設(shè)改進技術(shù)后第n年的產(chǎn)量為an，則a1=a(1+200%)=3a,a2=a1(1+×200%

6、)=6a,a3=a2(1+×200%)=9a,a4=a3(1+×200%)=a.依此，得an=an1(1+×200%)=an11+()n2(nN*,n2).(2)設(shè)遭損失后第n年的產(chǎn)量為bn,則b1=a1(110%),b2=b1(1+×200%)(110%),bn=bn11+()n2(110%).令bnbn1,則0.91+()n212n29,n2,即n5.17.由nN*知n6.故從第6年起，產(chǎn)量將不如上一年.評注：這是一道數(shù)列型應(yīng)用題，審題時應(yīng)抓住從第二年開始，"以后每年的增長率是前一年增長率的一半"這個關(guān)鍵，把它抽象為數(shù)列的通項，容

7、易求出遞推關(guān)系式an=an11+ ()n2(nN*且n2),即建成了遞推模型.第(2)問歸結(jié)為一個指數(shù)不等式問題，利用取對數(shù)法很容易求得這個數(shù)學(xué)問題的解.試題詳解高中同步測控優(yōu)化訓(xùn)練(十一)第三章數(shù)列(一)(A卷)說明：本試卷分為第、卷兩部分，共100分，考試時間90分鐘.第卷(選擇題共30分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1.在100至500之間的正整數(shù)能被11整除的個數(shù)為A.34B.35C.36D.37解析：觀察出100至500之間能被11整除的數(shù)為110，121，132，它們構(gòu)成一個等差數(shù)列，公差為11，an=110+(n1)·11=11n+99,由an5

8、00,解得n36.4,nN*,n36.答案：C2.在數(shù)列an中，a1=1,an+1=an21(n1),則a1+a2+a3+a4+a5等于A.1B.1C.0D.2解析：由已知：an+1=an21=(an+1)(an1),a2=0,a3=1,a4=0,a5=1.答案：A3.若數(shù)列an的前n項和Sn=n22n+3，則此數(shù)列的前3項依次為A.1,1,3B.2,1,3C.6,1,3D.2,3,6解析：當(dāng)n=1時，a1=S1=122×1+3=2;當(dāng)n=2時，由S2=a1+a2=222×2+3,得a2=1;當(dāng)n=3時，由S3=a1+a2+a3=322×3+3,得a3=3.答案：

9、B4.設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(n+1)=(nN*)且f(1)=2,則f(20)為A.95B.97C.105D.192解析：f(n+1)f(n)= 各式相加得f(20)f(1)=(1+2+19) f(20)=95+f(1)=97.答案：B5.已知等差數(shù)列an中公差d0.若n2,nN*,則A.a1an+1a2anB.a1+an+1a2+anC.a1+an+1a2+anD.a1an+1a2an解析：a1an+1a2an=a1(a1+nd)(a1+d)a1+(n1)d=(n1)d20,a1an+1a2an.答案：A6.等差數(shù)列an中，a4+a7+a10=57,a4+a5+a14=275,ak=61,則k

10、等于A.18B.19C.20D.21解析：3a7=a4+a7+a10=57,a7=19.由a4+a5+a14=275,可得a9=25.公差d=3. ak=a9+(k9)·d,61=25+(k9)×3,解得k=21.答案：D7.已知等差數(shù)列an的公差為正數(shù)，且a3·a7=12,a4+a6=4,則S20為A.180B.180C.90D.90解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，a4+a6=a3+a7=4與a3·a7=12聯(lián)立，即a3、a7是方程x2+4x12=0的兩根.又公差d>0,a7>a3a7=2,a3=6,從而得a1=10,d=2,S20=180.答案：A

11、8.設(shè)Sn是等差數(shù)列前n項的和，若,則等于A.1B.1C.2D. 解法一：,=.解法二：,答案：A9.已知an是遞增數(shù)列，且對任意nN*都有an=n2+n恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A.(,+)B.(0,+)C.(2,+)D.(3,+)解析：由an為遞增數(shù)列得an+1an=2n+1+0恒成立,即2n1在n1時恒成立，只需(2n1)max=3,故選D.答案：D10.在等差數(shù)列an中，若S9=18,Sn=240,an4=30,則n的值為A.14B.15C.16D.17解析：S9=18a1+a9=42(a1+4d)=4.a1+4d=2.又an=an4+4d,Sn=16n=240.n=15.答案：B第卷

12、(非選擇題共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,Sn=(nN*),且a4=54,則a1的值是_.解析：a4=S4S3,=54.a1=2.答案：212.若數(shù)列an的前n項和Sn=lg(1+n),則a10+a11+a12+a99=_.解析：a10+a11+a99=S99S9=lg(·100)lg(·10)=10=1.答案：113.在9和3之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成和為21的等差數(shù)列，則n=_.解析：21=,n=5.答案：514.等差數(shù)列an中，a1+a2+a3=24,a18+a19+a20=78,則此數(shù)列前20項的

13、和等于_.解析：由a1+a2+a3=24,可得3a2=24;由a18+a19+a20=78,可得3a19=78,即a2=8,a19=26.S20=10(a2+a19)=10(8+26)=180.答案：180三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分8分)已知數(shù)列an滿足下列條件，寫出它的前5項，并歸納出數(shù)列的一個通項公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n1);(2)a1=1,an+1=.解：(1)a1=0,an+1=an+(2n1),a2=a1+(2×11)=0+1=1,a3=a2+(2×21)=4,a4=a3+(

14、2×31)=9,a5=a4+(2×41)=16.它的前5項依次是0，1，4，9，16.又可寫成(11)2,(21)2,(31)2,(41)2,(51)2.故該數(shù)列的一個通項公式是an=(n1)2.(2)a1=1,an+1=,a2=,a4=它的前5項依次是1,.又可寫成故它的一個通項公式為an=.16.(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列an中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求其通項an.解：a1+a7=2a4,且a1+a4+a7=15,a4=5.又a2a4a6=45,a2a6=9.設(shè)其公差為d,又a4=5,a2=a42d,a6=a4+2d.代入a2a6=9可得(5

15、2d)(5+2d)=9254d2=9d=±2.當(dāng)d=2時，an=a4+(n4)d=5+(n4)×2=2n3(nN*);當(dāng)d=2時，an=a4+(n4)d=5+(n4)×(2)=132n(nN*).17.(本小題滿分12分)數(shù)列的通項公式為an=n25n+4，問:(1)數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值.解：(1)由an為負(fù)數(shù)，得n25n+4<0,解得1<n<4.nN*,故n=2或3，即數(shù)列有2項為負(fù)數(shù)，分別是第2項和第3項.(2)an=n25n+4=(n)2,對稱軸為n=2.5.又nN*,故當(dāng)n=2或n=3時，an

16、有最小值，最小值為225×2+4=2.18.(本小題滿分12分)有30根水泥電線桿，要運往1000米遠的地方開始安裝，在1000米處放一根，以后每隔50米放一根，一直向前放.一輛汽車一次最多運三根，如果用一輛車完成這項任務(wù)，從開始運第一車算起，運完貨后回到起點，這輛汽車的行程是多少千米？解：設(shè)在運完第3(n1)至3n(其中1n10且nN*)根且返回起點時，這輛汽車的行程為an米，則根據(jù)題意得a1=(1000+50+50)×2=2×1100,a2=(1100+50+50+50)×2=2(1100+150),a3=(1100+150+50+50+50)

17、15;2=2(1100+300),.an是以2×1100為首項，150為公差的等差數(shù)列.從而行程為s10=(1100×10+×10×9×150)×2=35500.答：這輛汽車的行程是35500千米.19.(本小題滿分12分)設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項和為Sn.(1)若首項a1=,公差d=1,求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k;(2)求所有的無窮等差數(shù)列an，使得對一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立.解：(1)當(dāng)a1=,d=1時，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2,即k3(k1)=0.又k0,k=4.(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則在Sk2=(Sk)2中，分別取k=1,2,得即由得a1