數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章：數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)一、數(shù)列的概念1、數(shù)列的概念：一般地，按一定次序排列成一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成，簡(jiǎn)記為數(shù)列，其中第一項(xiàng)也成為首項(xiàng)；是數(shù)列的第項(xiàng)，也叫做數(shù)列的通項(xiàng).數(shù)列可看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列.2、數(shù)列的分類：按數(shù)列中項(xiàng)的多數(shù)分為：（1） 有窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為有限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)有限；（2） 無(wú)窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為無(wú)限個(gè)，即項(xiàng)數(shù)無(wú)限.3、通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列

2、的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.4、數(shù)列的函數(shù)特征：一般地，一個(gè)數(shù)列，如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞增數(shù)列;如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即，那么這個(gè)數(shù)列叫做遞減數(shù)列;如果數(shù)列的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫做常數(shù)列.5、遞推公式：某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示，叫做遞推公式二、等差數(shù)列1、等差數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列久叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.即（常數(shù)），這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的依據(jù).2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為

3、，則通項(xiàng)公式為：.3、等差中項(xiàng)：（1）若成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且;（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，即是與的等差中項(xiàng)，且；反之若數(shù)列滿足，則數(shù)列是等差數(shù)列.4、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列中，若則，若則；（2）若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列；（3）等差數(shù)列的公差為，則為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，為常數(shù)列.5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和=；（2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：（3）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，則前n項(xiàng)和6、等差數(shù)列前n和的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列中，連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等差數(shù)列，即,仍為等差數(shù)列（即成等差數(shù)列），公差為m2d（2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，

4、可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)；（3）若等差數(shù)列共有2n+1（奇數(shù)）項(xiàng)，則若等差數(shù)列共有2n（偶數(shù)）項(xiàng)，則7、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為，則（1）（即首正遞減）時(shí)，有最大值且的最大值為所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)之和；（2）（即首負(fù)遞增）時(shí)，有最小值且的最小值為所有非正數(shù)項(xiàng)之和.（3）若是等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為，則8、兩個(gè)技巧已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類問(wèn)題，要善于設(shè)元(1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為，a3d，ad，ad，a3d，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元雙基自

5、測(cè)1已知an為等差數(shù)列，a2a812，則a5等于() A4 B5 C6 D72設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a62且S530，則S8等于()A31 B32 C33 D343已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：SnSmSnm，且a11.那么a10()A1 B9 C10 D554設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a23，a611，則S7等于()A13 B35 C49 D635在等差數(shù)列an中，a37，a5a26，則a6_三、等比數(shù)列1、等比數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)不為零的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示

6、（）.即，這也是證明或判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的依據(jù).2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為：.3、等比中項(xiàng)：（1）若成等比數(shù)列，則叫做與的等比中項(xiàng)，且;（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，即是與的等比中項(xiàng)，且；反之若數(shù)列滿足，則數(shù)列是等比數(shù)列.4、等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）等比數(shù)列中，若則，若則；（2）若數(shù)列和均為等比數(shù)列，則數(shù)列也為等比數(shù)列；（3）等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，為常數(shù)列.5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：（1）數(shù)列的前n項(xiàng)和=；（2）數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：（3）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可知，

7、已知中任意三個(gè)，便可建立方程組求出另外兩個(gè).6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)：設(shè)等比數(shù)列中，首項(xiàng)為，公比為，則（1）連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等比數(shù)列，即,仍為等比數(shù)列（即成等差數(shù)列），其公比為qm（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則.雙基自測(cè)1已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q等于()A B2 C2 D.2在等比數(shù)列an中，a44，則a2·a6等于()A4 B8 C16 D323設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，8a2a50，則()A11 B8 C5 D114、等比數(shù)列an滿足：a1a611，a3·a4，且公比q(0,1)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn21，求n的值5、已知

8、數(shù)列an滿足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式四、遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法總結(jié)1、遞推數(shù)列的概念：一般地，把數(shù)列的若干連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系叫做遞推關(guān)系，把表達(dá)遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式，而把由遞推公式和初始條件給出的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.2、兩個(gè)恒等式：對(duì)于任意的數(shù)列恒有：（1）（2）3、遞推數(shù)列的類型以及求通項(xiàng)方法總結(jié)：類型一（公式法）：已知（即）求，用作差法：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn3n1，則它的通項(xiàng)公式為an_.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n22n1，則其通項(xiàng)公式為_(kāi)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn224n(nN*)(1)求an的通項(xiàng)

9、公式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，Sn達(dá)到最大？最大值是多少？已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an2Sn·Sn10(n2)，a1.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式類型二（累加法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求.給遞推公式中的n依次取1,2,3，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子：利用公式可得：已知數(shù)列an滿足an1an3n2，且a12，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式已知a11，anan13n1(n2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式類型三（累乘法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求.給遞推公式中的n一次取1,2,3，n-1,可得到下面n-1個(gè)式子：利用公式可得：已知a11，anan1(n2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

10、類型四（構(gòu)造法）：形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。已知a11，an13an2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解法：該類型較要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用的方法解決。類型五（倒數(shù)法）：已知：數(shù)列的首項(xiàng),且，求.設(shè)，若則，即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.若則（轉(zhuǎn)換成類型四）.五、數(shù)列常用求和方法1.公式法 直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式，立方和公式等公式求解.2.分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減.3.裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和就變成了首尾少數(shù)項(xiàng)之和.4.錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的，此時(shí)可把式子的兩邊同乘以公比，得到，兩式錯(cuò)位相減整理即可求出.5、常用公式：1、平方和公式：2、立方和公式：1、在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的