非常好的定積分與微積分基本定理復習講義

1、定積分與微積分基本定理復習講義備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2.了解微積分基本定理的含義.1.考查形式多為選擇題或填空題2.考查簡單定積分的求解3.考查曲邊梯形面積的求解4.與幾何概型相結合考查歸納·知識整合1定積分(1)定積分的相關概念：在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式(2)定積分的幾何意義當函數f(x)在區(qū)間a，b上恒為正時，定積分f(x)dx的幾何意義是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲

2、邊梯形的面積(左圖中陰影部分)一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線xa，xb之間的曲邊梯形面積的代數和(右上圖中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(3)定積分的基本性質： kf(x)dxkf(x)dx.f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx.探究1.若積分變量為t，則f(x)dx與f(t)dt是否相等？提示：相等2一個函數的導數是唯一的，反過來導函數的原函數唯一嗎？提示：一個函數的導數是唯一的，而導函數的原函數則有無窮多個

3、，這些原函數之間都相差一個常數，在利用微積分基本定理求定積分時，只要找到被積函數的一個原函數即可，并且一般使用不含常數的原函數，這樣有利于計算3定積分f(x)g(x)dx(f(x)>g(x)的幾何意義是什么？提示：由直線xa，xb和曲線yf(x)，yg(x)所圍成的曲邊梯形的面積2微積分基本定理：如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式 為了方便，常把F(b)F(a)記成F(x)，即 f(x)dxF(x)F(b)F(a)課前預測：1.dx等于()A2ln 2B2ln 2 Cln 2 D

4、ln 22(教材習題改編)一質點運動時速度和時間的關系為V(t)t2t2，質點作直線運動，則此物體在時間1,2內的位移為()A. B. C. D.3(教材習題改編)直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊梯形的面積為_4(教材改編題)dx_.5由y，直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_考點一 利用微積分基本定理求定積分例1利用微積分基本定理求下列定積分：(1)(x22x1)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)x(x1)dx；(4)dx；(5) sin2dx.求定積分的一般步驟：(1)把被積函數變形為冪函數、正弦函數、余弦函數、指數函數與常數的積的和或差；(2)把定積分用定積分性質

5、變形為求被積函數為上述函數的定積分；(3)分別用求導公式找到一個相應的原函數；(4)利用牛頓萊布尼茲公式求出各個定積分的值；(5)計算原始定積分的值強化訓練：1求下列定積分：(1)|x1|dx；(2) dx.考點二 利用定積分的幾何意義求定積分例2dx_.變式：在本例中，改變積分上限，求dx的值 利用幾何意義求定積分的方法(1)當被積函數較為復雜，定積分很難直接求出時，可考慮用定積分的幾何意義求定積分(2)利用定積分的幾何意義，可通過圖形中面積的大小關系來比較定積分值的大小強化訓練：2(2014·福建模擬)已知函數f(x)(cos tsin t)dt(x>0)，則f(x)的最大

6、值為_考點三：利用定積分求平面圖形的面積例3(2014·山東高考)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4C. D6變式訓練：若將“yx2”改為“yx2”，將“y軸”改為“x軸”，如何求解？利用定積分求曲邊梯形面積的步驟(1)畫出曲線的草圖(2)借助圖形，確定被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限(3)將“曲邊梯形”的面積表示成若干個定積分的和或差(4)計算定積分，寫出答案強化訓練：3 (2014·鄭州模擬)如圖，曲線yx2和直線x0，x1，y所圍成的圖形(陰影部分)的面積為()A.B.C.D.考點四：定積分在物理中的應用例4列車以72 km/h的速

7、度行駛，當制動時列車獲得加速度a0.4 m/s2，問列車應在進站前多長時間，以及離車站多遠處開始制動？1變速直線運動問題如果做變速直線運動的物體的速度v關于時間t的函數是vv(t)(v(t)0)，那么物體從時刻ta到tb所經過的路程為v(t)dt；如果做變速直線運動的物體的速度v關于時間t的函數是vv(t)(v(t)0)，那么物體從時刻ta到tb所經過的路程為v(t)dt.2變力做功問題物體在變力F(x)的作用下，沿與力F(x)相同方向從xa到xb所做的功為F(x)dx.強化訓練：4一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F(x)相同的方向運動了4米，力F(x)做功為()A44 JB46

8、JC48 J D50 J1個定理微積分基本定理由微積分基本定理可知求定積分的關鍵是求導函數的原函數，由此可知，求導與積分是互為逆運算3條性質定積分的性質(1)常數可提到積分號外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進行3個注意定積分的計算應注意的問題(1)若積分式子中有幾個不同的參數，則必須分清誰是積分變量；(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限不小于積分下限；(3)面積非負， 而定積分的結果可以為負. 易誤警示利用定積分求平面圖形的面積的易錯點典例(2013·上海高考)已知函數yf(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)函數yxf(x)(0x1)的

9、圖象與x軸圍成的圖形的面積為_1本題易寫錯圖形面積與定積分間的關系而導致解題錯誤2本題易弄錯積分上、下限而導致解題錯誤，實質是解析幾何的相關知識和運算能力不夠致錯3解決利用定積分求平面圖形的面積問題時，應處理好以下兩個問題：(1)熟悉常見曲線，能夠正確作出圖形，求出曲線交點，必要時能正確分割圖形；(2)準確確定被積函數和積分變量變式訓練：1由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為()A.B.C.D.2(2014·山東高考)設a>0.若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_. 定積分與微積分基本定理檢測題一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1.dx

10、()Aln xln2xB.1C. D.2(2012·湖北高考)已知二次函數yf(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為()A. B.C. D.3設函數f(x)ax2b(a0)，若f(x)dx3f(x0)，則x0等于()A±1 B.C± D24設f(x)則f(x)dx()A. B.C. D不存在5以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t秒時刻的速度v4010t2，則此物體達到最高時的高度為()A. m B. mC. m D. m6(2013·青島模擬)由直線x，x，y0與曲線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A. B1C. D.二、填空題(本

11、大題共3小題，每小題5分，共15分)7設asin xdx，則曲線yf(x)xaxax2在點(1，f(1)處的切線的斜率為_8在等比數列an中，首項a1，a4(12x)dx，則該數列的前5項之和S5等于_9(2013·孝感模擬)已知a，則當(cos xsin x)dx取最大值時，a_.三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10計算下列定積分：(1) sin2xdx； (2)2dx； (3)e2xdx.11如圖所示，直線ykx分拋物線yxx2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值12如圖，設點P從原點沿曲線yx2向點A(2,4)移動，直線OP與曲線yx2圍成圖形的面積為

12、S1，直線OP與曲線yx2及直線x2圍成圖形的面積為S2，若S1S2，求點P的坐標 備選習題1一物體做變速直線運動，其vt曲線如圖所示，則該物體在 s6 s間的運動路程為_2計算下列定積分：(1) (3x22x1)dx； (2)dx.3求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積4某技術監(jiān)督局對一家顆粒輸送儀生產廠進行產品質量檢測時，得到了下面的資料：這家顆粒輸送儀生產廠生產的顆粒輸送儀，其運動規(guī)律屬于變速直線運動，且速度v(單位：m/s)與時間t(單位：s)滿足函數關系式v(t)某公司擬購買一臺顆粒輸送儀，要求1 min行駛的路程超過7 673 m，問這家顆粒輸送儀生產廠生產的顆粒輸送儀能否被列入

13、擬挑選的對象之一？ 定積分與微積分基本定理復習講義答案前測：1.2ln 2例：(1).(2)2.(3).(4)e4e2ln 2.(5).變式：解：(1)|x1|故|x1|dx(1x)dx(x1)dx1.(2) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x) 1(1)22.例：自主解答dx表示y與x0，x1及y0所圍成的圖形的面積由y得(x1)2y21(y0)，又0x1，y與x0，x1及y0所圍成的圖形為個圓，其面積為.dx.互動：解：dx表示圓(x1)2y21在第一象限內部分的面積，即半圓的面積，所以

14、dx.變式.1例.互動：.變式.例：自主解答a0.4 m/s2，v072 km/h20 m/s.設t s后的速度為v，則v200.4t.令v0，即200.4 t0得t50 (s)設列車由開始制動到停止所走過的路程為s，則svdt(200.4t)dt(20t0.2t2)20×500.2×502500(m)，即列車應在進站前50 s和進站前500 m處開始制動變式.46典例：解析由題意可得f(x)所以yxf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx錯誤！未找到引用源。(10x10x2)dxx3錯誤！未找到引用源。. 答案 變式5.檢測題答案.42ln 2.10.解：(1) . (2)ln . (3) e.11.解：拋物線yxx2與x軸兩交點的橫坐標為x10，x21，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積S(xx2)dx. 又由此可得，拋物線yxx2與ykx兩交點的橫坐標為x30，x41k，所以，(xx2kx)dx(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1 1.12.解：設直線OP的方程為ykx，點P的坐標為(x，y)，則(kxx2)dx(x2kx)dx，即，解得kx2x32k，解得k，即直線OP的方程為yx，所以點P的坐標為.備選題：1.解析：由題圖可知，v(t)因此該物體在 s6 s間運動的路程為sv