f分布t分布與卡方分布

1、 1.4常用的分布及其分位數(shù)1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導出的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗統(tǒng)計中常用的分布。當X1、X2、Xn相互獨立且都服從 N(0,1)時，Z= x2的分布稱為自由度等于n的n2Xn布密度 p(z)=1n222分布，記作Z2 (n)z12ei,它的分0,其他,式中的 -2nu2稱為Gamma數(shù)，且1 =1,2= no2分布是非對稱分布具有可加性即當丫與Z相互獨立，且丫2(n), Z2(m)，則丫+Z2(n+m)。 證明：先令X1、X2、Xn、Xn +1、Xn+2、Xn+m相互獨立且都服從N(0,1)，再根據(jù) 2分布的定義以及上述隨機變量 的

2、相互獨立性，令丫=x2+x2+x2, z=x2“+x2+X2 ,12n，n 1 n 2n m，Y+Z= Xm2 nX+22 nX+di2 nX + 2 nX+22即可得到丫+Z2(n+m)2. t分布若X與丫相互獨立，且XN(0,1) , 丫2(n)，貝U Z = x 丫的分布稱為自由度 / N n等于n的t分布，記作Zt (n)，它的分布密度n 12請注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當n30 時，t分布與標準正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時，t分布的分布函數(shù)值查 N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得 到。3. F分布若X與丫相互獨立，且X2(n), Y2(m), 則Z= X

3、 丫的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于n ： mnz2m的F分布，記作 ZF (n, m),它的分布密度P(z)=22 (m n z) 20,其他請注意：F分布也是非對稱分布，它的分布密度與自由度的次序有關(guān)，當 ZF (n, m)時，丄F (m ,n)Z4. t分布與F分布的關(guān)系若 Xt( n)，則 丫=X F(1, n)。證：Xt( n) , X的分布密度P(x)=n.nnY=X 2 的分布函數(shù) FY(y) =PY y=PX 20 時，F(xiàn)y(y) =P-yX y=；p(x)dx=2 0y p(x)dx,Y=X 2的分布密度PyW)=n21y2與第一自由度等于 1、第二自由度等于 n

4、的 F 分布的分布密 度相同，因此Y=X2F（1, n）。為應用方便起見， 以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各 自的函數(shù)值表中查出。但是，解應用問題時，通常是查分位 數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如下：4. 常用分布的分位數(shù)1 ）分位數(shù)的定義 分位數(shù)或臨界值與隨機變量的分布函數(shù)有關(guān)， 根據(jù)應用的 需要，有三種不同的稱呼，即a分位數(shù)、上側(cè)a分位數(shù)與雙 側(cè)a分位數(shù)，它們的定義如下：當隨機變量X的分布函數(shù)為F（X），實數(shù)a滿足0 a 1時，a分位數(shù)是使 PX入=1 - F（入）=a的數(shù)入，雙側(cè)a分位數(shù)是使 PX 入 2=1 - F（入 2）=0.5 a 的數(shù)入 2。因為1- F（入）=a, F（入）=1-

5、a,所以上側(cè)a分位數(shù)入就是 1- a分位數(shù)X 1- a ；F（入1）=0.5 a, 1- F（入2）=0.5 a,所以雙側(cè)a分位數(shù)入1就 是0.5 a分位數(shù)X o.5 a ,雙側(cè)a分位數(shù)入2就是1-0.5 a分位 數(shù) X 1- 0.5a。2）標準正態(tài)分布的a分位數(shù)記作U a , 0.5 a分位數(shù)記作U0.5 a，1-05a分位數(shù)記作U 1_o.5a。PXU 0.5 a = F 0,1 (U 0.5 a )=0.5 a,PXU 1- 0.5 a = F 0,1 (U 1- 0.5a )=1- 0.5 a。 根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當 a =0.5 時，Ua =0 ；當 a 0.5 時，

6、U a 0。u a =- u 1- a。如果在標準正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負的分位數(shù)， 則先查出u仁a ,然后得到Ua =- u仁a。論述如下：當 X N(0,1)時，PXV U a = F 0,1 (U a )= a,PX U 1- a =1- F 0,1 (U 1- a )= a,故根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，Ua =- U 1- a o例如，U 0.10=-U 0.90=- 1.282,U 0.05=-U 0.95 = -1.645,U 0.01 = -U 0.99 = -2.326,U 0.025 =-U 0.975=-1.960,u 0.005=- u 0.995=- 2.

7、576。又因為P|X|V U 1- 0.5a =1 - a,所以標準正態(tài)分布的雙側(cè) a分位數(shù)分別是U 1- 0.5 a和-U 1- 0.5 a。標準正態(tài)分布常用的上側(cè)a分位數(shù)有：a =0.10，U 0.90=1.282 ；a =0.05 , u 0.95=1.645 ;a =0.01 , u 0.99=2.326;a =0.025 , u 0.975=1.960 ;a =0.005 , u 0.995=2.576。3)卡平方分布的a分位數(shù)記作 2 a (n)。2 a (n)0，當 X 2(n)時，PX 2 a (n)= a0分布密度x 0 分位數(shù) 尊例如，20.005 =0.21 ,20.02

8、5(4)=0.48 ,20.05 (4)=0.71 ,20.95(4)=9.49 ,2 0.975 (4)=11.1 ,20.995 ( t分布的a分位數(shù)記作ta (n)=14.9。當Xt (n)時，PX30時，在比較簡略的表中查不到ta (n),可用U a作為ta (n)的近似值。5) F分布的a分位數(shù)記作 Fa (n , m)。Fa (n , m)0,當 X F (n , m)時，PXF a (n , m)= a。Fi-另外，當a較小時，在表中查不出F a (n, m),須先查a (m, n)，再求 F a (n, m)=Fi1o(m , n )論述如下:當 X F(m, n)時，PX-=

9、1- a, P-= a,X F 1(m, n)X F 1(m, n)又根據(jù)F分布的定義， 丄F(n, m), P-F a (n, m) = a,XX1 因此 F a (n, m)=-F1 (m , n )例如，F(xiàn) o.95 (3,4)=6.59 , F 0.975 (3,4)=998 ,F 0.99 (3,4)=16.7 , F 0.95 (4,3)=9.12 ,F 0.975(4,3)=15.1 , F 0.99(4,3)=28.7 ,F 0.01 (3,4)=128.71F 0.025 (3,4)=肓,F 0.05 (3,4)=19.12【課內(nèi)練習】1. 求分位數(shù) 2 0.05(8)， 2

10、 0.95(12)2. 求分位數(shù) t 0.05(8)， t 0.95(12)。3. 求分位數(shù) Fo.O5(7,5)， Fo.95(1O,12)。4由u 0.975=1.960寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。5. 由t 0.95=2.132寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。6. 若X 2 (4), PX0.711=0.05 , PX9.49=0.95，試寫 出有關(guān)的分位數(shù)。7. 若X F(5,3) , PX9.01=0.95 , 丫 F(3,5) , 丫1.44。i習題答案：1.2.73, 21.0。2.-1.860, 1.782。3. 丄，3.37。4. 1.960 為上側(cè) 0.025 分位數(shù)，-1.960 與 1.960為雙側(cè)0.05分位數(shù)。5. 2.132為上側(cè)0.05分位