二次函數(shù)解析幾何--存在性問題

1、頁眉內(nèi)容二次函數(shù)解析幾何專題一一存在性問題存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題，這類問題的知識覆蓋面較 廣，綜合性較強，題意構(gòu)思非常精巧，解題方法靈活，對學(xué)生分析問題和解決問題的能力要 求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”。這類題目解法的一般思路是：假設(shè)存在一推理論證一得出結(jié)論。若能導(dǎo)出合理的結(jié)果， 就做出“存在”的判斷，導(dǎo)出矛盾，就做出不存在的判斷。由于“存在性”問題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設(shè)存在性以后進行的推理或計算，對基礎(chǔ)知識，基本技能提出了較高要求，并具備較強的探索性，正確、完整 地解答這類問題，是對我們知識、能力的一次全面的考驗。一、方法總結(jié)解存在性問

2、題的一般步驟：(1)假設(shè)點存在；(2)將點的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)；(3)根據(jù)已知條件建立關(guān)于參數(shù)的方程或函數(shù)。、常用公式(1)兩點間距離公式：若 A(Xi, yi), B(X2, y2),則 |AB|= V(Xi X2)2+(y1 y2)2(2)中點坐標(biāo)公式:Xi X2yi y2x =,y =-r- 22(3)斜率公式：k = y2 y1 ；k = tan日(日為直線與 x軸正方向的夾角)X2 -Xi(4)對于兩條不重合的直線li、切 其斜率分別為ki、k2,則有l(wèi)i/“2? ki=k?如果兩條直線1I2的斜率存在，設(shè)為 I、k2,則li±l2? kik?=- i.頁腳內(nèi)容頁眉內(nèi)容題型一面積

3、問題2例1.如圖，拋物線 y= x +bx+ c與x軸交于A(1, 0), B( 3, 0)兩點.(1)求該拋物線的解析式；(2)在(1)中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點P,使4PBC的面積最大？，若存在,求出點P的坐標(biāo)及 PBC的面積最大值；若不存在，請說明理由.變式練習(xí)：1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點 A的坐標(biāo)為(一2, 0),連結(jié)OA將線段OA繞原點O順時針旋 轉(zhuǎn)120。，得到線段OB(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A O B三點的拋物線的解析式；(3)如果點P是(2)中的拋物線上的動點， 且在x軸的下方，那么 PAB是否有最大面積？ 若有，求出此時 P點的坐標(biāo)及 PAB的最大面積；若

4、沒有，請說明理由.2. (2009湖南益陽)如圖2,拋物線頂點坐標(biāo)為點Q1 , 4),交x軸于點A(3 , 0),交y軸(1)(2)于點 求拋物線和直線 AB的解析式；(3)設(shè)點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點，是否存在一點P,使 S pa-9 Sa cab,8若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由求 CAB勺鉛垂高CD及Scab ；頁腳內(nèi)容例2:如圖，在坐標(biāo)系 xOy中， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , A (1, 0) , B (0,2),拋物線y= -x2+bx-2的圖象過C點.2(1)求拋物線的解析式；(2)平移該拋物線的對稱軸所在直線l .當(dāng)l移動到何處時，

5、恰好將 ABC的面積分為相等 變式練習(xí)：如圖，拋物線 y=ax2+bx+c關(guān)于直線x=1對稱，與坐標(biāo)軸交與 A, B, C三點，且AB=4,點D (2, 3)在拋物線上，直線l是一次函數(shù)y=kx-2 (kw0)的圖象，點 O是坐標(biāo)2原點.(1)求拋物線的解析式；(2)若直線l平分四邊形 OBDC勺面積，求k的值；例3:將直角邊長為6的等腰RtAOCM在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點,點C A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點A、C及點R - 3, 0).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點P是線段BC上一動點，過點 P作AB的平行線交 AC于點E,連接AP,當(dāng) APE的面積

6、最大時，求點 P的坐標(biāo);變式練習(xí)：如圖1,拋物線y=1x2 _9x_9與X軸交于A、B兩點，與y軸交于點C聯(lián)結(jié) 22BC AC(1)求AB和OC的長；(2)點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動(點E與點A B不重合)，過點 E作BC的平行 線交AC于點D.設(shè)AE的長為m aADE勺面積為s,求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變 量m的取值范圍；能力提升：1. (2013荷澤)如圖1, 4ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點A C分別是一次函數(shù)3 1 2 一 y = x+3的圖像與y軸、X軸的交點，點B在二次函數(shù)y = X +bx + c的圖像上，且該4 8二次函數(shù)圖像上存在一點 D使四邊形ABC/歸

7、構(gòu)成平行四邊形.(1)試求b、c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式；(2)動點P從A到D,同時動點Q從C到A都以每秒1個單位的速度運動，問：當(dāng)P運動到何處時，由 PQL AC?當(dāng)P運動到何處時，四邊形 PDCQJ面積最??？此時四邊形PDCQJ面積是多少？2 .如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為 B (5, 0),另一個交點為 A, 且與y軸交于點C (0, 5).(1)求直線BC與拋物線的解析式；(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M乍MN y軸交直線BC于點N,求MN的最大值；(3)在(2)的條件下，MNX得最大值時，若點 P是拋物線在x軸下方圖象上任意一

8、點， 以BC為邊作平行四邊形 CBP或平行四邊形 CBPQ勺面積為S1/ABN勺面積為 電且Si=6® 求點P的坐標(biāo).3 .如圖，二次函數(shù)的圖象與 x軸相交于點A (-3, 0)、B (-1 , 0),與y軸相交于點C (0, 3),點P是該圖象上的動點；一次函數(shù)y=kx-4k (kw0)的圖象過點 P交x軸于點Q(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)點P的坐標(biāo)為(-4 ,河)時，求證：/ OPCh AQC(3)點M N分別在線段AQ CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點 A向點Q運動， 同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點 C向點Q運動，當(dāng)點M, N中有一點到達 Q點時， 兩點

9、同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒.連接AN當(dāng) AMN勺面積最大時，求t的值;若不能，請說明你的理由.題型二：構(gòu)造直角三角形例2. (2010四川樂山)如圖所示，拋物線 y = x2+bx + c與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點 C (0, 2),連接 AC,若 tan / OAC=2(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；(2)在拋物線的對稱軸l上是否存在點P,使/ APC=90 ?若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不 存在，請說明理由；變式練習(xí)：1 21.函數(shù)y=-x的圖象如圖所不，過 y軸上一點M 0,2的直線與拋物線交于 A, B兩點， 8'過點A, B分別作y軸的垂線，垂足分別為 C

10、, D.(1)當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為-2時，求點B的坐標(biāo)；(2)在(1)的情況下，分別過點 A , B作AE，x軸于E , BF，x軸于F ,在EF上是否存在點P,使/APB為直角.若存在，求點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；3. (2010山東聊城)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c (aw。)的對稱軸為x= 1,且拋物線經(jīng)過A( 1, 0)、C (0, 3)兩點，與x軸交于另一點 B.(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)在拋物線的對稱軸 x=1上求一點 M使點M到點A的距離與到點 C的距離之和最小， 并求此時點M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸 x=1上的一動點，求使/ PCB=

11、 90o的點P的坐標(biāo).4第25題圖4. (2012廣州)如圖1,拋物線y =3x23x+3與x軸交于A B兩點(點A在點B的左84側(cè))，與y軸交于點C.(1)求點A B的坐標(biāo)；(2)設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng) AC曲面積等于 ACB勺面積時，求點D的坐標(biāo)；(3)若直線l過點E(4, 0), M為直線l上的動點，當(dāng)以 A B M為頂點所作的直角三角形 有且只有 三個時，求直線l的解析式.圖15. (2013白銀)如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy中，二次函數(shù) y=x2+ (2k-1) x+k+1的圖象與x 軸相交于Q A兩點.(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖

12、象上有一點 B,使AOB的面積等于6,求點B的坐標(biāo)； (3)對于(2)中的點B,在此拋物線上是否存在點 巳使/ POB=90 ?若存在，求出點 P 的坐標(biāo)，并求出 POB勺面積；若不存在，請說明理由.ly6. (2013山西)如圖1,拋物線y =lx2 -x-4與x軸交于A、B兩點(點B在點A的右 42側(cè))，與y軸交于點C,連結(jié)BC以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形 BDEC點P是x軸上的一個動點，設(shè)點 P的坐標(biāo)為(m 0),過點P作x軸的垂線1交拋物線于點 Q(1)求點A B、C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線1分別交BD BC于點M N.試探究m為何值時，四邊形CQMD平行四邊

13、形，此時，請判斷四邊形CQBMJ形狀，并說明理由；(3)當(dāng)點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q使 BD則直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.7. (2013濟寧)如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于 A B兩點，且點A (1,-4)為拋物線的頂點，點B在x軸上.(1)求拋物線的解析式；(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上.是否存在一點P,使 POBf POCir等？若存 在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若點Q是y軸上一點，且 ABS直角三角形，求點 Q的坐標(biāo).8. (2013綿陽)如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象

14、的頂點 C的坐標(biāo)為(0, -2),交x軸 于A、B兩點，其中 A (-1, 0),直線l： x=m (m>1)與x軸交于D。(1)求二次函數(shù)的解析式和 B的坐標(biāo)；(2)在直線l上找點P (P在第一象限)，使得以 P、D、B為頂點的三角形與以 B、C、O 為頂點的三角形相似，求點P的坐標(biāo)(用含 m的代數(shù)式表示)；(3)在(2)成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點Q,使 BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。題型三構(gòu)造等腰三角形例3.如圖，已知拋物線 y =ax2 +bx +3 (aw0)與x軸交于點A(1 , 0)和點B( 3

15、, 0),與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上是否存在一點 Q使得 ACQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條 件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)設(shè)拋物線的對稱軸與 x軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使 CM明等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式練習(xí)：1 . (2010四川宜賓改編)將直角邊長為 6的等腰RtAOCM在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 中，點O為坐標(biāo)原點，點 C A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點 A C及點 R - 3, 0).(1)求該拋物線的解析式；(2)在對稱軸上是否存在一點 P,使

16、得 ABP為等腰三角形，若存在，求出 P點坐標(biāo)；若不 存在，說明理由。2 .如圖，拋物線 y =ax2 5ax+4經(jīng)過ABC的三個頂點，已知 BC / x軸，點A在x軸 上，點C在y軸上，且AC=BC PAB是等腰三角(1)寫出A,B,C三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；(2)探究：若點P是拋物線對稱軸上且在 x軸下方的動點，是否存在形.若存在，求出所有符合條件的點P坐標(biāo)；不存在，請說明理由.3 、 (2014硝余模擬)如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點為(1, -3),并經(jīng)過點C (2, 0)(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)直線y=3x與該二次函數(shù)的圖象交于點 B (非原點)，求點 B的坐標(biāo)和 AO

17、B的面積;(3)點Q在x軸上運動，求出所有 AO址等腰三角形的點 Q的坐標(biāo)1 24.如圖,已知拋物線y = x2 +bx +C與y軸相父于C,與x軸相父于A、B,點A的坐標(biāo) 2為(2, 0),點C的坐標(biāo)為(0, -1 ).(1)求拋物線的解析式；(2)在直線BC上是否存在一點 P,使4ACP為等腰三角形，若存在，求點 P的坐標(biāo)，若 不存在，說明理由.能力提升： 21 . (2010黃岡)已知拋物線 y=ax +bx + c(a=0)頂點為C (1, 1)且過原點 O.過拋物5線上一點P (x, v)向直線y=一作垂線，垂足為 M連FM(如圖).4(1)求字母a, b, c的值；3 (2)在直線

18、x=1上有一點F(1-),求以PM為底邊的等腰三角形 PFM勺P點的坐標(biāo)，并證 4明此時 PFM為正三角形；(3)對拋物線上任意一點巳是否總存在一點 N (1, t),使PM= PN恒成立，若存在請求出t值，若不存在t#說明理由.2.如圖，已知二次函數(shù) y=-x2+ bx+c (c>0)的圖象與x軸交于 A B兩點(點A在點B的 左側(cè))，與y軸交于點C,且OB=OC=3頂點為M(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P為線段BM上的一個動點，過點 P作x軸的垂線PQ垂足為 Q若OQ=m四邊形 ACPQ的面積為S ,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出m的取值范圍；(3)探索：線段BM上是否存在點N,

19、使NM等腰三角形？如果存在，求出點 N的坐標(biāo)； 如果不存在，請說明理由.題型四構(gòu)造相似三角形例4.(2011臨沂)如圖，已知拋物線經(jīng)過A ( -2,0), B ( - 3,3)及原點0,頂點為C.(1)求拋物線的解析式；(2)若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且 A、O D E為頂點的四邊形是平行 四邊形，求點D的坐標(biāo)；(3) P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點 P作PMLx軸，垂足為M,是否存在點P,使 得以P、M A為頂點的三角形4 B0C相似？若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理 由.變式練習(xí)：1. (2012天水)如圖，已知拋物線經(jīng)過 A (4, 0) , B (1,

20、 0) , C (0,-2)三點. (1)求該拋物線的解析式；(2)在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D,使彳DCA勺面積最大？若存在，求出點D的坐標(biāo)及 DCA0積的最大值；若不存在，請說明理由.(3) P是直線x=1右側(cè)的該拋物線上一動點，過 P作PMLx軸，垂足為 M,是否存在P點, 使得以A、P、M為頂點的三角形與 OACf似？若存在，請求出符合條件的點 P的坐標(biāo)；若 不存在，請說明理由.y yB A1 - 11Hl.O 1x2.(2012上海寶山)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A (2, 3),線段AB垂直于y軸,垂足為B,將線段AB繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點B

21、落在點C處，直線BC與x軸的交于點D .(1)試求出點D的坐標(biāo)；(2)試求經(jīng)過 A、B、D三點的拋物線的表達式， 并寫出其頂點E的坐標(biāo)；(3)在(2)中所求拋物線的對稱軸上找點 F ,使得 以點A、E、F為頂點的三角形與 4ACD相似.（圖7）例5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c (aw0)的圖象與x軸的交點為 A (-3, 0)、B (1, 0)兩點，與y軸交于點C (0, -3m)(其中m>0),頂點為 D.(1)求該二次函數(shù)的解析式(系數(shù)用含m的代數(shù)式表示)；(2)如圖，當(dāng) m=2時，點P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個動點，設(shè)APC的面積為S,試求出S與點P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及

22、 S的最大值；(3)如圖，當(dāng) m取何值時，以 A、0 C為頂點的三角形與 BOG目似？變式練習(xí)：1.如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx (a<0)的圖象過坐標(biāo)原點 O,與x軸的 負半軸交于點 A,過A點的直線與y軸交于B,與二次函數(shù)的圖象交 于另一點C,且C點的橫坐標(biāo)為-1 , AC: BC=3: 1.(1)求點A的坐標(biāo)；(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為F,其對稱軸與直線 AB及x軸分別交于點D和點E,若 FCD與4AED相似，求此二次函數(shù)的關(guān)系式.能力提升:1. (2012蘇州)如圖，已知拋物線 y=-x (2012寧波)如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A ( 1, 0)

23、, B (2, 0),交 y軸于C (0, - 2),過A, C畫直線.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P在x軸正半軸上，且 PA=PC,求OP的長；(3)點M在二次函數(shù)圖象上，以 M為圓心的圓與直線 AC相切，切點為 H.若M在y軸右側(cè)，且 CHMsaoc (點C與點A對應(yīng))，求點 M的坐標(biāo);- -(b+1)x+ - (b是實數(shù)且b>2)與x軸的正半軸 444分別交于點A、B (點A位于點B的左側(cè))，與y軸的正半軸交于點C. (1)點B的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為(用含b的代數(shù)式表示)； (2)請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點巳使得四邊形PCOB勺面積等于2b,且4PBC是以點P為直角頂點的

24、等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由;(3)請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使彳QCO QOA和 QAB中的任意兩Q的坐標(biāo)；如果不存在,個三角形均相似(全等可作相似的特殊情況)？如果存在，求出點 請說明理由.題型五構(gòu)造梯形例6. (2008四川成都)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，AOAB勺頂點A的坐標(biāo)為 (10, 0),頂點B在第一象限內(nèi)，且sin/ OAB=_55(1)若點C是點B關(guān)于x軸的對稱點，求經(jīng)過 0、C、A三點的拋物線的函數(shù)表達式；(2)在(1)中，拋物線上是否存在一點 P,使以P、0、C、A為頂點的四邊形為梯形？若存 在，求出點P的坐標(biāo)；若

25、不存在，請說明理由；變式練習(xí)：1. (2011萊蕪)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 已知點A( - 2, - 4) , 0B=2拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過點A、O B三點.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)在此拋物線上，是否存在點P,使得以點P與點。A、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2 .已知，矩形OABCE平面直角坐標(biāo)系中位置如圖1所示，點A的坐標(biāo)為(4,0)，點C的坐標(biāo)2為(0,2),直線y = x與邊BCf目交于點D.3(1)求點D的坐標(biāo)；(2)拋物線y=ax2 +bx+c經(jīng)過點A、D O求此拋物線的表達式；(3)在這個拋物線上是否存在點M使Q H

26、 A M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點 M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.，一 一21 1 _，、3 .如圖：二次函數(shù)y = x +ax + b的圖象與x軸父于A ,0 iB(2,0)兩點，且與y軸交 < 2 )(1)求該拋物線的解析式，并判斷 AABC的形狀；(2)在x軸上方的拋物線上有一點 D ,且A、C、D、B四點為頂點的四邊形是等腰梯 形，請直接寫出 D點的坐標(biāo)；B、 P四點為頂點的四邊形是直角梯(3)在此拋物線上是否存在點P ,使得以 A、C、形？若存在，求出 P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.4 .已知，在 RtOAB 中，/OAB=90) /BOA = 3

27、0。，AB = 2。若以 O 為坐標(biāo)原點，OA 所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系 ，點B在第一象限內(nèi)。將 RtOAB沿OB折 疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點 C處。(1)求點C的坐標(biāo)；(2)若拋物線y =ax2 +bx(a #0廨過C、A兩點，求此拋物線的解析式；(3)若拋物線的對稱軸與 OB交于點D ,點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點 M。問：是否存在這樣的點 P,使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存 在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。yf能力提升1. 如圖1,二次函數(shù)y = x2 + px + q(p M0)的圖象與x軸交于A B兩點，與y軸交于點C

28、5(0, 1) , ABC勺面積為(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)過y軸上的一點 M (0, m彳y軸的垂線，若該垂線與 ABC勺外接圓有公共點，求 m 的取值范圍；(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D使以A、R C D為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點 D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2. (2011義烏)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A (2, 0)、a。，12)兩點，且對稱軸為直線x=4,設(shè)頂點為點P,與x軸的另一交點為點 B.(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標(biāo)；(2)如圖1,在直線y=2x上是否存在點 D,使四邊形OPB時等腰梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(

29、3)如圖2,點M是線段OP上的一個動點(O P兩點除外)，以每秒個單位長度的速 度由點P向點O運動，過點 M作直線MN/x軸，交PB于點N.將PM的直線MN寸折， 得到 RMN 在動點M的運動過程中，設(shè) RMNf梯形OMNBJ重疊部分的面積為 S,運動 時間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.3. (2014年廣東汕尾)如圖，已知拋物線y=-x2 - -x - 3與x軸的交點為 A、D (A在D的84右側(cè))，與y軸的交點為C.(1)直接寫出A、D、C三點的坐標(biāo);(2)若點M在拋物線上，使得 MAD的面積與ACAD的面積相等，求點 M的坐標(biāo);(3)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.P四點為頂點的四邊形

30、為梯形？若存在，請求出點題型六構(gòu)造平行四邊形例7. (2010陜西)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A(1, 0) , B (3, 0) , C(0, 1)三點。(1)求該拋物線的表達式；(2)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q P、A B為頂點的四邊形是平行四邊形， 求所有滿足條件的點 P的坐標(biāo)。變式練習(xí):1.已知拋物線y = vx2 +2ax +b與x軸的一個交點為 A(-1,0),與y軸的正半軸交于點C.(1)直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點 B的坐標(biāo)；(2)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點 M，使得以點M和(2)中拋物線上的三點 A B、C為頂點的四 邊形是平行四邊形？

31、若存在 ，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2.已知，如圖拋物線 y = ax2+3ax+c(a A0)與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A 點在B點左側(cè)。點 B的坐標(biāo)為(1 , 0),OC=30B.(1)求拋物線的解析式；(2)若點E在x軸上，點P在拋物線上。是否存在以 A C、E、P為頂點且以AC為一邊的 平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.53. (2012四川成都)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=_x + m ( m為常數(shù))4的圖象與 x軸交于點 A( -3 , 0),與y軸交于點 C.以直線 x=1為對稱軸的拋物線2y=ax +bx+c (a

32、, b, c為常數(shù)，且aw0)經(jīng)過A, C兩點，并與x軸的正半軸交于點B.(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達式；(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點，過點 E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在這 樣的點E,使得以A C, E, F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點 E的坐標(biāo)及 相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；能力提升：1.如圖，拋物線 y =x2+bx + c與x軸交于A (-1 , 0)、B (3, 0)兩點，直線l與拋物線交于A C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2.(1)求拋物線的解析式及直線 AC的解析式；(2) P是線段AC上的一個動點，過 P點作x軸的垂線交拋物線于

33、E點，求線段PE長度的 最大值；(3)點G是拋物線上的動點，在 x軸上是否存在點 F,使A、C、F、G這樣的四個點為頂點 的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的 F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由2.已知平面直角坐標(biāo)系 xOy (如圖1), 一次函數(shù)y=3x + 3的圖像與y軸交于點A,點M在4正比例函數(shù)y=3x的圖像上，且 MO= MA二次函數(shù)2y= x2+ bx+ c的圖像經(jīng)過點A、M(1)求線段AM勺長；(2)求這個二次函數(shù)的解析式；1-(3)如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖像上，點 D在一次函數(shù)y=gx+3的圖像上，且四邊形4ABC國菱形，求點 C的坐

34、標(biāo).題型七線段最值問題例8. (2012濱州)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx + c經(jīng)過N 2, 4 )、0(0, 0) 、B(2, 0)三點.(1)求拋物線y= ax2 + bx+c的解析式；(2)若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM 0M勺最小值.【變式練習(xí)】1. (2012山西)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y= x2 + 2x+3與x軸交于A、B兩 點，與y軸交于點C點D是拋物線的頂點.(1)求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標(biāo)；(2)點P是x軸上的一個動點，過 P作直線l AC交拋物線于點 Q試探究：隨著點 P的 運動，在拋物線上是否存在點Q,使以A P、

35、Q C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點 Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)請在直線 AC上找一點M,使 BDM勺周長最小，求出點 M的坐標(biāo).2、(2013北京模擬).如圖，拋物線y= ax2+c (a>0)經(jīng)過梯形ABCD的四個頂點，梯形 的底AD在x軸上，其中A (2,0) , B (- 1, -3).(1)求拋物線的解析式；(2)點M為y軸上任意一點，當(dāng)點 M到A、B兩點的距離之和為最小時，求此時點 M的 坐標(biāo)；(3)在第(2)問的結(jié)論下，拋物線上的點P使Swad=4Saabm成立，求點P的坐標(biāo). .,一 、.一 2,、.,例9. (2009山東省荷澤市

36、)如圖，已知拋物線y= ax +bx+c與y軸交于點A(0 , 3),與x軸分別交于B(1 , 0)、C(5 , 0)兩點.(1)求此拋物線的解析式；(2)若一個動點P自O(shè)A的中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點(設(shè)為點 E),再到達拋物線 的對稱軸上某點(設(shè)為點F),最后運動到點 A.求使點P運動的總路徑最短的點 E、點F的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長.變式練習(xí)：1. (2011廣東深圳)如圖13,拋物線y=ax2+bx + c(aw0)的頂點為(1,4), 交x軸于A B,交y軸于D,其中B點的坐標(biāo)為(3,0)(1)求拋物線的解析式(2)如圖14,過點A的直線與拋物線交于點 E,交y軸于點F,

37、其中E點的橫坐標(biāo)為2,若 直線PQ為拋物線的對稱軸，點 G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點 H,使H G F、H 四點圍成的四邊形周長最小 .若存在，求出這個最小值及 G H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理 由.(3)如圖15,拋物線上是否存在一點T,過點T作x的垂線，垂足為 M過點M作直線MN/ BD,交線段AD于點N,連接MD使 DNMh BMD若存在，求出點 T的坐標(biāo)；若不存在， 說明理由.2、( 09深圳模擬)已知 ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中 點，點A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點 E,點B (-1, 0) , P是AC上的一 個動點(P與點A、

38、C不重合)(1)求點A、E的坐標(biāo)；46.32.一(2)右y= -7-x +bx+c過點A、E,求拋物線的解析式。(3)連結(jié)PB、PD,設(shè)L為 PBD的周長，當(dāng)L取最小值時，求點 P的坐標(biāo)及L的最 小值，并判斷此時點 P是否在(2)中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由。能力提升1 . (2011福州) 已知，如圖11,二次函數(shù)y =ax2+2ax_3a (a=0)圖象的頂點為 H,與x軸交于A、B兩點(B在A點右側(cè))，點H、B關(guān)于直線l : y =43x+在對稱.'3(1)求A、B兩點坐標(biāo)，并證明點A在直線l上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過點B作直線BK / AH交直線l于K點，

39、M、N分別為直線 AH和直線l上的兩個動2 .如圖.在直角坐標(biāo)系中，已知點 A(0. 1. ), B( -4. 4).將點B繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點C,頂點在坐標(biāo)原點白拋物線經(jīng)過點B.(1)求拋物線的解析式和點 C的坐標(biāo)；(2)拋物線上一動點P.設(shè)點P到x軸的距離為d1，點P到點A的距離為d2,試說明d2 =d1 +1 ；(3)在(2)的條件下，請?zhí)骄慨?dāng)點P位于何處時.APAC的周長有最小值， 并求出 PAC的周 長的最小值。3、(12上海模擬)如圖，以矩形 OABC的頂點。為原點，OA所在的直線為x軸，OC所 在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.已知 OA = 3, OC

40、= 2,點E是AB的中點，在 OA 上取一點D ,將 BDA沿BD翻折，使點 A落在BC邊上的點F處.(1)直接寫出點E、F的坐標(biāo)；(2)設(shè)頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P,且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三 角形，求該拋物線的解析式；(3)在x軸、y軸上是否分別存在點 M、N,使得四邊形 MNFE的周長最??？如果存在， 求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由.1 1 2例10.如圖，已知直線丫=一*+1與丫軸交于點A,與x軸交于點D,拋物線y = x +bx + c 22與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為(1,0)。(1)求該拋物線的解析式；(2)動點P在軸上移

41、動，當(dāng) PAE是直角三角形時，求點 P的坐標(biāo)P。(3)在拋物線的對稱軸上找一點M,使|AM -MC |的值最大，求出點 M的坐標(biāo)。變式練習(xí)1.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 ABCD是直角梯形，BC/AD, / BAD=90° , BC與y軸相交于點 M,且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標(biāo)分別是 A ( - 1, 0) , B(-l, 2) , D (3, 0).連接DM ,并把線段DM沿DA方向平移到ON,若拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過點D、M、N.(1)求拋物線的解析式.(2)拋物線上是否存在點 P,使得PA=PC?若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明 理由.

42、(3)設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為 E,點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)點 Q在 什么位置時有|QE- QC|最大？并求出最大值.中考鏈接1 .(2013 昭通)如圖 1,已知 A(3, 0)、B(4, 4)、原點 O(0,0)在拋物線 y=ax2+bx+c (aw0) 上.(1)求拋物線的解析式.(2)將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D,求m的值及點D的坐標(biāo).(3)如圖2,若點N在拋物線上，且/ NBOh ABO則在(2)的條件下，求出所有滿足 POS NOB勺點P的坐標(biāo)(點 P、O D分別與點 N、O B對應(yīng))圖】2. (2013恩施)如圖所示，直線 l

43、 : y=3x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B.把 AOBg y軸翻折，點A落到點C,拋物線過點B、C和D (3, 0).(1)求直線BD和拋物線的解析式.(2)若BD與拋物線的對稱軸交于點 M點N在坐標(biāo)軸上，以點 N、B、D為頂點的三角形與 MCN目似，求所有滿足條件的點N的坐標(biāo).(3)在拋物線上是否存在點 巳 使Sapbd=6?若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.3. (2013涼山州)如圖，拋物線 y=ax2-2ax+c (aw0)交x軸于A、B兩點，A點坐標(biāo)為(3, 0),與y軸交于點C (0, 4),以O(shè)C OA為邊作矩形 OAD*拋物線于點 G(1)求拋物線的解析式；(

44、2)拋物線的對稱軸l在邊OA (不包括。A兩點)上平行移動，分別交 x軸于點E,交 CD于點F,交AC于點M交拋物線于點P,若點M的橫坐標(biāo)為 m請用含m的代數(shù)式表示 PM 的長；(3)在(2)的條件下，連結(jié) PC則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點 P,使得以 P、C、F為頂點的三角形和 AEMfr目似？若存在，求出此時 m的值，并直接判斷 PCM勺形 狀；若不存在，請說明理由.4. (2013隨州)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，矩形ABCO勺頂點A、C分別在y軸、x軸正半軸 2上，點P在AB上，PA=1, AO=2經(jīng)過原點的拋物線 y=mx-x+n的對稱軸是直線 x=2 .(1)求出該拋物

45、線的解析式.(2)如圖1,將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點放在P點處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點。和C.現(xiàn)在利用圖2進行如下探究：將三角板從圖1中的位置開始，繞點 P順時針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA OC于點E、F,PE當(dāng)點E和點A重合時停止旋轉(zhuǎn).請你觀察、猜想，在這個過程中，PE的值是否發(fā)生變化？PF PE,一若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出 上 的值.PF設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為 D,頂點為M,在的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點F,使 DM四等腰三角形？若不存在，請說明理由.圖15. (2013梧州)如圖，拋物線 y=a (x-h ) 2+k經(jīng)過點A (0, 1),且頂點坐標(biāo)

46、為 B (1, 2), 它的對稱軸與x軸交于點C.(1)求此拋物線的解析式.(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上求點P,使得 AC幅以AC為底的等腰三角形，請求出此時點P的坐標(biāo).(3)上述點是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠的點？若是，請說明理由；若不是，請求出第一象限內(nèi)此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標(biāo).6、(2013襄陽)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c與x軸的一個交點 A的坐標(biāo)為(-1,0), 對稱軸為直線x=-2 . (1)求拋物線與x軸的另一個交點 B的坐標(biāo)；(2)點D是拋物線與y軸的交點，點C是拋物線上的另一點.已知以AB為一底邊的梯形ABCM面積為9.求此拋物線的解析式，并指

47、出頂點E的坐標(biāo)；(3)點P是(2)中拋物線對稱軸上一動點，且以 1個單位/秒的速度從此拋物線的頂點E向上運動.設(shè)點P運動的時間為t秒.當(dāng)t為 秒時， PAD的周長最??？當(dāng)t為秒時， PAD以AD為腰的等腰三角形？(結(jié)果保留根號)點P在運動過程中，是否存在一點P,使 PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.7. (2013眉山)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 點A、B在x軸上，點C、D在y軸上，且OB=OC=3 OA=OD=1拋物線y=ax2+bx+c (aw0)經(jīng)過 A B C三點，直線 AD與拋物線交于另一點 M.(1)求這條拋物線的解析式；(2) P為拋

48、物線上一動點，E為直線AD上一動點，是否存在點 P,使以點A P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3)請直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移w生個單位后得到的拋物線的解析式.1 -8.(2013年遂寧)如圖，拋物線 y = 1 x2+bx +c與x軸交于點 A(2 , 0),交y軸于點 4B(0, 5)直線y=kx -3過點A與y軸交于點C與拋物線的另一個交點是 D=2213(1)求拋物線y = - x2 +bx+c與直線y=kx 一一的解析式； 42(2)設(shè)點P是直線AD上方的拋物線上一動點 (不與點 A D重合)，過點P作y軸的平行線

49、，交直線AD于點M彳DEI y軸于點E.探究：是否存在這樣的點P,使四邊形PMEC1平行四邊形，若存在請求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；在的條件下，作 PNI± AD點N,設(shè) PMN勺周長為l，點P的橫坐標(biāo)為x,求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值._9. (2013年湘潭)如圖，在坐標(biāo)系 xOy中， ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , A (1,0) , B (0, 2),拋物線y= 1x2+bx-2的圖象過 C點.2(1)求拋物線的解析式；(2)平移該拋物線的對稱軸所在直線l .當(dāng)l移動到何處時，恰好將 ABC的面積分為相等的兩部分？(3)點P是拋物線上一動點，

50、是否存在點P,使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.10. (2013重慶)如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為 B (5, 0),另一個交點為A,且與y軸交于點C (0, 5).(1)求直線BC與拋物線的解析式；(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M乍MM y軸交直線BC于點N,求MN的最大值；(3)在(2)的條件下，MNX得最大值時，若點 P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點， 以BC為邊作平行四邊形 CBP或平行四邊形 CBPQ勺面積為S1/ABN勺面積為 電且S1=6也求點P的坐標(biāo).11. (2013舟山)如圖，在平面

51、直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=1 (x-m) 2-1R+m的頂點44為A,與y軸的交點為 B,連結(jié)AB, ACL AB,交y軸于點C,延長CA到點D,使AD=AC連 結(jié) BD.彳AE/ x 軸，DE/ y 軸.(1)當(dāng)m=2時，求點B的坐標(biāo)；(2)求DE的長？(3)設(shè)點D的坐標(biāo)為(x, y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？過點 D作AB的平行線，與第(3)題確定的函數(shù)圖象的另一個交點為P,當(dāng)m為何值時，以，A, B, D, P為頂點的12. (2013棗莊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B 兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標(biāo)為(3, 0),與y軸交于C (

52、0,-3)點，點P是直線 BC下方的拋物線上一動點.(1)求這個二次函數(shù)的表達式.(2)連接PO PC并把 POCgCOB折，得到四邊形 POP C,那么是否存在點 巳使四邊 形POP C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC勺面積最大？求出此時 P點的坐標(biāo)和四邊形 ABPC勺最大面積.13. (2013濰坊)如圖，拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于直線x=1對稱，與坐標(biāo)軸交與 A, B, C三點， 且AB=4,點D (2, 3)在拋物線上，直線l是一次函數(shù)y=kx-2 (kw0)的圖象，點 。是坐 2標(biāo)原點.(1)求拋物線的解析

53、式；(2)若直線l平分四邊形 OBDC勺面積，求k的值；(3)把拋物線向左平移 1個單位，再向下平移 2個單位，所得拋物線與直線l交于M N兩點，問在y軸正半軸上是否存在一定點 P,使得不論k取何值，直線PMW PN總是關(guān)于y 軸對稱？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.14. ( 2014武海，第22題9分)如圖，矩形 OABC的頂點A (2, 0)、C (0, 2衣).將 矩形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°.得矩形OEFG ,線段GE、FO相交于點H ,平行于y 軸的直線 MN分別交線段 GF、GH、GO和x軸于點M、P、N、D,連結(jié)MH .(1)若拋物線l: y=ax2

54、+bx+c經(jīng)過G、O、E三點，則它的解析式為：y=1x2gx ;W1(2)如果四邊形 OHMN為平行四邊形，求點 D的坐標(biāo)；(3)在(1) (2)的條件下，直線 MN與拋物線l交于點R,動點Q在拋物線l上且在R、E兩點之間(不含點R、E)運動，設(shè) PQH的面積為s,當(dāng)時，確定點Q的橫坐標(biāo)的取值范圍.15(2014.浙江湖州)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，0是坐標(biāo)原點，拋物線y= - x2+bx+c (c>0)的頂點為D,與y軸的交點為C,過點C作CA/x軸交拋物線于點 A,在AC延長 線上取點 B,使BC=1AC,連接 OA, OB, BD和AD.2(1)若點A的坐標(biāo)是(-4, 4)求b