線代第三章習(xí)題解答

1、第三章 行列式習(xí)題3.13-1-6.用定義計(jì)算行列式（1）解：設(shè)則中第1行的非0元為，故同法可求：可組成四個(gè)4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2，故中相應(yīng)的非0項(xiàng)有4項(xiàng)，分別為，其代數(shù)和即為的值，整理后得 (2)解：由行列式的定義僅當(dāng)分別取2，3,n-1,n,1 時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)不為零，其余各項(xiàng)都為零習(xí)題3.23.2-2.證明(1)證明: (2) 證明:(3) 證明: 按最后一行展開，得 3=2-3計(jì)算下列行列式（1） (2) （最后一行（n+1）行依次與第n,n-1,2,1行交換，經(jīng)過(guò)n次交換；再將新的行列式的最后一行（即原來(lái)的n行）依次換到第二行，經(jīng)過(guò)n-1次

2、交換；。最后一共經(jīng)過(guò)次換行。使原行列式化為范德蒙德行列式）(3) （4） 解：按第一列展開行列式，得（5）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)習(xí)題3.33-3-1利用伴隨矩陣求下列矩陣逆陣（1）（3），其中 解： 逆矩陣存在又 故 3-3-2 設(shè)矩陣， 求， 解：， ，存在由，所以 又 存在，且，故 3-3-3 設(shè)為可逆矩陣，證明 證明：可逆，且逆矩陣為， 由于，可逆且 可得 另一方面，由 由矩陣可逆定義知，可逆，且3-3-4 設(shè)，證明： 證明： 若，則 原式得證3-3-5設(shè)方陣滿足，證明及都可逆，并求解： 顯然可逆且 可逆 且， 即可逆， 由，于是由得， 故 3-3-6.用克拉姆法則解方程組（1） 解： 3-3

3、-7 問取何值時(shí)， 有非零解？解： 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有非0解即 ，或時(shí)，有非0解習(xí)題3.43-4-1求矩陣的秩與標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 （2）秩為2（3）易知，秩為4。3-4-2答：在秩為的矩陣中，有等于零的階子式，沒有等于零的階子式，沒有不等于零的階子式。3-4-3證明：任何秩為的矩陣均可表示為個(gè)秩為1的矩陣之和。證：設(shè)A為m×n矩陣，且R（A）=。故A必與矩陣B等價(jià)。 即m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q使得A=PBQ。又其中是m×n矩陣，僅第i行第i列的元素為1，其余元素全都為0. 且初等變換不改變矩陣的秩， 證畢。3-4-4證明：等價(jià)矩陣有相同的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣。證：設(shè)為等價(jià)矩陣，則經(jīng)過(guò)有限

4、次初等行變換可換為。從而分別經(jīng)過(guò)有限次初等行變換可換為相同的行最簡(jiǎn)型，再經(jīng)過(guò)有限次初等列變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型. 故等價(jià)矩陣有相同的標(biāo)準(zhǔn)型矩陣.3-4-5解：法一：初等變換法法二：定義法第五章 n維向量空間習(xí)題5.15-1-1. 解： a-b = a+(-b) = (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c=3a+2b+(-c)=(3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T = (0,1,2)T5-1-2. 解： 3(a1-a)+2(a2+a) = 5(a3+a) 3a1+2a2+(-3+2)a = 5a3+5a 3a1+2a2+(-a)=5a3+5a

5、 ， 3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3 = 5a3+5a+a+(-5)a3 3a1+2a2+(-5)a3 =6a 3a1+2a2+(-5)a3 = ´6a ， a1+a2+(-)a3 = a將 a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a =a1+a2+(-)a3 中可得： a=(1,2,3,4)T.5-1-3.(1) V1是向量空間.由(0,0,0)V1知V1非空.設(shè)a=(x1,x2,xn)V1,b=(y1,y2,yn)V1, 則有x1+x2+xn=0，y1+y2+yn=0. 因?yàn)?(x1+y1)+(x2+y2)+(xn+

6、yn)= (x1+x2+xn)+( y1+y2+yn)=0所以 a+b=( x1+y1,x2+y2,xn+yn)V1.對(duì)于kR，有 kx1+kx2+kxn=k(x1+x2+xn)=0所以 ka=( kx1,kx2,kxn) V1. 因此V1是向量空間. (2) V2不是向量空間.因?yàn)槿=(1, x2,xn)V2 ,b=(1, y2,yn)V2,但a+b=(2, x2+y2, xn+yn)V2. 因此V2不是向量空間.習(xí) 題 5.25-2-1. 求向量b關(guān)于向量組a1,a2,a3,a4的線性組合表達(dá)式：(1) 解：= 因此向量b關(guān)于向量組的線性組合表達(dá)式為： .(2) 解：= 因此向量b關(guān)于向

7、量組的線性組合表達(dá)式為： 5-2-2(1) 解：因?yàn)橄蛄拷M中向量的個(gè)數(shù)大于每個(gè)向量的維數(shù)由推論2知線性相關(guān).(2) 解因?yàn)?所以線性無(wú)關(guān).(3) 解因?yàn)椋?所以線性相關(guān).(4) 解 因?yàn)椋?所以 線性無(wú)關(guān).5-2-3. 證明：假設(shè)有常數(shù)k1,k2,k使 k1b1+k2b2+k3b3=0 又由于 于是可得 即 (k1+k2+k3)a1+ (k2+k3)a2+k3a3=0 因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以有 解得 因此向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān).5-2-4. 設(shè)存在常數(shù)k1,k2,k3,k4使 k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0因?yàn)?b1=a1+a2, b2= a2+a3, b3=a3+a4, b4

8、= a4+a1于是可得： k1 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0整理得： (k1+k4)a1+ (k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0，（下用兩種方法解）法 一： 因?yàn)閍1,a2,a3,a4為同維向量， 則(1) . 當(dāng)向量組a1,a2,a3,a4線性無(wú)關(guān)時(shí)， k1+k4=0， k2+k1=0，k2+k3=0，k3+k4=0，方程組，方程組的系數(shù)行列式所以方程組有非零解 因此 b1,b2,b3,b4 線性相關(guān)。(2) 當(dāng)向量組a1,a2,a3,a4線性相關(guān)時(shí)，k1+k4，k2+k1，k2+k3，k3+k4至少存 在 一個(gè)不為

9、0，不防設(shè)k1+k40，那么k1,k4至少有一個(gè)不為零。因此k1,k2,k3,k4不全為0，于是可得b1,b2,b3,b4線性相關(guān)。5-2-5. 證明：（法一）設(shè) ， 則有 因?yàn)橄蛄拷M 線性無(wú)關(guān)，則 ，所以有而B是n行m列矩陣，所以綜上知，所以向量組線性無(wú)關(guān)。（法二）假如 向量組b1,b2,bm線性相關(guān).即存在不全為0的常k1,k2,km,使： k1b1+k2b2+kmbm=0 由題意不妨設(shè) a1=(a11,a12,a1r), a2=(a21,a22,a2r), , am=(am1,am2,amr) 則相應(yīng)地， b1=(a11,a12,a1r,a1r+1, a1n), b2=(a21,a22,

10、a2r,a2r+1, a2n), , bm=(am1,am2,amr,amr+1, amn)由 k1b1+k2b2+kmbm=0 可得： k1a11+k2a21+kmam1=0 k1a12+k2a22+kmam2=0 , k1a1r+k2a2r+kmamr =0 k1a1r+1+k2a2r+1+kmamr+1 =0 , k1a1n+k2a2n+kmamn=0去前面r個(gè)分量可得： k1(a11,a12,a1r)+k2(a21,a22,a2r)+km(am1,am2,amr)=0即 k1a1+k2a2+kmam=0由假設(shè)知k1,k2,km不全為0，因此a1,a2,am線性相關(guān)，此與a1,a2,am

11、線性無(wú)關(guān)相矛盾，結(jié)論得證.習(xí) 題 5.35-3-1（1）解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換為 該矩陣的秩為3，矩陣的第1,2,3列是它的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.（2） 解：對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換為 該矩陣的秩為4，因此矩陣的第1,2,3,4列是它的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.5-3-2(1) 解：以a1,a2,a3為列作矩陣A：A=該矩陣的秩為2,它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為a1,a2（2） 解：以a1,a2,a3為列作矩陣A=該矩陣為下三角矩陣，其，因此該矩陣的秩為3,它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為向量組本身. （3） 解：以a1,a2,a3,a4,a5為列作矩陣A,矩陣A的秩為3, 矩陣A的第1,2,3列構(gòu)成它的一個(gè)極

12、大無(wú)關(guān)組， 5-3-3證明：（法一） 設(shè)； ，且 向量組C能被A表示，而A也能被C表示所以 取向量組B的極大無(wú)關(guān)組為：，它也是向量組C的極大無(wú)關(guān)組，所以向量組C能由向量組線性表示，所以向量組C能由向量組B線性表示，所以向量組A能由向量組B線性表示，加上題設(shè)條件，所以向量組A與向量組B等價(jià)。（法 二）設(shè)向量組B和A的秩均為r,且設(shè)它們的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組分別為 (b1,b2,br), (a1,a2,ar).則由極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)可知：一個(gè)向量組的所有向量都可由它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組的向量線性表示.因此要證明向量組A與B等價(jià)，只證明a1,a2,ar可由b1,b2,br線性表示即可.因?yàn)锽可由A線性表示，不妨

13、設(shè) b1=c11a1+c12a2+c1rar b2=c21a1+c22a2+c2rar br= cr1a1+cr2a2+crrar不妨設(shè)存在常數(shù)k1,k2,kr使 k1b1+k2b2+krbr=0于是可得： (k1c11+k2c21+krcr1)a1+(k1c12+k2c22+krbr2)a2+(k1c1r+k2c2r+krbrr)ar=0 由a1,a2,ar 線性無(wú)關(guān)可得： k1c11+k2c21+krcr1=0 k1c12+k2c22+krbr2=0 k1c1r+k2c2r+krbrr=0把k1,k2,kr當(dāng)作未知數(shù)，當(dāng)k1,k2,kr只有0解時(shí)，b1,b2,br線性無(wú)關(guān).要k1,k2,k

14、r只有0解，當(dāng)且僅當(dāng)0 (i=1,r,j=1,2,r),即 C=即矩陣C的秩為r,存在逆矩陣C-1.設(shè)C-1= 又因?yàn)?=C, 則 C-1= C-1C 即 = C-1 因此有： a1=b1+b2+br a2=b1+b2+br ar=b1+b2+br 也即說(shuō)明，a1,a2,ar可由b1,b2,br線性表示，因此結(jié)論成立. 證明：(1) 必要性. 若a是任一n維向量，由于n+1個(gè)n維向量a1,a2,an ,a必線性相關(guān)，而a1,a2,an線性無(wú)關(guān)，故a必可由a1,a2,an線性表示. (2) 充分性. 因?yàn)槿我籲維向量都能由a1,a2,an線性表示，則特別地n維單位坐標(biāo)向量e1,e2,en都能由a

15、1,a2,an線性表示,因此，a1,a2,an與e1,e2,en是等價(jià)的向量組，故 a1,a2,an的秩為n,即它們線性無(wú)關(guān). 5-3-8. 證明： 因?yàn)镽3=L(e1,e2,e3), e1,e2,e3表示單位坐標(biāo)向量，所以只須證明L(e1,e2,e3)= L(a1,a2,a3).即證e1,e2,e3與a1,a2,a3等價(jià).顯然，a1,a2,a3可由e1,e2,e3線性表示，因而只須證明e1,e2,e3可由a1,a2,a3線性表示即可. 因?yàn)?且因此矩陣 為可逆矩陣，其逆矩陣為 即 這說(shuō)明e1,e2,e3可由a1,a2,a3線性表示，因此L(a1,a2,a3) = R3.5-3-9. 證明：（

16、法 一） 因?yàn)榕c有相同的行最簡(jiǎn)形矩陣，并且矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等行變換得到的新矩陣的行向量組與原來(lái)矩陣的行向量組等價(jià)，所以向量組與向量等價(jià)，即向量組a1,a2與向量組b1,b2等價(jià)。（法 二）(1) (b1,b2)能由(a1,a2)線性表示. 設(shè)(b1,b2)= (a1,a2)即 =可解得： =這說(shuō)明 (b1,b2) 能由 (a1,a2) 線性表示.(2) (a1,a2)能(b1,b2)由線性表示.由(1)可知： (b1,b2)= (a1,a2) ， =-20也即是矩陣 有可逆矩陣，可求得其逆矩陣為 因此有 (a1,a2)= (b1,b2) 也即(a1,a2)能(b1,b2)由線性表示.由(1),

17、(2)可知: L(a1,a2)=L(b1,b2)5-3-10. 解： 設(shè)存在常數(shù)k1,k2, k3 ， 使 k1a1+k2a2+k3a3=0即 可解得： k1=k2=k3=0 因此 a1,a2,a3線性無(wú)關(guān),即a1,a2,a3為R3的一個(gè)基. 設(shè)向量b1=l1a1+l2a2+l3a3, b2=l4a1+l5a2+l6a3.即(l1,l2,l3)，(l4,l5,l6)分別為b1,b2在基a1,a2,a3下的坐標(biāo).也即是： 和 可分別解得： 和 因而b1,b2在基a1,a2,a3下的坐標(biāo)分別為(2,3,-1)和(3,-3,-2).5-3-11. 解： V的維數(shù)為n-1維，取V中n-1個(gè)向量e2=(

18、0,1,0,0), e3=(0, 0,1 ,0), en= (0,0,0,1).易證e2,e3,en線性無(wú)關(guān).對(duì)任意x=(0,x2,x3,xn)有 x=x2e2+x3e3+xnen ,因此， e2,e3,en為V的一個(gè)基.習(xí) 題 5.4 5-4-1(1)解：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行變換如下 于是可得： 取x41，可得線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為： =因此可得線性方程組的通解為：=k, kR.(2) 解： 齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行變換如下 于是可得： 取，可得線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：1= 2=因此可得線性方程組的通解為：=k11+k22, k1,k2R.(3) 解：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行變換如下因此該齊次線性方程組只有0解.5-4-2.(1) 解：非齊次線性方程組的增廣矩陣的行變換如下于是可得： 其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：=，非齊次線性方程組的一個(gè)特解為=因此非齊次線性方程組的通解為：=+k,kR.(2) 非齊次線性方程組的增廣矩