解析幾何第四版呂林根課后習(xí)題答案第五章

1、第五章 二次曲線一般的理論§5.1二次曲線與直線的相關(guān)位置1. 寫出下列二次曲線的矩陣A以及，及.（1）；（2）；（3）；（4）（5）.解：（1）；（2）；.（3）；（4）；（5）；. 2. 求二次曲線與下列直線的交點(diǎn).（1）（2）；（3）；（4）；（5）.提示：把直線方程代入曲線方程解即可，詳解略（1）；（2，；（3）二重點(diǎn)；（4）；（5）無(wú)交點(diǎn). 3. 求直線與的交點(diǎn). 解：由直線方程得代入曲線方程并解方程得直線上的所有點(diǎn)都為交點(diǎn). 4 .試確定k的值，使得（1）直線與二次曲線交于兩不同的實(shí)點(diǎn)； （2）直線與二次曲線交于一點(diǎn)； （3）與二次曲線交于兩個(gè)相互重合的點(diǎn)；（4）與二次曲

2、線交于兩個(gè)共軛虛交點(diǎn).解：詳解略.（1）；（2）或（3）或；（4）.§5.2二次曲線的漸進(jìn)方向、中心、漸進(jìn)線1. 求下列二次曲線的漸進(jìn)方向并指出曲線屬于何種類型的（1）；（2）；（3）.解：（1）由得漸進(jìn)方向?yàn)榛蚯覍儆趻佄镄偷模?（2）由得漸進(jìn)方向?yàn)榍覍儆跈E圓型的； （3）由得漸進(jìn)方向?yàn)榛蚯覍儆陔p曲型的.2. 判斷下列曲線是中心曲線，無(wú)心曲線還是線心曲線.（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）因?yàn)?，所以它為中心曲線； （2）因?yàn)榍?，所以它為無(wú)心曲線； （3）因?yàn)榍?，所以它為無(wú)心曲線； （4）因?yàn)榍?，所以它為線心曲線；3. 求下列二次曲線的中心.（1）；（2）；（3）.解：（1）由

3、得中心坐標(biāo)為； （2）由得中心坐標(biāo)為； （3）由知無(wú)解，所以曲線為無(wú)心曲線.4. 當(dāng)滿足什么條件時(shí)，二次曲線（1）有唯一中心；（2）沒(méi)有中心；（3）有一條中心直線.解：（1）由知，當(dāng)時(shí)方程有唯一的解，此時(shí)曲線有唯一中心；（2）當(dāng)時(shí)方程無(wú)解，此時(shí)曲線沒(méi)有中心；（3）當(dāng)時(shí)方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，此時(shí)曲線是線心曲線.5. 試證如果二次曲線有漸進(jìn)線，那么它的兩個(gè)漸進(jìn)線方程是=式中為二次曲線的中心. 證明：設(shè)為漸進(jìn)線上任意一點(diǎn)，則曲線的的漸進(jìn)方向?yàn)?，所?. 6. 求下列二次曲線的漸進(jìn)線.（1）；（2）；（3）.解：（1）由得中心坐標(biāo).而由得漸進(jìn)方向?yàn)榛?，所以漸進(jìn)線方程分別為與 （2）由得中心坐標(biāo).而由得漸進(jìn)方

4、向?yàn)榛?，所以漸進(jìn)線方程分別為與 （3）由知曲線為線心曲線，.所以漸進(jìn)線為線心線，其方程為. 7. 試證二次曲線是線心曲線的充要條件是，成為無(wú)心曲線的充要條件是. 證明：因?yàn)榍€是線心曲線的充要條件是也即；為無(wú)心曲線的充要條件是也即.8. 證明以直線為漸進(jìn)線的二次曲線方程總能寫成. 證明：設(shè)以為漸進(jìn)線的二次曲線為 ，則它的漸進(jìn)線為=，其中為曲線的中心， 從而有= ，而=0 因?yàn)闉榍€的中心， 所以有， 因此， 令，代入上式得 即， 所以以為漸進(jìn)線的二次曲線可寫為.9.求下列二次曲線的方程.（1）以點(diǎn)（0，1）為中心，且通過(guò)（2，3），（4，2）與（-1，-3）； （2）通過(guò)點(diǎn)（1，1），（2，1

5、），（-1，-2）且以直線為漸進(jìn)線. 解：利用習(xí)題8的結(jié)論即可得： （1）； （2）.§5.3二次曲線的切線1. 求以下二次曲線在所給點(diǎn)或經(jīng)過(guò)所給點(diǎn)的切線方程.（1）曲線在點(diǎn)（2，1）； （2）曲線曲線在點(diǎn)在原點(diǎn)； （3）曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，-1）； （4）曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)； （5）曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）.解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.2. 求下列二次曲線的切線方程并求出切點(diǎn)的坐標(biāo).（1）曲線的切線平行于直線； （2）曲線的切線平行于兩坐標(biāo)軸.解：（1），和，； （2），和，.3. 求下列二次曲線的奇異點(diǎn).（1）； （2）； （3）.解：（1）解方程組得奇異點(diǎn)為； （2）

6、解方程組得奇異點(diǎn)為.4.試求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且切直線于點(diǎn)（1，-2）及切直線于點(diǎn)（0，-1）的二次曲線方程. 解：利用（5.3-5）可得.5.設(shè)有共焦點(diǎn)的曲線族，這里是一個(gè)變動(dòng)的參數(shù)，作平行于已知直線的曲線的切線，求這些切線切點(diǎn)的軌跡方程. 解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則由（5.3-4）得曲線的切線為 ， 因?yàn)樗叫信c，所以有， 代入整理得， 所以切點(diǎn)的軌跡為.§5.4二次曲線的直徑1. 已知二次曲線.求它的（1）與軸平行的弦的中點(diǎn)軌跡； （2）與軸平行的弦的中點(diǎn)軌跡； （3）與直線平行的弦的中點(diǎn)軌跡.解：（1）因?yàn)檩S的方向?yàn)榇耄?.4-3）得中點(diǎn)軌跡方程； （2）因?yàn)檩S的方向?yàn)榇耄?.4-3）得

7、中點(diǎn)軌跡方程； （3）因?yàn)橹本€的方向?yàn)榇耄?.4-3）得中點(diǎn)軌跡方程.2.求曲線通過(guò)點(diǎn)（8，0）的直徑方程，并求其共軛直徑.解：（1）把點(diǎn)（8，0）代入 得，再代入上式整理得直徑方程為，其共軛直徑為.3.已知曲線的直徑與軸平行，求它的方程，并求出這直徑的共軛直徑. 解：直徑方程為，其共軛直徑方程為.4.已知拋物線，通過(guò)點(diǎn)（-1，1）引一弦使它在這點(diǎn)被平分. 解：.5. 求雙曲線一對(duì)共軛直徑的方程，已知兩共軛直徑間的角是45度.解：設(shè)直徑和共軛直徑的斜率分別為，則.又因?yàn)樗鼈兘唤?5度，所以，從而或2，或，故直徑和共軛直徑的方程為和或和.6.求證：通過(guò)中心曲線的直線一定為曲線的直徑；平行于無(wú)心

8、曲線漸進(jìn)方向的直線一定為其直徑. 證明：因?yàn)橹行那€直徑為中心線束，因此過(guò)中心的直線一定為直徑；當(dāng)曲線為無(wú)心曲線時(shí)，它們的直徑屬于平行直線束，其方向?yàn)闈u進(jìn)方向，所以平行于無(wú)心曲線漸進(jìn)方向的直線一定為其直徑.7求下列兩條曲線的公共直徑.（1）與； （2）與. 解：（1）；（2）.8.已知二次曲線通過(guò)原點(diǎn)并且以下列兩對(duì)直線 與為它的兩對(duì)共軛直徑，求該二次曲線的方程. 解：設(shè)曲線的方程為，則由（5.4-3）和（5.4-5）可得，所以曲線的方程為.§5.5二次曲線的主直徑與主方向1.分別求橢圓，雙曲線，拋物線的主方向與主直徑.解：橢圓的主方向分別為1：0和0：1，主直徑分別為；雙曲線的主方向

9、分別為1：0和0：1，主直徑分別為；拋物線的主方向分別為0：1和1：0，主直徑分別為. 2.求下列二次曲線的主方向與主直徑. （1）； （2）； （3）.解：（1）曲線的主方向分別為1：（-1）和1：1，主直徑分別為； （2）其主方向分別為1：1和1：（-1），主直徑分別為； （3）其主方向分別為3：（-4）和4：3，主直徑分別為； （4）任何方向都是其主方向，過(guò)中心的任何直線都是其主直徑.3.直線是二次曲線的主直徑，點(diǎn)（0，0），（1，-1），（2，1）在曲線上，求該曲線的方程.解：設(shè)二次曲線方程為， 把點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），（1，-1），（2，1）分別代入上面方程同時(shí)利用直線為其主直徑可得，所

10、以所求曲線方程為.4.試證二次曲線兩不同特征根確定的主方向相互垂直.證明：設(shè)分別曲線的兩不同特征根，由它們確定的主方向分別為與則與，所以 從而有，因?yàn)?，所以，由此兩主方向與相互垂直.§5.6二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類1. 利用移軸與轉(zhuǎn)軸，化簡(jiǎn)下列二次曲線的方程并寫出它們的圖形.（1）；（2）；（3）；（4）. 解（1）因?yàn)槎吻€含項(xiàng)，我們先通過(guò)轉(zhuǎn)軸消去，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，則，即，所以或-2.取，那么，所以轉(zhuǎn)軸公式為代入原方程化簡(jiǎn)再配方整理得新方程為；類似的化簡(jiǎn)可得 （2）；（3）；（4）.2.以二次曲線的主直徑為新坐標(biāo)軸，化簡(jiǎn)下列方程，并寫出的坐標(biāo)變換公式與作出它們的圖形.（1）；（2）；

11、（3）；（4）.解：（1）已知二次曲線的距陣是 ， ， 所以曲線的特征方程為，其特征根為，兩個(gè)主方向?yàn)?，?其對(duì)應(yīng)的主直徑分別為，. 取這兩條直線為新坐標(biāo)軸得坐標(biāo)變換公式 代入已知曲線方程并整理得曲線在新坐標(biāo)系下的方程為 .（2）已知二次曲線的距陣是 坐標(biāo)變換公式 代入已知曲線方程并整理得曲線在新坐標(biāo)系方程為. （3）已知二次曲線的距陣是 ， 坐標(biāo)變換公式 代入已知曲線方程并整理得曲線在新坐標(biāo)系下的方程為. （4）坐標(biāo)變換公式代入已知曲線方程并整理得曲線在新坐標(biāo)系下的方程為 .3.試證在任意轉(zhuǎn)軸下，二次曲線的新舊方程的一次項(xiàng)系數(shù)滿足關(guān)系式.證明：設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，則，兩式平方相加得.4.試證二次曲線

12、 的兩條主直徑為，曲線的兩半軸的長(zhǎng)分別為 及. 證明：求出曲線的兩主直徑并化簡(jiǎn)即可得.§5.7應(yīng)用不變量化簡(jiǎn)二次曲線的方程1. 利用不變量與半不變量，判斷下列二次曲線為何種曲線，并求出它的化簡(jiǎn)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）.解：（1）因?yàn)?，而特征方程的兩根為，所以曲線的簡(jiǎn)化方程（略去撇號(hào)）為曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，曲線為雙曲線； 類似地得下面：（2）曲線的簡(jiǎn)化方程（略去撇號(hào)）為 ，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，曲線為橢圓；（3）曲線的簡(jiǎn)化方程（略去撇號(hào)）為 ，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 曲線為兩相交直線；（4）曲線的簡(jiǎn)化方程（略去撇號(hào)）為 ，

13、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，曲線為拋物線； （5）曲線的簡(jiǎn)化方程（略去撇號(hào)）為 ，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 曲線為一實(shí)點(diǎn)或相交與一實(shí)點(diǎn)的兩虛直線；（6）曲線的簡(jiǎn)化方程（略去撇號(hào)）為 ，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，曲線為拋物線的一部分；（7）曲線的簡(jiǎn)化方程（略去撇號(hào)）為 ， 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，曲線為兩平行直線；（8）曲線的簡(jiǎn)化方程（略去撇號(hào)）為 ，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 曲線為兩重合直線.2. 當(dāng)取何值時(shí)，方程 表示兩條直線.解：方程 表示兩條直線當(dāng)且僅當(dāng)，即.3. 按實(shí)數(shù)的值討論方程表示什么曲線.解：因?yàn)椋援?dāng)?shù)闹底兓瘯r(shí)，也隨著變化，它們的變化關(guān)系如下表：-11-0+0-0+0-0+-+0+所以有對(duì)應(yīng)于下面的結(jié)果：橢圓拋物線雙曲線一對(duì)相交直線雙曲線一對(duì)平行的虛直線虛橢圓4. 設(shè) 表示兩條平行直線，證明這兩條直線之間的