08-09量子力學(xué)試題B答案

1、試題編號(hào)：重慶郵電大學(xué)2008-2009學(xué)年第二學(xué)期量子力學(xué)試卷（期末）（B卷）（閉卷）題號(hào)-一-二二2.12.22.32.4總分得分評(píng)卷人一、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1、 A,B兩束光，A的波長(zhǎng)、a=3 10m，B的波長(zhǎng)=4 10m，請(qǐng)問哪束光的能量更高？ A.2、微觀粒子的波函數(shù)應(yīng)滿足的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件是單值性，連續(xù)性，有限性 .3、一粒子的波函數(shù)t（x）=3x2e，請(qǐng)問該粒子是否處在動(dòng)量的本征態(tài)？丄.4、粒子穿過方勢(shì)壘，請(qǐng)問透射系數(shù)隨著勢(shì)壘的加高減小還是增大？減小5、假如兩力學(xué)量算符具有共同的本征函數(shù)，則此這個(gè)算符是否對(duì)易？對(duì)易6對(duì)易關(guān)系L?2丄z , Lx,L?y岬

2、? , LX,何“思7、已知 X, Px =h,則厶X：Px - 2 .8、算符在其自身表象中的表示是否為對(duì)角矩陣？ 是.9、已知泡利算符分量0 1，“的矩陣表達(dá)式10、寫出氧原子（原子序數(shù)z=8）的電子排布:1s22s22p4.二、解答題（本大題共6小題，共70分）卜 X 0,1、（10分）一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)U （x）二0,0 _ x _ a中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的 :,x a波函數(shù)。解: 一位無限深勢(shì)阱中，定態(tài)薛定諤方程2d2-d (x) (U -E)(x)( 1)(2 分),這是沒有意義在阱外，X空0, x _a,U(X)=：:，若波函數(shù)(x) = 0,由式得 2dx2的。因此，在阱外

3、必有t(x) =0。( 2分)224E在阱內(nèi)，0 ：x：a,U(x) =0,令 k22 ,由(1)式得nd 一k2-=0.(2)dx2上式的通解是(x)二 Asin kx - Bcoskx ,(3)A, B是兩個(gè)待定常數(shù).因?yàn)閰[(x)在邊界處連續(xù),有B (0) =0,且=Asin kx代入因?yàn)锳 - 0 ,否則只能有零解，故k = n , n二1,2/ .將粒子波函數(shù)(x)a歸一化條件.(xr (x)dx二1,積分得A二-,所以，歸一化波函數(shù)為an(x)二nx粒子能量為E二n2 后.(5)( sin.(4)( 5 分)a 分)試求平均值x和動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。(利用積分公式:：鼻-訟二-oO解

4、:平均值x為a: .2 2* xdx=0x=. *(x)x (x)dx =-12 dx(4分)2、(10分)粒子狀態(tài)處于一維諧振子的基態(tài) (x,t)=22_ 1_- 2無：=4 ：2x2t 丄 pxe 22 e “ dx12/ IP 、-2：(X 厲)e動(dòng)量幾率分布函數(shù)為2 p1_2 八一Ip )2dxp2(4分)國(guó)(p) = c(p)a 卉 Ji?(2分)因?yàn)閯?dòng)量的本征函數(shù)為p(x) n1 e訃，所以p 隔C(p) = frp(x)- (x)dx! a.0厶悄 4Pxe 22 e ” dxp2 2dx3、(20分)有二個(gè)物理量，它們的矩陣表示為:V20 1 0、5 0 0、1 0 1L丄 ，

5、Lz運(yùn)0 0 0衛(wèi)1 0丿1 0 T(1)如果測(cè)量Lz，得到的可能的值是什么?解: Lz的久期方程為=0)=0= 1=0,求Lz的本征函數(shù)?！?0)a、0 0 0a2=九a21 0-1 v芒3解: LZ的本征方程（1 分）aia2設(shè)為?z的本征函數(shù)。2當(dāng)=0時(shí),.1h 0二 020-1ai ) fO ) 01丿a2ai0=ai=a3 = 0由歸一化條件1 =(0,a2,0)a22a2 ，所以 a2 =1(2 分)當(dāng)2二力一時(shí)，有由歸一化條件仁（a；,0,0）a J0I。丿=ai，所以a1當(dāng)3（2 分）1 =（0,0, a3）=a32，所以a3 =100、000a2一逅a2101丿丿&3丿池時(shí)，

6、有05 _a2.一a3 J=a由歸一化條件（2 分）求Lx的本征值。解:Lx的久期方程為=0 = 1=0,23 ?x的本征值為0,（3分）求Lx的本征函數(shù)。解: ?x的本征方程010、h11001a2=ka210丿f30丿其中設(shè)？x的本征函數(shù)屮=a2 .（ 1 分）a3 = _ai,a2 = 0當(dāng) 1 =0時(shí)，有ft0 i 0、3i Jrii 0 ia2042e i 0丿9:ai即 0 = 0Lai由歸一化條件，zai2取ai= (ai ,0, ai) 0= 2aiLai丿(2 分)(i0i飛丿 當(dāng) 2二時(shí)，有1（3i a3）a2屮舟=-J2.a由歸一化條件a2 na2a31 =（a；, J2

7、a；,a；） Jia、。（2 分）a2-2a3a、2.取a、12丿0 1 0 %a1 a1 1 0 1a2=_ha20 0丿0丿0當(dāng)3二-介時(shí)，有h21jaiV21心、*a3）一 a?_a3a2 =2a1a? - - 2a3a3 二 a12 1= 4a1 .取 a1 = _a1由歸一化條件 1 =（a； ,f2a；,a；） - J2apa14、（10作用，微擾矩陣元為H，a和b都是實(shí)數(shù)，用微擾公式求能量 巳乓至分）設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)有三個(gè)能級(jí)：e10,e20，現(xiàn)在受到微擾H?/的二級(jí)修正值。解：因?yàn)镠/，由微擾論公式En=En Hnv 吧吧（0） m En - Em（2 分）可得El =Ei Hiim七a.皿1 0 0E1 - E2E2 =e0H22m七 b H2|2|Hm1 |2Eio - Em=E0 a bE1 一 E2 町 E； a、E2 - EmmTm=2IHmlfH （4 分）E02二 E bE2 E1|Hm2 |2吐（4分）5、（10分）證明軌道角動(dòng)量滿足L2 =l2 + L4L_-方Lz.（其中L=Lx土iLy）證明:L；LL_-扎Z -L； （Lx iL+ L 2-iLxLyiLyLxLyLx2-i（LxLy -LyLx） LLx2-i.i 札zLyMjLzL 2tlzLyLzL 2+ L 2 uy=L2 y）（Lx-iLy）Lz2 LzJ -也當(dāng)體系處于波函