【易錯題解析】北師大版九年級數(shù)學上冊第四章圖形的相似

1、【易錯題解析】北師大版九年級數(shù)學上冊第四章 圖形的相似一、單選題（共10題；共30分）1.（ 3分）如圖所示，在 ABC中D為AC邊上一點，若/DBC=/ A , BC=3, AC=6,則CD的長為（）5）A. 1B. 2C.D.:【答案】C【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】 解答：DBC=Z A , /C=/ C , .BCg ACB ,CD BC =, BC ACCD 3=一36-3 CD一2故選：c .CD rc分析：由/ DBC=Z A , ZC=Z C , 可證得BC2 ACB ,所以有一；=一；，代入數(shù)據(jù)可求 得.2. （ 3分）如果兩個相似三角形的面積的比是4:9，那么它們的

2、周長的比是（）A. 4:9B. 1:9C. 1:3D. 2:3【答案】D【考點】相似三角形的性質(zhì)【解析】【解答】兩個相似三角形的面積的比是4:9,兩個相似三角形的相似比為：2:3.兩個相似三角形的周長比為：2:3.故答案為：D.【分析】根據(jù)兩個相似三角形的面積的比等于相似比的平方求解。3. （ 3分）兩個相似多邊形一組對應邊分別為3 cm, 4.5 cm,那么它們的相似比為（）A. -B.C.D.【答案】A【考點】相似多邊形的性質(zhì)【解析】【解答】由題意得，兩個相似多邊形的一組對應邊的比為3:4.5= -，.它們的相似比為故答案為：A.【分析】兩個相似多邊形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成

3、比例4 .（ 3分）下列各組圖形中不是位似圖形的是（）第22頁共23頁【答案】D【考點】位似變換【解析】【解答】解：根據(jù)位似圖形的定義，可得A, B, C是位似圖形,B與C的位似中心是交點， A的為中心是圓心；D不是位似圖形.故選：D.【分析】根據(jù)如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用.5 .（ 3分）在同一時刻太陽光線是平行的，如果高 1.5米的測桿影長3米，那么此時影長 36米的旗桿的高 度為（）A.18 米E.12 米C.15 米D. 20 米【答案】A【考點】

4、相似三角形的應用，平行投影【解析】【解較】解一測竿的高度一旗竿的高度一旗竿的高度【斛析】 【斛目】斛. 測竿的影長=旗竿的影長， 一，解得旗桿的高度 =一 X36=18m）.故選：A.【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成比例，列出比例式再代入數(shù)據(jù)計算即可.6 . （ 3分）下列各組長度的線段中，成比例線段的是（）A. 1cm, 2cm, 3cm, 4cmh B. 1cm, 一cm, -cm , 一cmC、 2cm, 4cm, 6cm, 8cmD. -cm, -cm, -cm, -cm【答案】B【考點】比例線段【解析】【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段.對選

5、項一一分析，排除錯誤答案.【解答】A、1X4W2不散選項錯誤；B、i x -= X -，故選項正確；C、2X 8W4,X故選項錯誤；D、 X 一半-X ,故選項錯誤.故選B.【點評】考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等.7.（ 3分）如圖，在平行四邊形 ABCD中，對角線 AC, BD相交于點。，點E, F分別是邊AD, AB的中點,EF交AC于點H,則一的值為（）A. -B. 1C. -D.-【答案】A【考點】平行線分線段成比例【解析】【分析】二平行四邊形 ABCD中，對角線 AC, BD相交于點O,，AO=CO.點 E

6、, F分別是邊 AD, AB 的中點，EF/ BD. .一 -.-.-.故選A.8. （ 3分）下列說法中正確的是（）A.兩個直角三角形相似11的個等腰三角形相似C.兩個等邊三角形相似11哂個銳角三角形相似【答案】C【考點】相似三角形的判定【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到答案.【解答】A、只知道一個直角相等，不符合相似三角形判定的條件，故選項錯誤；B、因為沒有說明角或邊相等的條件，故選項錯誤；C、因為其三對角均相等，符合相似三角形的判定條件，故選項正確；D、因為沒有說明角或邊相等的條件，故選項錯誤.故選：C.【點評】考查相似三角形的判定定理：(1)兩角對應相

7、等的兩個三角形相似；(2)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；(3)三邊對應成比例的兩個三角形相似；(4)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么 這兩個直角三角形相似.9.（ 3 分）如圖，在 RtABC中，/ACB=90, AC=6, BC=8, AD 平分/ CAB交 BC于 D 點，E, F分別是 AD,AC上的動點，貝U CE+EF勺最小值為()A.1B.CD.6【答案】C【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：如圖所示：在 AB上取點C；使AC =AC過點C作C MAC,垂足為F,交AD與點E.

8、AD在RtABC中，依據(jù)勾股定理可知BA=10. AC=AC, / CAD=/ C AD AE=C .AE AEC.CE=EC.，CE+EF=C E+EF.當 C MAC時，CE+EFW最小值., C LAC, BCAC,C / BC.AFCA ACB.，即=一,解得FC .故答案為：C【分析】在 AB上取點C,使AC =AC過點C作C MAC,垂足為F,交AD與點E,利用全等三角形的判 定定理證明 AEe AE（C.得出對應邊相等，即 CE=EC.就可得出 CE+EF=C E+EF=FC當C MAC時， CE+EFW最小值，再證明 AAFCs ACEI,得出對應邊成比例，就可求出 FC的長。

9、10. （ 3分）如圖，在 ABC中，點P為AB上一點，給出下列四個條件：Sf；2 /ACP=/ B; /APC=/ ACB;AC =AP AB;AB-CP=AP-CB中能滿足 APC和AACB相似的條 件是（）A.B.C.D.【答案】D【考點】相似三角形的判定【解析】【解答】解：當/ ACP=Z B,/A公共，所以AP8 ACB;當 / APC=Z ACB,/A公共，所以AP8 ACB;當 AC2=AP?AB,即 AC： AB=AP： AC,/A公共，所以APC AACB；當 AB?CP=AP?CB 即一 一，而/ PAC=Z CAB, 所以不能判斷 APC和AACB相似.故答案為：D.進行

10、判斷；根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角【分析】根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對對應相等的兩個三角形相似可對 進行判斷.二、填空題（共10題；共30分）11. （ 3分）兩個相似三角形的相似比為 1:2,它們的面積比為 【答案】1:4【考點】相似三角形的性質(zhì)【解析】【解答】二兩相似三角形的相似比為1: 2,.它們的面積比是 1: 4,故答案為：1: 4.【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出答案?！敬鸢浮?【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：: DE/ BC,/ ADE=Z B, / AED=Z C, . ADEs ABC,故答案為：-【分析】根據(jù)相似三角形的對

11、應邊成比例求解。13. （ 3分）如圖，直線11 II 12 II 13 ,直線AC交1112 , 13 ,于點 A, B, C；直線 DF 交 11，1213于點D, E, F,已知平行線分線段成比例【解析】【解答】解：由- -和BC=AC-AB 一因為直線11 / 12/ 1312. （ 3 分）如圖，在 4ABC中，DE/ BC, =一,貝U =.所以一 一=2 故答案為2【分析】由一-和BC=AC-AB可得一的值；由平行線間所夾線段對應成比例可得-14.（ 3 分）如圖，在 ABC中，DE/ BC, AD= 1 , AB=3, DE= 2,貝U BC=【答案】6【考點】相似三角形的判定

12、與性質(zhì)【解析】 【解答】二.在 4ABC中，DE/ BC, AD& ABC/. ., AD= 1, AB= 3, DE= 2, /. - . . BC=6.【分析】相似三角形的判定和性質(zhì).15 .（ 3分）把一個矩形剪去一個正方形，若余下的矩形與原矩形相似，則原矩形長寬之比為【考點】相似多邊形的性質(zhì)根據(jù)相似多邊形對應邊的成比例, 設原矩形 ABCD的長AD=x,寬AB=y,則AE=x-y.【分析】根據(jù)相似多邊形對應邊的比等于相似比，設出原來矩形的長和寬，就可得到關于長寬的方程，從 而可以解得.16 .（ 3分）（2017?蘭州）如圖，四邊形 ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點是 O, 二

13、 -，則一【答案】-【考點】位似變換【解析】【解答】解：如圖所示：二.四邊形ABCD與四邊形EFGH位似,.OEDOAB, AOFG OBC,故答案為：-.【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出OE。AOAB, AOFG OBC,進而得出答案.17.（ 3分）墻壁CD上D處有一盞燈（如圖），小明站在A站測得他的影長與身長相等都為1.5m,他向墻壁走1m到B處時發(fā)現(xiàn)影子剛好落在 A點，則燈泡與地面的距離 CD=m.D【答案】-【考點】相似三角形的應用【解析】【解答】如圖：根據(jù)題意得：BG=AF=AE=1.5m AB=1m, BG/ AF/ CD .EAFECQ MBS ACD, .AE: EC=AF

14、 CD, AB: AC=BG CD,設 BC=xm, CD=ym,貝U CE= (x+2.5) m, AC= (x+1) m,解得：x=2, y=4.5,即 CD=4.5 米，故答案為：4.5.【分析】首先抽象出數(shù)學圖形，根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所截得的三角形與原三角形系數(shù)得出4人口ECD, AB8 ACD,根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出AE: EC=AF CD, AB: AC=BG案。18. ( 3分)如圖，在 中，/從點 出發(fā)，沿方向以 一的面積為，運動時間為 秒CD,設BC=xm, CD=ym,則CE= (x+2.5) m, AC= (x+1) m,根據(jù)比例式建立出方程組，

15、求解即可得出答, 為邊上的高，動點的速度向點運動.設 的面積為 ，矩形,則 =秒時，【答案】6【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，一元二次方程的實際應用-幾何問題【解析】【解答】如圖，解得t=6.故答案為6【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一，及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AD=BD=CD=8-cm .根據(jù)題意AP= 一t , PD=8 一- -t .根據(jù)三角形的面積計算公式算出Si的值，根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似得出APE4ADC ,根據(jù)相似 三角形對應邊成比例得出一 一,根據(jù)矩形的面積計算出 S2,根據(jù)S=28,列出方程，求解即可

16、。19. （ 3分）如圖，矩形 ABCD中，BE平分/ ABC交AD于點E, F為BE上一點，連接 DF,過F作FGJ DF 交BC于點G,連接BD交FG于點H,若FD=FG BF=3 一，BG=4,則GH的長為.【答案】【考點】三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：解法一：如右圖，過點F作BC的垂線，分別交 BC、AD于點M、N,則MNXAD,延長GF交AD于點Q,如圖所示.四邊形 ABCD是矩形,ABC=90 , AD/ BC, . BE平分/ ABC, ./ ABE=Z EBC=45, . MBF是等腰直角三角形,

17、 BF=3 一 ,BM=FM=3 , BG=4,MG=1 ,FD) FG,/ DFG=90 , / DFN+/ MFG=90 , . / DNF=90 , / NDF+Z DFN=90 , ./ NDF=Z MFG, 在DNF和AFMG中， . DNF FMG ( AAS , DN=FM=3, NF=MG=1,由勾股定理得：FG=FD=一, QN / BC, 1- FQ=,QN=-,設 GH=x,則 FH= - -x, . QD/ BG, x=即GH= 解法二：如右圖，過 F作FNXBCT N,過B作BMLFG于M,E 四邊形ABCD是矩形，ABC=90 , AD/ BC,. BE平分/ AB

18、C, ./ ABE=Z EBC=45, . NBF是等腰直角三角形， BF=3 -BN=FN=3,BG=4,NG=1,在RtFNG中，由勾股定理得：DF=FG=S/bfg= 一 BG?FN= 一 FG?BM, -4X3= - BM ,BM=,GM= =FM=GF- GM= = DF/ BM, . DFhM BMH, .HM=,GH=HM+GM= + =；故答案為：.【分析】解法一：添加輔助線，構造相似三角形和全等三角形，先證4MBF是等腰直角三角形，再明DNFFMG得出DN=FM、NF=MG,根據(jù)勾股定理求 FG=FD長，由QN/ BC得線段成比例，求得 FQ、QN 的長，由QD/ BG得線段

19、成比例求出 GH長。解法二：過 F作FNLBC于N,過B作BMLFG于M,易證得 NBF是等腰直角三角形，求出 BN, NG的長，在RtFNG中，根據(jù)勾股定理求得 DF=FG的長，再由面積法求出 BM的長，然后證明 DFH BMH, 得對應邊成比例，求出 HM的長，即可求得 GH的長。20.（ 3分）（2015?湖州）已知正方形 ABGDi的邊長為1,延長GDi到Ai ,以A1C1為邊向右作正方形 A1GQD2 ,延長C2D2到A ,以A2G2為邊向右作正方形 A2c2G3D3（如圖所示），以此類推.若AiCi=2, 且點A, D2 , D3 ,，Dio都在同一直線上，則正方形 A9QC10D

20、10的邊長是【答案】【考點】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：延長 D4A和CiB交于O,- AB/ A2C1, . AOBs D2OC2 = . AB=BG=1, DC2=CiQ=2,OC2=2OB, .OB=BG=3,OC2=6,設正方形A2QQD3的邊長為xi 同理證得： D2OQs D3OQ一=,解得，xi=3,，正方形A2QQD3的邊長為3, 設正方形A3QQD4的邊長為X2 同理證得： D3OQs D4OC4一=,解得 X2= - ,，正方形A3QQD4的邊長為-；設正方形A4QQD5的邊長為X3 : 同理證得：D4OQSAD5OC5 , , =,解得x=,正

21、方形A4QQD5的邊長為一；以此類推.正方形AniCnCnDn的邊長為 一 ，正方形A9QG0D10的邊長為一 故答案為一.【分析】延長 D4A和CiB交于O,根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)即可求得各個正方形的邊長，從 而得出規(guī)律，即可求得正方形A9C9C10D10的邊長.三、解答題(共8題；共60分)21 .( 6分)如圖所示的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，B(- 1, - D , C (5, - 1)(1)把4ABC繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90后得到Ab1G ,請畫出這個三角形并寫出點 B1的坐標；(2)以點A為位似中心放大 AABC,得到4A2B2c2 ,使放大前后的面積之比為

22、 1: 4,請在下面網(wǎng)格內(nèi) 出 AzB2c2 .【答案】(1)解：如圖所示：A1B1C1 ,即為所求，點B1的坐標為：(5, 5)(2)解：如圖所示：4A2B2c2【考點】作圖-位似變換，作圖-旋轉(zhuǎn)變換【解析】【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案；（2）利用位似圖形的性質(zhì)進而得出對應點位置即可得出答案.22 .（ 6分）如圖，有一塊三角形的土地，它的一條邊 BC=100米，BC邊上的高AH=80米.某單位要沿著邊 BC修一座底面是矩形 DEFG的大樓，D、G分別在邊AB、AC上.若大樓的寬是 40米（即DE=40米），求 這個矩形的面積.S E H F C【答案】 解答：

23、由已知得，DG/ BC .ADGs ABC , AHXBC .AHDG 于點 M,且 AM=AH-MH=80-40=40 (m)AG 3 , BC AH即DG=50 (m),2、 S矩形 defg=DEX DG=2000 m ） .【考點】相似三角形的應用【解析】【分析】由于四邊形DEFG是矩形，即DG/EF ,此時有/ ADG=/B ,/ AGD=/ C ,所以 ADGs ABC ,利用相似三角形的性質(zhì)求得線段DG的長，最后求得矩形的面積.23 .（ 6 分）如圖，在 4ABC 中，EF/ CD , DE/ BC , 求證：AF： FD=AD： DB .【答案】 證明：.EF/CD, DE/

24、BC,.AF AEAD AEFD ECDB ECFD DB即 AF: FD=AD: DB.【考點】平行線分線段成比例【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AF AEFD EC-即可.FD DB24 . ( 8分)如圖，四邊形 ABCD中，AC BD交BD于點E,點F, M分別是AB, BC的中點，BN平分/ ABE 交 AM 于點 N, AB=AC= BD,連接 MF, NF.(1)判斷4BMN的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)判斷4MFN與4BDC之間的關系，并說明理由.【答案】(1)解：4BMN是等腰直角三角形.證明：: AB= AC,點M是BC的中點，AM BC, AM 平分/ BA

25、C. BN 平分/ ABE, AC BD, ./ AEB= 90, ./ EAB+ / EBA= 90, . BMN是等腰直角三角形(2)解：MFNsA BDC證明：.點F, M分別是AB, BC的中點,FM / AC,/ AC= BD, 一 ,即 .由(1)知4BMN是等腰直角三角形，- ，即-,AM BC, ./ NMF+Z FMB=90. FM / AC. . / ACB= / FMB. . / CEB= 90, ./ ACB+ / CBD= 90. ./ CBD+ / FMB=90, .Z NMF=Z CBD. . MFNA BDC.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）

26、由題AB=AC,因為M為BC的中點，所以根據(jù)等腰三角形三線合一，/NMB=90 ,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可得到/MNB=45 ,所以得出三角形 NMB為等腰直角三角形。（2）由題可得，F(xiàn)M為三角形ABC的中位線，根據(jù)（1）中所求的等腰直角三角形，繼而可以求得成比例 的線段，繼而求/ NMF=/CBD,根據(jù)三角形相似的判定定理，即可求出MFNsBDCo“=25.（ 8分）如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形 BDEF,使得另一邊EF過原矩形的頂點S2 , RtDCE的面積為S3 ,則Si S+&（用 冬”、（2）寫出如圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.【答案】（1）

27、解：Si=BDX ED S矩形 bdef=BDX EDSi=_S矩形BDEF ,l- S2+S3=-S 矩形 BDEF ,Si=S2+S3 . 答： Cg CFBJ DEC.證明BC2 DEC;證明：/ EDC+Z BDC=90 , / CBD+Z BDC=90 ,/ EDC=Z CBD,又. / BCD=Z DEC=90 , . BCg DEC.【考點】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定【解析】【分析】（1）根據(jù)Sl=-S矩形BDEF , a+&hS矩形BDEF ,即可得出答案.（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得：BCgCFBADEC,選擇一對進行證明即可.26.（ 8分）四邊形ABCD中，點E是

28、AB的中點，F(xiàn)是AD邊上的動點.連結(jié) DE、CF. （1）若四邊形 ABCD是矩形，AD=12,CD=10如圖（1）所示.ID請直接寫出AE的長度； 當DE CF時，試求出CF長度.（2）如圖（2）,若四邊形ABCD是平行四邊形，DE與CF相交于點P.探究：當/ B與/ EPC滿足什么關系時，一 一成立？并證明你的結(jié)論.【答案】 解：（1）二四邊形ABCD是矩形，CD=10點E是AB的中點， AE=-CD=5;二.四邊形ABCD是矩形， ./ A=Z FDC=90,CF DE, / ADE+/ CFD=90 , / ADE+Z AED=90 , ./ CFD叱 AED, . / A=Z CDF

29、, . AEA DFC 在 AED 中，/ A =90 ,AD=12,AE =5,DE=13CF-(2)當/ B+Z EPC=180時，一 一成立. 四邊形ABCD是平行四邊形， ./ B=ZADC,AD/ BC,.B+ZA=180 , / B+/EPC=180, ./ A=Z EPC玄 FPD, / FDP=Z EDA, . DFP DEA, . / B=ZADC,Z B+/EPC=180,/EPC吆 DPC=180, / CPD土 CDF, / PCD土 DCF,.CP2 CDF,即當/ B+/EPC=180時，一 一成立.【考點】勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三

30、角形的判定與性質(zhì)【解析】 【分析】(1)四邊形ABCD是矩形，CD=10，點E是AB的中點，可得：AE=CD=5;根據(jù)已知證得AE2 DFC,利用相似三角形對應邊成比例即可；(2)當/ B+Z EPC=180時,一 一成立.根據(jù)已知證得：4DFgADEA,ACPD CDF再根據(jù)對應邊成比例即可.27. ( 8分)把兩個直角三角形如圖(1)放置，使/ ACB與/ DCE重合,AB與DE相交于點O淇中/ DCE=90,Z BAC=45 ,AB=6 -cm,CE=5cm, CD=10cm.(1)圖1中線段 AO的長=cm； DO=cm(2)如圖2,把ADCE繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn) “度(0VaV 90)

31、得口口與AB相交于點FABCB 恰好是以BC為底邊的等腰三角形，求線段AF的長.E,圖2【答案】 解：（1）如圖，過點A作AF/ DE,D / ACB與/ DCE重合，/ DCE=90,/ BAC=45 ,AB=AC=BC=6, . / DCE=90,CE=5, CD=10.ED= - , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4, AF/ DE . AFJ DEC，即 AF=一 一，即 EF=2,BF=EF+BE=2+1=3, AF/ DE.BO BAF一 一，即 AO=一 一,即 OE=DO=DE-OE= 一(2)連接BEi，過點E1作E1GLBC于G,過點F作FH, BC于H,E,DCE繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)a度一/ EiCG=a ,BC耳恰好是以BC為底邊的等腰三角形EiG是線段BC的中垂線EiC=5,BC=6CG=BH=3,EG=FHI BC,/ DCE=90, / BAC=45 ,BH=FH令 BH=FH=x,則：CH=6-x在FHC與CG旨中/ EiCG +/ FCH=Z FCH 吆 CFH=90;EiCG =Z CFH, . / FHC=Z C