加泰羅尼亞的丟番圖問題

1、加泰羅尼亞的丟番圖問題發(fā)現(xiàn)連續(xù)權(quán)力,即解決方案,不包括0和1。加泰羅尼亞的猜想州唯一的解決方案,所以8和9(和)是唯一連續(xù)權(quán)力(不包括0和1)。加泰羅尼亞的猜想這個猜想在1844年由比利時數(shù)學(xué)家查爾斯尤金加泰羅尼亞8和9(和)是唯一連續(xù)權(quán)力(不包括0和1)。換句話說,(1)是唯一一個非平凡解加泰羅尼亞的丟番圖問題(2)的特殊情況和是的情況下莫德爾曲線.有趣的是,500多年前加泰羅尼亞制定他的猜想,李維本Gerson(1288 - 1344)已經(jīng)指出,2和3的唯一力量,顯然不同1和(皮特森2000)。這個猜想有不顧一切試圖證明這150多年來,盡管Hyyr和馬克維斯奇證明沒有連續(xù)三次權(quán)力存在(Ri

2、benboim 1996),也稱,8和9是唯一連續(xù)立方和平方數(shù)(訂單)。最后,4月18日,2002年,Mihilescu向幾個數(shù)學(xué)家證明整個手稿猜想(van der Poorten 2002)。證明已經(jīng)出現(xiàn)在打印(Mihilescu 2004)和被廣泛接受為正確和有效(Metsankyla Daems 2003年,2003)。Tijdeman(1976)表明,只有一個有限的如果數(shù)量的異常猜想不持有。最近的進展顯示,在一個可決定的問題有限的(但比天文)的步驟,特別是,如果和是權(quán)力,然后(1994,p . 155)。1999年,m . Mignotte顯示如果一個非平凡解的存在 ,(皮特

3、森2000)。它也知道,如果附加方程解存在,指數(shù)必須雙Wieferich '雙,或和數(shù)量必須滿足一個類可分性條件(施泰納1998)。限制這類數(shù)條件不斷改善從Inkeri(1964)和持續(xù)通過施泰納(1998)的工作。之后,在1999年的春天,Bugeaud和Hanrot證明了弱可能持有無條件(即類數(shù)條件。,無論是否和是一個雙Wieferich '兩不信)。隨后,在2000年秋天,Mihailescu證明了雙Wieferich '兩無條件的條件也必須持有(彼得森2000)。一個泛化高斯整數(shù)相差一個單位是由(3)參見:高斯整數(shù)一個高斯整數(shù)復(fù)數(shù)在哪里和是整數(shù)。高斯整數(shù)的成員虛

4、二次域并形成一個環(huán)通常表示為,有時(哈代和賴特1979,p . 179)。和,差,兩個高斯整數(shù)高斯整數(shù)的乘積,但是只有一個這樣(1)(小腿1993)。高斯整數(shù)可以唯一考慮的其他高斯整數(shù)(稱為高斯質(zhì)數(shù)),權(quán)力的和重組。的單位是和 .高斯整數(shù)的一個規(guī)范的定義是它復(fù)雜的模量(2)另一個常見的定義(如。哈迪,Herstein 1975;1979年賴特,p。182;阿廷1991;Dummit和富特2004)定義了一個高斯整數(shù)的規(guī)范(3)以上數(shù)量的平方。(注意,高斯整數(shù)組成歐氏環(huán)是什么讓他們特別感興趣的,只有在后者的定義。)由于兩種可能的定義,當(dāng)咨詢文獻謹慎是必須的。兩個高斯整數(shù)的概率和是互質(zhì)是

5、(4)(OEISA088454),是加泰羅尼亞的常數(shù)(·佩吉,柯林斯和約翰遜1989;芬奇2003,p . 601)。每個高斯整數(shù)都在的多個高斯整數(shù) .上面的圖顯示的根源高斯整數(shù)的各種理性的價值觀(Trott 2004年,p . 24)。虛二次域一個虛構(gòu)的二次字段是一個二次場與。下列表中特殊情況進行了總結(jié)。字段成員高斯整數(shù)艾森斯坦整數(shù)參見:艾森斯坦整數(shù)艾森斯坦整數(shù),有時也被稱為Eisenstein-Jacobi整數(shù)(芬奇2003,p . 601),是數(shù)字的形式,在那里和是正常的整數(shù),(1)是其中一個根的,其余1和(2)艾森斯坦整數(shù)的差異,總結(jié)和產(chǎn)品是另一個艾森斯坦整數(shù)。艾森

6、斯坦整數(shù)復(fù)數(shù)的成員虛二次域,這正是環(huán)(車1991,p . 1991)。艾森斯坦整數(shù)領(lǐng)域有六個單位(或統(tǒng)一的根源),即 ,(車1991,p . 1991;1994人,35頁)。每個非零艾森斯坦整數(shù)都有一個獨特的(排序)分解到同事,同事在哪里艾森斯坦整數(shù)與給定的艾森斯坦的整數(shù)倍數(shù)的旋轉(zhuǎn)在復(fù)平面。具體地說,任何非零艾森斯坦整數(shù)是獨一無二的產(chǎn)品權(quán)力的 ,“積極”艾森斯坦質(zhì)數(shù),“積極”艾森斯坦整數(shù)那些落在上面的三角形楔畫報(康威和蓋1996)。的模擬費馬定理艾森斯坦整數(shù)是質(zhì)數(shù)可以書面形式(3)敵我識別。恰恰是這些質(zhì)數(shù)的形式(康威和蓋1996)。艾森斯坦整數(shù)都在一個距離給定艾森斯坦的整

7、數(shù)倍數(shù) .Dorrie(1965)使用另一種符號(4)(5)為和和電話號碼的形式數(shù)字。和滿足(6)(7)(8)(9)(10)(11)參見:二次場一個代數(shù)整數(shù)的形式在哪里是squarefree形成一個二次場和來標(biāo)示。如果,這個領(lǐng)域被稱為真正的二次場,如果,它被稱為一個虛二次域。的整數(shù)只是所謂的“”整數(shù)。的整數(shù)被稱為高斯整數(shù)的整數(shù)被稱為艾森斯坦整數(shù)。的代數(shù)整數(shù)在一個任意的二次場不一定有獨特的分解。例如,字段和可分解不是唯一的,因為(1)(2)盡管上述因素在這些領(lǐng)域都是質(zhì)數(shù)。所有其他二次字段與獨特的可分解。二次領(lǐng)域遵守身份(3)(4)和(5)的整數(shù)在現(xiàn)實領(lǐng)域的形式,在那里(6)有21個二次

8、字段中有一個歐幾里得算法相應(yīng)的,為squarefree整數(shù) , , , ,、2、3、5、6、7、11、13、17日,19日,21日,29日,33歲,37歲,41歲的57歲和73年(A048981)。這個列表由Inkeri出版(1947年),但錯誤包括虛假的附加項97(巴恩斯和Swinnerton-Dyer 1952;哈代和賴特1979,p . 217)。參見:Squarefree據(jù)說是squarefree(有時quadratfrei;小腿1993)如果它'分解不包含重復(fù)的因素。所有質(zhì)數(shù)因此非常squarefree。1號是按照慣例被squarefr

9、ee。squarefree數(shù)字1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15日(OEISA005117)。的squareful數(shù)字(即。,那些包含至少一個廣場)4、8、9、12、16、18、20、24、25日,(OEISA013929).的Wolfram語言函數(shù)SquareFreeQn決定squarefree數(shù)量。注意,因為技術(shù)原因,Wolfram語言認為1是squarefree公約,符合定義時squarefree數(shù)量,在那里是默比烏斯函數(shù)。因此,1號有點好奇的區(qū)別的同時完全平方和squarefree。讓在哪里squarefree和在哪里包含一個或多個平方,所以。然后(1)(2)為和是黎

10、曼函數(shù)(哈代和賴特1979,p . 255)。第一個的值整數(shù)是繪制在一個以上所示白色網(wǎng)格,squarefree值。清晰的模式出現(xiàn)在數(shù)字的倍數(shù)每個共享一個或多個重復(fù)的因素。沒有已知的識別squarefree的多項式時間算法整數(shù)或計算squarefree部分一個整數(shù)。事實上,這個問題可能不會比一般的問題簡單整數(shù)分解(很明顯,如果一個整數(shù)完全可以被分解,是squarefree敵我識別它不包含重復(fù)的因素)。這個問題是一個重要的尚未解決的問題數(shù)論因為計算整數(shù)環(huán)的一個代數(shù)場簡化為計算數(shù)量squarefree部分一個整數(shù)1992年(Lenstra,Pohst和Zassenhaus 1992)。所有的數(shù)字不到

11、在西爾維斯特的序列squarefree,不是嗎squareful數(shù)字在這個序列是已知的(相熟識的1991)。每一個卡邁克爾數(shù)量squarefree。的二項式系數(shù)是squarefree僅為、3、4、6、9、10、12、36歲,不到,沒有別人。的中央二項式系數(shù)是squarefree僅為、2、3、4、5、7、8、11、17日,19日,23日,71年,(OEISA046098),沒有其他小于1500。讓是積極squarefree數(shù)字的數(shù)量(哈代和賴特1979,p . 251)。然后,2,最初幾個值是0,1,2,3,3,4,5,6,6,6,7,8,8,9,10,11日,11日,(OEISA013928)

12、。金額為包括(3)(4)(5)(6)(7)在哪里是默比烏斯函數(shù).漸近的數(shù)字squarefree數(shù)字是由(8)(朗道1974年,頁604 - 1974;Nagell 1951,p . 130,哈代和賴特1979年,頁269 - 270,哈代1999,p . 65)。因此漸近密度(OEISA059956;井1986,28頁;Borwein貝利,2003年,p . 139),是黎曼函數(shù)。的值為、100、10007,61,608,61,608,607926,6079291,60792694,607927124,6079270942,(OEISA071172).同樣地,漸近squarefree密度高斯整

13、數(shù)是由(OEISA088454),是加泰羅尼亞的常數(shù)(·佩吉,柯林斯和約翰遜1989;芬奇2003,p . 601)。的默比烏斯函數(shù)是由(9)所以表明squarefree。的漸近公式相當(dāng)于公式(10)(哈代和賴特1979,p . 270)讓是連號的數(shù)量與這樣和都是squarefree。為,1,給出了1 5 323,3230,32269,322619,3226343,32263377,322634281,3226340896,(OEISA087618)。然后給出了漸近的(11)(12)(OEISA065474,1932年Carlitz Heath-Brown 1984),是th 

14、9;,是Feller-Tornier常數(shù).Feller-Tornier常數(shù)Feller-Tornier常數(shù)是整數(shù),偶數(shù)的密度的主要因素與在他們的質(zhì)因數(shù)分解。它是由(1)(2)(OEISA065493),是'。它可以由之和(3)在哪里是'函數(shù).'函數(shù)'函數(shù)(1)和在哪里接管嗎質(zhì)數(shù)是一個泛化的黎曼函數(shù)(2)對所有正整數(shù)之和在哪里。是上文所述正實軸,虛部在哪里顯示在黃色和紅色的實部。(符號不同虛部情節(jié)出現(xiàn)在Froberg相比可能是由于使用不同的公約 .)各種術(shù)語和符號用于這個函數(shù)?！?#39;函數(shù)”這一術(shù)語和符號被Froberg使用(1968),而科恩(20

15、00)使用的符號 .級數(shù)絕對收斂,在那里分析,可以繼續(xù)的地帶(Froberg 1968),但不超出了線(朗道和Walfisz 1920,1920年Froberg)由于集群的奇異點虛軸產(chǎn)生的非平凡零點黎曼函數(shù)在關(guān)鍵線路 .如上圖(左邊實部用紅色表示,虛部在黃色),函數(shù)奇異點沿實軸在哪里貫穿所有正整數(shù)平方因子。為接近于1,的擴張(3)在哪里和(4)(5)(OEISA143524),是默比烏斯函數(shù)和是黎曼函數(shù)(Froberg 1968)。'函數(shù)繪制上面和(Froberg 1968)。'函數(shù)在復(fù)平面上面了?？偫砗瘮?shù)可以表達的黎曼函數(shù)通過(6)(7)(8)(9)反相然

16、后給(10)科恩(Froberg Glaisher 1891年,1891年,2000年)。'函數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為PrimeZetaPs。的模擬調(diào)和級數(shù)發(fā)散,但級數(shù)的收斂性是二次。然而,放棄最初的總和的術(shù)語(和添加Euler-Mascheroni常數(shù)使簡單的結(jié)果)莫頓常數(shù)(11)(12)(OEISA077761).阿廷是常數(shù)是與通過(13)在哪里是一個盧卡斯數(shù)量(Ribenboim 1998,村莊和Sebah)。的值最初幾個整數(shù)從兩個在下表中給出。·梅里菲爾德(1881)計算為35到15位數(shù),Lienard(1948)計算到50位(Ribenboim 1996)。村

17、莊和Sebah給60位值 .斯隆2A0855480.4522473A0855410.1747634A0859640.07699315A0859650.0357556A0859660.01707017A0859670.008283838A0859680.004061419A0859690.00200447100.000993604根據(jù)Froberg(1968),很少有人了解的根源。上面的情節(jié)顯示0的位置(圖左)和輪廓的零實數(shù)(紅色)和虛數(shù)部分(藍色)在復(fù)平面的一部分,與根表示黑點(圖)。權(quán)力權(quán)力是一個給定數(shù)量的指數(shù)。表達式因此被稱為“到權(quán)力?！钡臋?quán)力上面繪制(cf。2004年德比郡,頁

18、。68年和73年)?？赡苁且粋€整數(shù),實數(shù),或復(fù)數(shù)。然而,一個實數(shù)的力量非整型權(quán)力本身不一定是一個實數(shù)。例如,是真正的只 .0走上權(quán)力之外的數(shù)量定義為1,它遵循的限制(1)這一事實的收斂曲線所示在上面的圖中,顯示了為,0.4,2.0點。它也可以更直觀地指出多次服用平方根的數(shù)量為越來越小的數(shù)字方法之一,而做同樣的0和1之間的數(shù)字給數(shù)字越來越大,方法。為根,采取的總功率,接近0大,給在極限情況下,很大。(零次)本身是未定義的。缺乏明確的意義的這個量是相互矛盾的事實都是1,所以呢應(yīng)該等于1,但總是0(),所以應(yīng)該等于0。定義的選擇通常定義是什么不確定的,雖然定義允許一些公式表達只是(Knut

19、h Knuth 1992;1992年,p . 57)。第一個力量是,根據(jù)定義,等于本身,也就是說,(2)同樣的,(3)對于任何復(fù)數(shù)。因此,令人印象深刻的柯克船長(威廉·夏特納)能夠檢測一個心跳星際飛船上企業(yè)比可以通過放大一個聽覺傳感器占加劇的因素“1的四次方”第一季星際迷航集”軍事法庭”(1967)。的規(guī)則包含權(quán)力被稱為結(jié)合量指數(shù)法,提高基地的過程被稱為一個給定的力量求冪.的導(dǎo)數(shù)的是由(4)和不定積分通過(5)的定積分為真正的被稱為Cavalieri的求積公式,是由(6)而簡單的方程(7)不能被解決使用傳統(tǒng)的基本功能,解決方案可以得到的蘭伯特W-function作為(8)在哪里是自然

20、對數(shù)的 .同樣,解決(9)可以解決的而言,使用蘭伯特W-function。在特殊的情況下,除了解決方案和第三個解決方案(10)(11)(OEISA073084).特別的名字給在下表中列出了各種權(quán)力。權(quán)力的名字互惠平方根立方根1恒等函數(shù)2的平方3立方表達式的形式被稱為電力塔.最大的權(quán)力這數(shù)字、2、3、可以在表單嗎1,1,1、2、1、1、1、3、2、1(OEISA052409),相應(yīng)的值由1、2、3、2,5,6,7,2,3,(OEISA052410).雙二項給出了冪函數(shù)如下所示,(12)(英國麥克米倫,珀耳斯。通訊,2007年11月14日)。的權(quán)力和的第一個正整數(shù)是由Faulhaber的

21、公式,(13)在哪里是克羅內(nèi)克符號,是一個二項式系數(shù),是一個伯努利數(shù).讓是最大的整數(shù)那不是總和不同的th的權(quán)力積極的整數(shù)(1994人)。第一個值,3,128,12758,5134240,128,(OEISA001661).加泰羅尼亞的猜想(現(xiàn)在一個定理)指出,8和9(和)是唯一連續(xù)權(quán)力(包括0和1),即,唯一的解決方案加泰羅尼亞的丟番圖問題。此外,Hyyr和馬克維斯奇證明不存在連續(xù)三大國(Ribenboim 1996)。很少的數(shù)量的形式是'(綜合能力不需要考慮,因為)。唯一的質(zhì)數(shù)的形式為和'對應(yīng)于和梅森素數(shù),也就是說, , ,.其他數(shù)字的形式平等的。唯一的質(zhì)

22、數(shù)的形式為和'對應(yīng)于與、2、4、6、10、14、16、20、24、26日(OEISA005574)。其他數(shù)字的形式平等的 .沒有重要的方程的解決方案(14)為(1994,p . 153)。Cavalieri的求積公式的定積分(1)在哪里 ,是真實的數(shù)字和是自然對數(shù).Faulhaber的公式在1631年版的Academiae Algebrae,j . Faulhaber發(fā)表的一般公式權(quán)力和的第一個正整數(shù),(1)(2)在哪里是一個廣義的諧波數(shù),是克羅內(nèi)克符號,是一個二項式系數(shù),是th伯努利數(shù).計算的金額,10(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(1

23、2)參見:諧波數(shù)諧波數(shù)數(shù)字的形式(1)因截斷調(diào)和級數(shù)。諧波數(shù)量可以表達分析(2)在哪里是Euler-Mascheroni常數(shù)和是雙函數(shù).最初的幾個諧波數(shù)據(jù)1, , , ,(OEISA001008和A002805)。數(shù)字的分子的數(shù)量為,1,1,4,41歲,434,4346,43451,434111,4342303,43428680,(OEISA114467),相應(yīng)數(shù)量的數(shù)字在分母上1,4,40,433,4345,43450,434110,4342302,43428678,(OEISA114468)。這些數(shù)字收斂的小數(shù)位數(shù)似乎是什么(OEISA002285).最初幾個

24、指標(biāo)這樣分子的主要是由2、3、5、8、9日,21日,26日,41歲,56歲,62年,69年(OEISA056903)。尋找主要是分子已經(jīng)完成由e . w . Weisstein(2009年5月13日),和下表總結(jié)了最大的已知值。小數(shù)位數(shù)發(fā)現(xiàn)者63942年27795年e . w . Weisstein(2007年2月14日)69294年30067年e . w . Weisstein(2008年2月1日)69927年30301年e . w . Weisstein(2008年3月11日)77449年33616年e . w . Weisstein(2009年4月4日)78128年33928年e . w

25、 . Weisstein(2009年4月9日)78993年34296年e . w . Weisstein(2009年4月17日)81658年35479年e . w . Weisstein(5月12日,2009)分母的似乎永遠是質(zhì)數(shù)除了。此外,分母從來都不是原動力(這種情況下除外),因為分母總是整除2小于或等于最大的力量,也是任何'與 .諧波的數(shù)字實現(xiàn)HarmonicNumbern。的值這樣等于或超過1,2,3,給出1,4,11日,31日,83年,227年,616年,1674年(OEISA004080)。另一個有趣的序列項的數(shù)量簡單連分數(shù)的為,1、2、由1 8,68,834,8

26、356,84548,841817,8425934,84277586,(OEISA091590),這是推測的方法(OEISA089729).諧波的定義數(shù)字也可以擴展到復(fù)雜的平面,正如上文所述。根據(jù)他們的定義,諧波數(shù)據(jù)滿足明顯遞歸方程(3)與 .采取交替形成的數(shù)量總和的跡象也有一個明確的解析形式(4)(5)(6)特別美麗的形式嗎(7)(8)(9)(10)(11)(12)諧波數(shù)從來都不是一個整數(shù)除了,這可以證明通過使用強大的三角不等式證明2-adic價值的大于1。事實證明這個結(jié)果是在1915年由Taeisinger,任意數(shù)量的連續(xù)條件的更一般的結(jié)果不一定從1開始從來沒有和一個整數(shù)被Krsc

27、hak證明1918年(霍夫曼1998年,p . 1998)。諧波數(shù)量奇怪的是分子和甚至分母。的th諧波數(shù)量給出漸近(13)在哪里是Euler-Mascheroni常數(shù)(康威和蓋1996;Havil 1996,pp。79年和89年),一般的地方屆任期,給,120,240,為,2,(OEISA006953)。這個公式的特例Euler-Maclaurin積分公式(Havil 2003,p . 2003)。不平等的邊界包括(14)(年輕Havil 1991;1991年,頁73 - 75)(15)(DeTemple Havil 1991;1991年,頁1991 - 78)。一個有趣的分析和給出了(16)

28、Coffman(1987)。Borwein和Borwein(1995)顯示(17)(18)(19)(20)(21)在哪里是黎曼函數(shù)。第一個被德Doelder以前派生(1991),和第三哥德巴赫在1742年寫給歐拉(Borwein和貝利2003年,頁99 - 100,貝利et al . 2007,p . 256)。這些身份標(biāo)識的推論(22)(Borwein和Borwein 1995)。由于歐拉是額外的身份(23)(24)為,3,(Borwein和Borwein 1995)是摹仿的常數(shù)。這些所謂的相關(guān)歐拉金額.由于b . Cloitre(per一般的身份。通訊,2006年1月7日)(25)在哪里是

29、一個Pochhammer象征.高斯伯給了有趣的身份(26)(27)在哪里是不完整的函數(shù)和是Euler-Mascheroni常數(shù).g . Huvent(2002)發(fā)現(xiàn)了美麗的公式(28)一個美麗的雙系列是由(29)(貝利et al . 2007年,頁273 - 274)。另一個雙總和是(30)為(Sondow 2003,2003)。有一個意想不到的諧波數(shù)和之間的聯(lián)系黎曼假設(shè).廣義諧波數(shù)據(jù)可以定義的關(guān)系(31)在哪里(32)這些數(shù)量是實現(xiàn)HarmonicNumber(n,r)。分子的特殊情況被稱為五星行數(shù)字.b . Cloitre(per。通信技術(shù)),給了驚人的身份(33)這與無限期版本的一個著名

30、的系列 .為奇數(shù),這些顯式形式(34)在哪里是多函數(shù),是函數(shù),是黎曼函數(shù).二指標(biāo)諧波數(shù)據(jù)滿足身份(35)(p .西蒙,珀耳斯。通訊,8月30日,2004)。的廣義諧波數(shù)據(jù)包括(36)為,在那里是一個polylogarithm,(37)(38)(39)(40)(41)(42)方程(37), (38), (39)和(41由于b . Cloitre(per)。通訊,2004年10月4日)是一個dilogarithm。一般來說,(43)(p .西蒙,珀耳斯。通訊。6月2日,2003)。電力諧波數(shù)據(jù)也遵守意想不到的身份(44)(m . Trott per。通訊)。p·西蒙(per。通

31、訊,2004年8月30日)顯示(45)在哪里(46)(47)(48)(49)這給特殊的結(jié)果(50)為,分別?？低蜕w(1996)定義的二階諧波數(shù)量(51)(52)(53)三階諧波數(shù)量(54)和階諧波數(shù)由(55)兩個索引的定義略有不同諧波數(shù)是由羅馬(1992年)的嗎諧波對數(shù)。羅馬(1992)定義的(56)(57)加上遞歸關(guān)系(58)對于一般和,這是等價的(59)和,它簡化了(60)為可以寫,諧波數(shù)(61)在哪里是羅馬!和是一個斯特靈第一種的數(shù)量.一個單獨的類型的數(shù)量有時也稱為“諧波數(shù)”諧波因子數(shù)量(或礦石數(shù)量)。復(fù)數(shù)求冪一個復(fù)數(shù)可以被帶到另一個的力量嗎復(fù)數(shù)。特別是復(fù)雜的求冪滿足(1)在哪里是復(fù)雜

32、的爭論。書面明確實部和虛部,(2)給出一個明確的例子復(fù)雜的求冪(3)一個復(fù)數(shù)可以真正的帶到一個復(fù)數(shù)。事實上,著名的例子(4)顯示純虛的力量對自己是真實的。窗體頂端最小值馬克斯再保險即時通訊窗體底端事實上,有一個家庭的價值觀這樣是真實的,我們可以看到通過編寫(5)這將是真實的時候,即,因為(6)為一個整數(shù)。積極,這給根或(7)在哪里是蘭伯特W-function。為這簡化了(8)為,2,這些數(shù)值1,2.92606(OEISA088928),4.30453,5.51798,4.30453,5.51798,.·參見:常用對數(shù)窗體頂端最小值馬克斯窗體底端的常用對數(shù)對數(shù)來基地10。的符號被物理學(xué)

33、家、工程師、計算機鍵盤常用對數(shù)表示。然而,數(shù)學(xué)家們普遍使用相同的符號來表示自然對數(shù)ln,。更糟的是,在俄國文學(xué)符號是用來表示一個八進制數(shù)數(shù)對數(shù),沖突使用的象征lg表明以2為底的對數(shù)。為了避免模棱兩可,最好是顯式地指定當(dāng)以10為底的對數(shù)是目的。在這工作, ,用于自然對數(shù),使用對數(shù)的嗎基地2。情況更加復(fù)雜,許多理論家(如。Ivi2003)通常使用的符號來表示的嵌套的自然對數(shù) .的常用對數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為日志10 x和Log10x。哈代和賴特(1979,p . 8)斷言,常用對數(shù)已經(jīng)“沒有數(shù)學(xué)的興趣?！逼胀ǖ淖匀粚?shù)可以表示對方和常用對數(shù)擴展到復(fù)平面上面的說明。自然對

34、數(shù)自然對數(shù)是對數(shù)有基礎(chǔ)e,在那里(1)這個函數(shù)可以定義(2)為 .這個定義意味著e獨特的數(shù)量與區(qū)域的面積有限的財產(chǎn)嗎雙曲線,軸垂直的線和是1。換句話說,(3)的符號用于物理和工程自然對數(shù)來表示,而數(shù)學(xué)家通常使用的符號。在這工作,代表一個自然對數(shù),而表示常用對數(shù).有很多常用的符號約定的跡象的自然對數(shù)。而一些作者使用(即。使用三角函數(shù)公約),這也是常見的寫作 .普通的自然對數(shù)可以表示對方(4)(5)自然對數(shù)尤其有用微積分因為它的導(dǎo)數(shù)是由簡單的方程(6)而在其他基地對數(shù)的更加復(fù)雜導(dǎo)數(shù)(7)可以分析繼續(xù)自然對數(shù)復(fù)數(shù)作為(8)在哪里是復(fù)雜的模量和是復(fù)雜的爭論。自然對數(shù)多值函數(shù)因此需要

35、一個分支切割在復(fù)平面,Wolfram語言大會的地方 .窗體頂端最小值馬克斯再保險即時通訊窗體底端的主值的自然對數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為日志x,相當(dāng)于日志(E(x)。這個函數(shù)是復(fù)平面的上方。請注意,逆三角和反雙曲函數(shù)可以表示(事實上,通常定義)的自然對數(shù),總結(jié)如表所示。因此,一旦這些定義達成一致,分支切割結(jié)構(gòu)采用自然對數(shù)修正這些函數(shù)的分支削減。函數(shù)象征定義逆csc反余弦函數(shù)反余切反雙曲csc反雙曲余弦反雙曲余切反雙曲正割反雙曲正弦反雙曲正切逆sec反正弦逆切的墨卡托系列(9)給出了一個泰勒級數(shù)自然對數(shù)。連分數(shù)對數(shù)函數(shù)的表征包括(10)(蘭伯特1770;拉格朗日1776;1963歲

36、,p。138;墻1948,p . 342)(11)墻(歐拉1813 - 1814;1948年,p . 343;1963歲,p . 139)。對于一個復(fù)數(shù)自然對數(shù)滿足(12)(13)和(14)在哪里是主值.一些特殊的自然對數(shù)的值包括(15)(16)(17)(18)(19)自然對數(shù)有時會寫成“簡單”的和或差對數(shù),例如(20)它遵循立即從身份(21)普勞夫(2006)發(fā)現(xiàn)以下美麗的身份:(22)(23)(24)參見:指數(shù)函數(shù)窗體頂端最小值馬克斯窗體底端窗體頂端最小值馬克斯再保險即時通訊窗體底端指數(shù)函數(shù)的整函數(shù)定義為(1)在哪里e方程的解是什么這 .也是唯一解的方程嗎與 .指數(shù)函數(shù)

37、的實現(xiàn)Wolfram語言作為經(jīng)驗值z。它滿足身份(2)如果 ,(3)指數(shù)函數(shù)滿足身份(4)(5)(6)(7)在哪里是Gudermannian(拜爾1987,p . 1987;Zwillinger 164,p . 485)。指數(shù)函數(shù)麥克勞林級數(shù)(8)和滿足限制(9)如果(10)然后(11)(12)(13)指數(shù)函數(shù)連分數(shù)(14)(墻1948,p . 348)。窗體頂端最小值馬克斯再保險即時通訊窗體底端上面的圖顯示了函數(shù)Trott(2004年,第166 - 165頁)。指數(shù)函數(shù)包括積分(15)(16)(Borwein et al . 2004年,55頁)。參見e的常數(shù)是基礎(chǔ)的自然對數(shù).有時

38、被稱為歐拉常數(shù),盡管它的符號(歐拉)榮譽。獨特的數(shù)量與區(qū)域的面積有限的財產(chǎn)嗎雙曲線,軸垂直的線和是1。換句話說,(1)可能是個例外 ,數(shù)學(xué)是最重要的常數(shù),因為它出現(xiàn)在無數(shù)的數(shù)學(xué)背景涉及限制和衍生品。的數(shù)值是(2)(OEISA001113).可以定義的限制(3)(見上圖),或由無窮級數(shù)(4)首次出版的牛頓(1669;1968年懷特塞德轉(zhuǎn)載,p . 225)。是由不尋常的限制(5)(兄弟和諾克斯1998)。歐拉(1737;Sandifer 2006)證明是非理性的通過證明有一個無限的簡單連分數(shù)(Nagell 1951),劉維爾在1844年證明了不滿足任何二次方程與整體系數(shù)(即。,如果是代

39、數(shù),它必須代數(shù)的程度大于2)。埃爾米特后來解決了問題,證明是先驗的在1873年。然而,是“至少”先驗,不合理措施 .Sondow(2006)證明不合理使用建設(shè)作為一個嵌套的十字路口的關(guān)閉時間間隔序列。這種方法還提供了一個非理性的Smarandache函數(shù)(這里表示為而不是傳統(tǒng)的為了避免混亂的不合理措施通過展示,如果和是任何整數(shù),然后(6)現(xiàn)在還不知道或是非理性的。眾所周知,和不滿足任何多項式度方程與整數(shù)系數(shù)的平均大小(貝利1988年,Borwein et al . 1989),但是現(xiàn)在還不知道如果這是先驗的。現(xiàn)在還不知道是正常的任何基地(Stoneham 1970)。系列的代表(7)

40、以及(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)的特殊情況歐拉公式(15)與給美麗的身份(16)一個方程連接的基本數(shù)據(jù)我,1和0(零平等()和涉及的基本操作),除了 (),乘法 (),求冪.一個嵌套系列可以通過重寫系列(2)作為(17)(18)(19)這使一個漂亮的嵌套的激進結(jié)果當(dāng)是雙方的力量。一個意想不到的沃利斯如公式給出的Pippenger產(chǎn)品(20)(OEISA084148和A084149;Pippenger 1980)。另一個產(chǎn)品給出的(21)由于Guillera(Sondow 2006)。這是類似于產(chǎn)品(22)和(23)(Guillera和Sondow 2

41、005,Sondow 2005)。使用遞歸關(guān)系(24)與,計算(25)結(jié)果是。高斯伯給了不尋常的方程連接和 ,(26)(27)(OEISA100074).Rabinowitz和車(1995)給出算法計算數(shù)字的根據(jù)早些時候數(shù)字(Borwein和貝利2003,p . 140),但更簡單龍頭算法在1968年發(fā)現(xiàn)了銷售。大約在1966年,麻省理工學(xué)院的黑客埃里克·延森寫一個非常簡潔的程序(匯編語言需要不到一頁)計算通過將基數(shù)階乘轉(zhuǎn)換為小數(shù)。讓是一個隨機的概率一對一的功能上的整數(shù)1、至少有一個不動點。然后(28)(29)(30)(OEISA068996).斯特林近似給了(31)(32

42、)(OEISA068985).施泰納的問題要求的最大價值函數(shù),這是由 .的例子助記符加德納(1959、1991)包括:“綜合我前往布魯克林”(6位數(shù))?！捌茐囊粋€游戲室通常是一個實踐的孩子”(10位)。“它使一個傻瓜記住數(shù)字量”(10位)?！拔倚纬捎洃浻涀∫粋€函數(shù)在分析”(10位)?！彼貜?fù):我不應(yīng)該的傳言,我不應(yīng)該推翻!”(11位數(shù)字)?！痹谡故疽环嬁赡苤陵P(guān)重要的或有毒的女士,憤怒占主導(dǎo)地位。O保護,或她贊揚,大喊“(21位)。在這里,“O”這個詞代表數(shù)字0。一個更廣泛的助記符給40位“我們現(xiàn)在一個助記記住一個常數(shù)如此激動人心,歐拉喊道:”!當(dāng)?shù)谝淮伟l(fā)現(xiàn)的時候,是的,大聲的! '。我的學(xué)生也許會計算使用電力或泰勒級數(shù),一個簡單的求和公式,明顯,清晰、優(yōu)雅!”(Barel 1995)。在后者,0代表“!”。的列表助記符在幾種語言是由a . p . Hatzipolakis維護。乙狀結(jié)腸函數(shù)窗體頂端最小值馬克斯再保險即時通訊窗體底端乙狀結(jié)腸函數(shù),也稱為s形曲線(馮Seggern 2007,p . 148)或邏輯函數(shù),函數(shù)