平行四邊形的存在性問(wèn)題解題策略

1、04平行四邊形的存在性問(wèn)題解題策略1. (2010陜西西安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A ( 1 , 0), B (3, 0) , C (0, 1)三點(diǎn)。(1)求該拋物線的表達(dá)式;(2)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn) Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)。2【答案】解：(1)設(shè)該拋物線的表達(dá)式為 y = ax + bx = c。根據(jù)題意，得、a -b +c =0,杓a +3b +c = 0,解之，得bc - -11 a = 3,23,c 二 一1_1 2 2所求拋物線的表達(dá)式為 y x2 -x -1.33(2)當(dāng)AB為邊時(shí)，只要 PQ/AB

2、,且PQ=AB=4 即可,又知點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4 ,這時(shí)，將合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別記為 P1, P2。5而當(dāng) x=4 時(shí)，y= ,當(dāng)x = -4寸，y=7.3此時(shí) P1(4,5),P2(-4,7). 3當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段 PQ與線段AB互相平分即可,又知點(diǎn)Q在y軸上，且線段 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 ,.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,這時(shí)，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，記為 P3,而當(dāng) x=2 時(shí)，y=-1 ,此時(shí) P3 (2, -1 )5綜上，滿足條件的點(diǎn) P為P(4,), P2(4,7)尸3(2,1)32一一 一1. (2011山東威海，25, 12分)如圖，拋物線 y = ax +

3、bx + c交x軸于點(diǎn) A(-3,0)，點(diǎn)B(1,0)，交y軸于點(diǎn)E(0, 3) .點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直 線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行.直線y = -x+m過(guò)點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) K作x軸的垂線與直線 CD交于點(diǎn)H,與拋物線交于 點(diǎn)G,求線段HG長(zhǎng)度的最大值；(3)在直線l上取點(diǎn)M,在拋物線上取點(diǎn) N,使以點(diǎn) A, C, M, N為頂點(diǎn)的四邊是平行 四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).圖備用圖【答案】解：(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng) = a(x 1)(x+3)拋物線與y軸交于點(diǎn)E (0, -3),將該點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得

4、a =1 .2所求函數(shù)表達(dá)式y(tǒng) =(x1)(x+3),即y=x+2x 3.(2) 點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn) A(3,0)，點(diǎn)B(1,0),.點(diǎn)C的坐標(biāo)是C(5,0).將點(diǎn)C的坐標(biāo)是C(5,0)代入y = x + m,得m = 5.直線CD的函數(shù)表達(dá)式為 y = x +5 .2 一 一一設(shè)K點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,0),則H點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,t+5), G點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,t+2t3).點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，- 3 S <1 .- 223 241. HG =(-t +5) (t2 +2t_3) = t2 -3t +8 = -(t+-)2 + .- 3 - -3 < <1,2.當(dāng)t

5、= 3時(shí)，線段HG長(zhǎng)度有最大值41 . 24(3) .點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)C(5,0),.點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(3,0).直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行，直線l的函數(shù)表達(dá)式為 x=3.,點(diǎn)M在直線l上，點(diǎn)N在拋物線上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M (3, m),點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(n,n2十2n3). .點(diǎn) A(3,0)，點(diǎn) C(5,0) , . AC =8.分情況討論： 若線段AC是以點(diǎn)A, C, M , N為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形的邊，則須 MN /AC,且MN =AC = 8.當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，MN =3-n .- 3-n = 8,解得 n = -5.N點(diǎn)的坐標(biāo)為 N(5,12).當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)

6、M的右側(cè)時(shí)，MN = n -3 . n-3 = 8,解得 n=11 .N點(diǎn)的坐標(biāo)為 N(11,40).若線段AC是以點(diǎn)A, C, M , N為頂點(diǎn)的平行四邊形的對(duì)角線，由“點(diǎn) C與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱”知：點(diǎn) M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)B中心對(duì)稱.取點(diǎn) F關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(T,0).過(guò)點(diǎn)P作NPx軸，交拋物線于點(diǎn) N .2將 x = T 代入 y = x +2x -3,得 y = 4 .過(guò)點(diǎn)N , B作直線NB交直線l于點(diǎn)M .在ABPN和4BFM中，.NPB -MBF I.，BF =BPNBPN =/BFM =900.ZBPNzBFM . NB = MB .四邊形點(diǎn)ANCM為平行四邊形

7、.坐標(biāo)為(T,-4)的點(diǎn)N符合條件.當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(W,12), (11,40), (1,4)時(shí)，以點(diǎn)A, C, M, N為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形.2、(2009重慶某江)如圖，已知拋物線y = a(x1)2+3j3(a#0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2, 0),拋物線的頂點(diǎn)為 D ,過(guò)O作射線OM / AD .過(guò)頂點(diǎn)D平行于x軸的直線交射線 OM于點(diǎn)C, B在x軸正半軸上，連結(jié) BC.(1)求該拋物線的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s) .問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形?(3)若OC =OB ,動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)

8、點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單 位和2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿 OC和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (s)，連接PQ ,當(dāng)t為何值時(shí),并求出最小值及此時(shí) PQ的長(zhǎng).*26.解：(1) ;拋物線 y =a(x1)2+373(a=0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-2,0), 0 =9a +3，3: a = -1分3一，3 2 2.38.3、二二次函數(shù)的解析式為：y=x +x+3分333(2) D D為拋物線的頂點(diǎn) 二D(1,373)過(guò)D作DN J-OB于N ,則DN =3/3 ,4分AN =3". AD =43 +(3插2 =6，DAO =

9、60*OM / AD當(dāng)AD =OP時(shí)，四邊形 DAOP是平行四邊形J.OP =6 , t =6(s)5分當(dāng)DP _L OM時(shí)，四邊形 DAOP是直角梯形過(guò)O作 OH,AD于 H, AO=2,則 AH=1(如果沒(méi)求出 /DAO=60°可由RtOHAs RtDNA求AH =1)6 分OP =DH =5 t =5(s)當(dāng)PD =OA時(shí)，四邊形DAOP是等腰梯形,OP =AD -2AH =6-2 =4 , t = 4(s)綜上所述：當(dāng)t = 6、5、4時(shí)，對(duì)應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形.7分(3)由(2)及已知，/COB=60°, OC=OB,AOCB是等邊三角形則

10、 OB=OC=AD=6, OP =t, BQ =2t,二 OQ =62t(0<t <3)過(guò)P作PE -LOQ于E ,則PE =c11 小 ,3SBCPQ 二二 6 3,3- (6 -2t) t 222出。3 )263年八=t + 。39 %2 I 2J 8,363 7當(dāng)t = 一時(shí)，Sbcpq的面積取小值為 一v310分28B(2,0), C(0, 2),直線 x = m (m>2)與 x軸交于點(diǎn) D.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在直線x=m( m>2)上有一點(diǎn)E (點(diǎn)E在第四象限)，使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求 E點(diǎn)坐標(biāo)(用含

11、m的代數(shù)式表示)；(3)在(2)成立的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn) F ,使得四邊形 ABEF為平行四邊形?若存在，請(qǐng)求出 m的值及四邊形 ABEF的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.26 . （12 分）a b c = 0,解：（1）根據(jù)題意，得4a+2b+c = 0, 、c = -2.解得 a = T, b=3, c = 2.2y = x +3x -2 . （2 分）（2）當(dāng) /XEDBs/X aoc 時(shí),AO COAO COED BD BDED，, AO =1, CO =2,BD= m-2,當(dāng) AO COED BD時(shí)，得EDm -2 ED = -2點(diǎn)E在第四象限，E1 m,（4分） AO CO

12、小當(dāng)=時(shí)，得BD EDm -22，ED =2m4 , ED（6分）點(diǎn)E在第四象限，E2(m,4-2m).(3)假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn) F ,使得四邊形 ABEF為平行四邊形，則EF =AB =1 ,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m-1 ,當(dāng)點(diǎn)E1的坐標(biāo)為1 m, -m122 - m，點(diǎn)F1的坐標(biāo)為m-1, I2點(diǎn)Fi在拋物線的圖象上,2 -m2 = -(m-1)2 +3(m -1)-2 ,2,.2m -11m +14 =0 ,(2m -7)(m -2) =0,. m =7, m =2 (舍去),c,3 9 I ABEF - 14(9分)當(dāng)點(diǎn)E2的坐標(biāo)為(m,42m)時(shí)，點(diǎn) F2 的坐標(biāo)為(m1,42m),丁點(diǎn)F

13、2在拋物線的圖象上,.4 -2m = -(m -1)2 +3(m -1)-2 ,2.m -7m +10 =0,.(m 2)(m 5) =0 , m = 2 (舍去)，m=5,.尸2(4,-6), ,S ABEF =1 父 6 - 6 .(12 分)注：各題的其它解法或證法可參照該評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.24、(2009柳州)如圖11,已知拋物線 y=ax -2ax-b ( a > 0)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(1,0),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) C,頂點(diǎn)為D.(1)直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)(2)以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) C.求拋物線的解析式;點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn) F在拋物線上

14、,且以B, A, F, E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn) F的坐標(biāo).解：（1）對(duì)稱軸是直線：x =1,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,0）. 2分。（說(shuō)明：每寫(xiě)對(duì)1個(gè)給1分，“直線”兩字沒(méi)寫(xiě)不扣分）（2）如圖11 ,連接AC、AD,過(guò)D作DM _L y軸于點(diǎn)M ,解法一：利用AOCs/XCMD 點(diǎn)A、D、C 的坐標(biāo)分別是 A (3, 0), D (1, a b)、C (0, -b), .AO = 3, MD=1 .4 AO OC 口 3由 得CM MD a-3-ab-0一 一2 一又 0 = a (-1) -2a (_1) 一b3-ab =0 得J3ab =02，函數(shù)解析式為：y=x -2x -3解法

15、二：利用以 AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別是A （3,0）、D( 1, a b)、C (0, b ),AD = 4 (-a-b)2.AC = 9+b2 , CD = v1 +a2.AC2 CD2 =AD2 .3-ab = 0 3 分-.2又0 = a (-1) 2a'(1)b4 分由、得a =1, b=35分2，函數(shù)解析式為：y = x 2x3 6分F,使得四邊形 BAEF是平行四邊形，此時(shí)點(diǎn) F坐標(biāo)為（-3, 12）.9分當(dāng)四邊形BEAF是平行四邊形時(shí)，點(diǎn) F即為點(diǎn)D,此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1 , 4） .10分，綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5,12）,（ 3 , 12 ）或（1 ,

16、 4） .（其它解法參照給分）25、（2009煙臺(tái)幣）如圖，拋物線y=ax +bx-3與x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn), 且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, -3a）,對(duì)稱軸是直線 x = 1 ,頂點(diǎn)是M .（1） 求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2） 經(jīng)過(guò)C,M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N ,在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P, A C, N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3） 設(shè)直線y =-x+3與y軸的交點(diǎn)是D,在線段BD上任取一點(diǎn)E （不與B, D重合），經(jīng)過(guò)A, B, E三點(diǎn)的圓交直線 BC于點(diǎn)F，試判斷 AAEF的形狀，并說(shuō)明理由;(4)當(dāng)E是直線y =

17、 -x+3上任意一點(diǎn)時(shí)，（3）中的結(jié)論是否成立？（請(qǐng)直接寫(xiě)出3。=4。+26-3,26.(本題滿分14分)解：(1)根據(jù)題意得，a = l.6-2.拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=V-21-3.(2)存在.在 ¥=9-2X3 中,令 1=0,得 y=-3.令 y_0,得 _2工3=0.工1 = -1，工2 = 3 .A(-hd).B(3>0)>C(0t-3).又 y=(x-D'-4,二頂點(diǎn) M(lt-4). 容易求得直線CM的表達(dá)式是y =一工一工 在 y=-1-3 中,令 y=0.得 x=-3.:.NL3,0).；AN=2.在=/-2工-3 中.令,=一3,得工、=0,工=2. ；.CP=2. ；,AN=CP. A