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1、試題編號(hào):重慶郵電大學(xué)2008-2009學(xué)年第二學(xué)期量子力學(xué)試卷(期末)(B卷)(閉卷)題號(hào)-一-二二2.12.22.32.4總分得分評(píng)卷人一、填空題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1、 A,B兩束光,A的波長(zhǎng)、a=3 10m,B的波長(zhǎng)=4 10m,請(qǐng)問哪束光的能量更高? A.2、微觀粒子的波函數(shù)應(yīng)滿足的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件是單值性,連續(xù)性,有限性 .3、一粒子的波函數(shù)t(x)=3x2e,請(qǐng)問該粒子是否處在動(dòng)量的本征態(tài)?丄.4、粒子穿過方勢(shì)壘,請(qǐng)問透射系數(shù)隨著勢(shì)壘的加高減小還是增大?減小5、假如兩力學(xué)量算符具有共同的本征函數(shù),則此這個(gè)算符是否對(duì)易?對(duì)易6對(duì)易關(guān)系L?2丄z , Lx,L?y岬
2、? , LX,何“思7、已知 X, Px =h,則厶X:Px - 2 .8、算符在其自身表象中的表示是否為對(duì)角矩陣? 是.9、已知泡利算符分量0 1,“的矩陣表達(dá)式10、寫出氧原子(原子序數(shù)z=8)的電子排布:1s22s22p4.二、解答題(本大題共6小題,共70分)卜 X 0,1、(10分)一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)U (x)二0,0 _ x _ a中運(yùn)動(dòng),求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的 :,x a波函數(shù)。解: 一位無限深勢(shì)阱中,定態(tài)薛定諤方程2d2-d (x) (U -E)(x)( 1)(2 分),這是沒有意義在阱外,X空0, x _a,U(X)=::,若波函數(shù)(x) = 0,由式得 2dx2的。因此,在阱外
3、必有t(x) =0。( 2分)224E在阱內(nèi),0 :x:a,U(x) =0,令 k22 ,由(1)式得nd 一k2-=0.(2)dx2上式的通解是(x)二 Asin kx - Bcoskx ,(3)A, B是兩個(gè)待定常數(shù).因?yàn)閰[(x)在邊界處連續(xù),有B (0) =0,且=Asin kx代入因?yàn)锳 - 0 ,否則只能有零解,故k = n , n二1,2/ .將粒子波函數(shù)(x)a歸一化條件.(xr (x)dx二1,積分得A二-,所以,歸一化波函數(shù)為an(x)二nx粒子能量為E二n2 后.(5)( sin.(4)( 5 分)a 分)試求平均值x和動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。(利用積分公式::鼻-訟二-oO解
4、:平均值x為a: .2 2* xdx=0x=. *(x)x (x)dx =-12 dx(4分)2、(10分)粒子狀態(tài)處于一維諧振子的基態(tài) (x,t)=22_ 1_- 2無:=4 :2x2t 丄 pxe 22 e “ dx12/ IP 、-2:(X 厲)e動(dòng)量幾率分布函數(shù)為2 p1_2 八一Ip )2dxp2(4分)國(guó)(p) = c(p)a 卉 Ji?(2分)因?yàn)閯?dòng)量的本征函數(shù)為p(x) n1 e訃,所以p 隔C(p) = frp(x)- (x)dx! a.0厶悄 4Pxe 22 e ” dxp2 2dx3、(20分)有二個(gè)物理量,它們的矩陣表示為:V20 1 0、5 0 0、1 0 1L丄 ,
5、Lz運(yùn)0 0 0衛(wèi)1 0丿1 0 T(1)如果測(cè)量Lz,得到的可能的值是什么?解: Lz的久期方程為=0)=0= 1=0,求Lz的本征函數(shù)?!?0)a、0 0 0a2=九a21 0-1 v芒3解: LZ的本征方程(1 分)aia2設(shè)為?z的本征函數(shù)。2當(dāng)=0時(shí),.1h 0二 020-1ai ) fO ) 01丿a2ai0=ai=a3 = 0由歸一化條件1 =(0,a2,0)a22a2 ,所以 a2 =1(2 分)當(dāng)2二力一時(shí),有由歸一化條件仁(a;,0,0)a J0I。丿=ai,所以a1當(dāng)3(2 分)1 =(0,0, a3)=a32,所以a3 =100、000a2一逅a2101丿丿&3丿池時(shí),
6、有05 _a2.一a3 J=a由歸一化條件(2 分)求Lx的本征值。解:Lx的久期方程為=0 = 1=0,23 ?x的本征值為0,(3分)求Lx的本征函數(shù)。解: ?x的本征方程010、h11001a2=ka210丿f30丿其中設(shè)?x的本征函數(shù)屮=a2 .( 1 分)a3 = _ai,a2 = 0當(dāng) 1 =0時(shí),有ft0 i 0、3i Jrii 0 ia2042e i 0丿9:ai即 0 = 0Lai由歸一化條件,zai2取ai= (ai ,0, ai) 0= 2aiLai丿(2 分)(i0i飛丿 當(dāng) 2二時(shí),有1(3i a3)a2屮舟=-J2.a由歸一化條件a2 na2a31 =(a;, J2
7、a;,a;) Jia、。(2 分)a2-2a3a、2.取a、12丿0 1 0 %a1 a1 1 0 1a2=_ha20 0丿0丿0當(dāng)3二-介時(shí),有h21jaiV21心、*a3)一 a?_a3a2 =2a1a? - - 2a3a3 二 a12 1= 4a1 .取 a1 = _a1由歸一化條件 1 =(a; ,f2a;,a;) - J2apa14、(10作用,微擾矩陣元為H,a和b都是實(shí)數(shù),用微擾公式求能量 巳乓至分)設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)有三個(gè)能級(jí):e10,e20,現(xiàn)在受到微擾H?/的二級(jí)修正值。解:因?yàn)镠/,由微擾論公式En=En Hnv 吧吧(0) m En - Em(2 分)可得El =Ei Hiim七a.皿1 0 0E1 - E2E2 =e0H22m七 b H2|2|Hm1 |2Eio - Em=E0 a bE1 一 E2 町 E; a、E2 - EmmTm=2IHmlfH (4 分)E02二 E bE2 E1|Hm2 |2吐(4分)5、(10分)證明軌道角動(dòng)量滿足L2 =l2 + L4L_-方Lz.(其中L=Lx土iLy)證明:L;LL_-扎Z -L; (Lx iL+ L 2-iLxLyiLyLxLyLx2-i(LxLy -LyLx) LLx2-i.i 札zLyMjLzL 2tlzLyLzL 2+ L 2 uy=L2 y)(Lx-iLy)Lz2 LzJ -也當(dāng)體系處于波函
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