拉普拉斯變換

1、拉普拉斯變換基本要求卷積定理的意義及它零狀理解拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念：熟練掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)、們的運(yùn)用。能根據(jù)時(shí)域電路模型畫岀S域等效電路模型，并求其沖激響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。能根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布情況分析、判斷系統(tǒng)的時(shí)域與頻域特性。全通網(wǎng)絡(luò)、最小相移網(wǎng)絡(luò)的概念以及拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系。會判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 知識要點(diǎn)1.拉普拉斯變換的定義及定義域(1)定義單邊拉普拉斯變換：正變換f (t)逆變換F(s)雙邊拉普拉斯變換：正變換Fb（s）逆變換f(t) 21(2)定義域若0時(shí)，limjF(s)f(t)stf(t)e dtstsdtF B(s)e dsf（

2、t）estF (s)e dso 則 f (t)e0的全部范圍內(nèi)收斂，積分0stf(t)e dt存在，即f（t）的拉普拉斯變換存在。o就是f （t）的單邊拉普拉斯變換的收斂域。0與函數(shù)f（t）的性質(zhì)有關(guān)。2.拉普拉斯變換的性質(zhì)（1）線性性fi(t)Fi(S)M) F2(S)2 為常數(shù)時(shí)f1(t)2f2(t)1F1（S）2F2（S）(2)原函數(shù)微分若f (t)F (s)則晉 sF(s) f(0)吹dtnsnF(s)1n r 1sof (r)(0 )式中f（r）（0r）是r階導(dǎo)數(shù)d f（t）dtr在0時(shí)刻的取值。(3) 原函數(shù)積分若f (t) F(s),F(s)tf(t)dts皿式中f(D(0)sf

3、(t)dt(4) 延時(shí)性若f (t) F(s),f(t to)u(t to)st0 F (s)(5) s域平移若f (t) F(s),f(t)e at F(sa)(6)尺度變換若f (t) F (s),g)丸)(a0)(7)初值定理limt of(t)f(0 ) limsF(s)(8)終值定理limtf(t)lim sF(s)s卷積定理若弾)Fi(s),f2(t)F2(s)，則有fl(t) f2(t)Fi(S)F2(S)仏“1h(s) F2(s)亍jj R(p)F2(s p)dp3. 拉普拉斯逆變換(1) 部分分式展開法首先應(yīng)用海維賽展開定理將 F (s)展開成部分分式,然后將各部分分式逐項(xiàng)進(jìn)

4、行逆變換,最后疊加起來即得到原函數(shù)f (t)(2)留數(shù)法留數(shù)法是將拉普拉斯逆變換的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)F (s)est在圍線中所有極點(diǎn)的留數(shù)運(yùn)A算，即(1F (s)2F (s)estdsF(s)estdsF(s)est的留數(shù)c極點(diǎn)P為一階級點(diǎn)，則在極點(diǎn)Pi處的留數(shù)n st2ri (s Pi)F(s)e Xii 1s PiP為k階級點(diǎn)，貝U rid k 1(k 1)!(SPi)kF(s)ests Pi4. 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H ( s)(1)定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)的拉普拉斯變換之比稱為系統(tǒng)函數(shù)，即H(s) 昱旦 沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H (s)構(gòu)成變換對，即 H(s)

5、h(t)系統(tǒng)的頻率響 E(s)應(yīng)特性H (jw) H (s) s jw H (jw) eJ (w)式中，H (jw)是幅頻響應(yīng)特性，(w)是相頻響應(yīng)特性。(2) 零極點(diǎn)分布圖N(s) K(s Zi)(s Z2)L (s Zm)H (s)式中，是系數(shù)；Z-)， z2， L zm為H (s)的D(s) (s Pi)(s P2)L (s Pn)零點(diǎn)；p，P2，L，Pn為H(s)的極點(diǎn)。在s平面上，用“ d ”表示零點(diǎn)，“”表示極點(diǎn)。將H(s)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)畫在s平面上得到的圖稱為系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。對于實(shí)系統(tǒng)函數(shù)而言，其零極點(diǎn)要么位于實(shí)軸上，要么關(guān)于實(shí)軸成鏡像對稱分布。(3) 全通函數(shù)如果一個(gè)系統(tǒng)

6、函數(shù)的極點(diǎn)位于左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，而且零點(diǎn)與極點(diǎn)對于jw軸互為鏡像,那么這種系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)，此系統(tǒng)則為全通系統(tǒng)或全通網(wǎng)絡(luò)。全通網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性是常數(shù)。(4) 最小相移函數(shù)如果系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)均位于s平面的左半平面或 jw軸，則稱這種函數(shù)為最小相移函數(shù)。具有這種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的系統(tǒng)為最小相移網(wǎng)絡(luò)。(5) 系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求解方法由沖激響應(yīng)h(t)求得，即H(s) h(t)。對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行零狀態(tài)條件下的拉普拉斯變換，然后由H(s) 昱5© 獲得。E(s)根據(jù)s域電路模型，求得零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵(lì)的像函數(shù)之比，即為H (s)5. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 若系統(tǒng)對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。(1)穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)域判決條件h(t)dt M (充要條件)若系統(tǒng)是因果的，則式可改寫為° h(t)dt M(2)對于因果系統(tǒng)，其穩(wěn)定性的s域判決條件若系統(tǒng)函數(shù)H (s)的全部極點(diǎn)