三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心地向量表示及其性質(zhì)85471

1、實(shí)用文案向量的重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法。重心：AABC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的中線的交點(diǎn)；垂心：AABC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的垂線上的交點(diǎn)；內(nèi)心：AABC中、每個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)；外心：AABC中、每條邊上所對(duì)應(yīng)的中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)。一、重心1、O 是 AABC 的重心 u qA + OB+OC=01若 0是 AABC 的重心，則 ABOC =AAOC =AAOB ='AABC 故 OA+OB + OC = 0,31PG =(PA+PB+PC) u G 為 AABC 的重心.32、 P是 ABC所在平

2、面內(nèi)任一點(diǎn).G是4ABC的重心u PG =-(PA + PB + PC).3證明：PG = PA AG = PB BG = PC CG = 3PG = (AG BG CG) (PA PB PC)G是AABC的重心 . GA + GB+GC =0= AG +BG+CG =0, IP 3PG = PA+PB + PC,一 一1一 1 .一 一 一.由此可得PG =(PA + PB+PC).(反之亦然(證略)33、已知0是平面上一定點(diǎn)， A, B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足Op =0a + A(AB+AC),九W(0,十笛)，則P的軌跡一定通過 ABC的重心.例 1 若 0 為 &am

3、p;ABC 內(nèi)一點(diǎn)，OA + 0b+0c =0，則0 是 AABC 的(A.內(nèi)心B.外心心D.重心二、垂心1、o 是 aabc 的垂心 u OAOB = OBOC=OAOC若O是AABC （非直角三角形）的垂心，則故 tan AOA tan BOB tanCOC = 02、h是面內(nèi)任一點(diǎn)，HA HB =HB HC =HC HAu點(diǎn)h是aabc的垂心.由 HA HB = HB HC = HB （HC - HA） = 0= HB AC = 0= HB _ AC, 同理HC_lAB, HA_lBC.故h是aabc的垂心.（反之亦然（證略）3、P > ABC 所在平面上一點(diǎn)，若 PA ,PB =

4、 PB ,PC =PC ,PA,則 P 是 ABC 的垂心.由 PA PB 二 PB PC,得 PB（PA -PC-1）PRB CA=0,所以PBLCA .同理可證PCX AB, PAXBC .標(biāo)準(zhǔn)文檔 . P是AABC的垂心.如圖1.圖14、已知O是平面上一定點(diǎn)， A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足 ABC的垂心.九w (0, +8)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過例2 P是 ABC所在平面上一點(diǎn)，若 PA PB = PB PC = PC PA,則PMAABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心二、內(nèi)心1、O是AABC的內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記aB,bC

5、,cA的單位向量為e1，e；，e3,則剛才O是AABC的內(nèi)心的充要條件可以寫成OA 巳 e3 = OB ei e2 = OC e2 2 =0 2、O是AABC的內(nèi)心的充要條件也可以是 aOA + bOB+cOC = 0。3、若。是AABC 的內(nèi)心，則 S存oc :S送:S 掙ob =a：b：c故 a OA+b*OB+cOC = 0mE< sin A *OA + sinB *OB + sinC OC = Q4、已知I為ABC所在平面上的一點(diǎn)，且 AB=c, AC=b, BC = a a菊品+CCO則I是AABC的內(nèi)心.ib -IA Ab , IC -iA acbAB cAC = ACT b

6、c AI = jB與否分別為ABAa b c 'ABBAB + AB AC =ABbA和AC方向上的單位向量,AC AI與/BAC平分線共線,即AI平分NBAC .,則由題意得（a+b+c）IA + bAB+cAC =0,同理可證：BI平分NABC, CI平分/ACB .從而I是AABC的內(nèi)心，如圖。5、已知O是平面上一定點(diǎn),A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足心.OP -OA 當(dāng)九w(0,+至)時(shí)，AP由題意得O,九w(0,+s),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過/XABC的內(nèi)C表示ZBAC的平分線A在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)P的B軌跡一定通過4ABC的內(nèi)心，如圖。例3 O平面上的一

7、定點(diǎn)， A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OP=OA + M昔 +昌）,AB AC九w 0,抬)則P點(diǎn)的軌跡一定通過AABC的(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心四、外心1、O是&ABC的外心w |西=|OB = |OC，若O是AABC的外心則S B0c : S A0c : S AOB =sin BOC:sin AOC:sin AOB = sin2A:sin2B:sin 2c故 sinAOA +sin BOB +sin COC = 0。2、已知O是 ABC所在平面上一點(diǎn),若OA2 = OB2 = OC2 ,則O是 ABC的外貝UO是ABC心.222若 OA =OB =O

8、C ,則的外心，如圖1。3、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OB OC 十九2ABAB cosBAC+ AC cosC九W (0,+如)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通MA ABC的外心，如圖2例4若O為AABC內(nèi)一點(diǎn),貝UO是AABC的B . 外心D.重心關(guān)于“歐拉定理”的一些問題：著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的 位置關(guān)系：(1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的 2倍。例5在4ABC中，已知Q G H分別是三角

9、形的外心、重心、垂心。求證： Q GH三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2證明：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè) A(0,0)、B(xi,0)、C(X2,y 2) , D E、F 分別為 AB BC AC 的中點(diǎn)，則有：D (9,0)、2Xi X2G( 3E"(y 23X2 y2)由題設(shè)可設(shè)Q嘮，y，)、);AH =(X2,y4)QF 寸它BC =(X2 ”入) AH _ BCAH *BC =x2(x2 -X1) y2y4 = 0X2(X2 - Xi) y =y2H(X2, y4),x2 x1、,v 2、 cAC =x2(萬(wàn)-) y 2 (2 - y3) -

10、0X2(X2 -Xi) yV3 二七2y 22x i/ 2x 2 - x i. QH 二僅2-萬(wàn),y4-丫3)=(23x 2(x2 - x 1)2y2y 22xi V22x2 -xi萬(wàn)丁 y3)=(y2 x2(x2 -xi) _ y2T 一2y2 "T2x2 -xi=("3x 2(x2 - xi)6y2y 2 i 2x2 - xiR3(3x 2 (x 2 - x1)2y2y21 -QH 3即 QH =3QG ,故Q G H三點(diǎn)共線，且QG :GH =i:2例6 ,若O、H分別是 ABC的外心和垂心.求證OH =OA OB OC.證明若ABC勺垂心為H,外心為O,如圖.連BO

11、并延長(zhǎng)交外接圓于D,連結(jié)AD, CDAD _LAB , CD _LBC.又垂心為 H, AH _L BC , CH _L AB , . .AH/ CD CH/ AD一四邊形AHCM平行四邊形，AH =DC =dO -+OC ,故 OH =oA+aH =oA -+OB +oC .“歐拉定理”簡(jiǎn)化：例7設(shè)Q G H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.求證 oGJoh3證明按重心止理 6是4 ABC的重/L、u OG(OA+OB +OC)3按垂心定理 OH =OA ob Oc由止匕可得 OGOH.3補(bǔ)充練習(xí)一：1.已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是AABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=- ( -O

12、A + -OB+2OC),則點(diǎn) P一定為 MBC()322A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心D.AB邊的中點(diǎn)2 .在同一個(gè)平面上有MBC及一點(diǎn)。滿足關(guān)系式OA2 +BC2 =OB2 +AC2 =OC2 +AB2 ,貝UO為 AABC 的A外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3 .已知ABC勺三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn) P滿足：PA+PB + PC = 0 ,貝U P為AABC的()A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4 .已知O是平面上一 定點(diǎn)，A B C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足:OP =OA + "AB十AC),則P的軌跡一定通過 AB

13、C的A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心P滿足:5 .已知 ABC P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)PtPC+PAPB+PBPC=0,則P點(diǎn)為三角形的A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6 .已知 ABC, P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：a P A+ b P B c P0C , 則 P 點(diǎn) 為 二 角 形 的A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2 2 -6 .在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：CA =CB -2AB*CP ,則P點(diǎn)軌跡一定通過ABC的：()A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心7 .已知非零向量AB與AC滿足 普十冬 ,BC=0,且罟咎則 Jab| AC J|ab

14、| I Ac 2ABC 為A.三邊均不相等的三角形B. 直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形8 . AABC的外接圓的圓心為 O ,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H ,OH = m(OA +OB +OC),則實(shí)數(shù) m 三9 .點(diǎn)。是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足 oAoB=oB oC=oC OA,則點(diǎn)O是ABC 的()A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)10.已知點(diǎn)G是AABC的重心，過G作直線與AB, AC兩邊分別交于M N兩點(diǎn)，且AM=xAB, TN = yAC,則 1+2 = 3。x y證 點(diǎn)G是AABC的重心，知GA + GB+GC =0,得

15、AG + (AB - AG) +(AC - AG) =0,有 G = - (AB +AC) o 又 M N, G二點(diǎn)共線 3(A不在直線MN±),于是存在九,N ,使得AG =九AM+NAN(且九十N =1),有 AGrxAB+RyAC=l(AB+M),3口 +.; 二1得11 ,于是得1 +1 =3。x -"y 二一x y3補(bǔ)充練習(xí)二：. 2.221、已知。是ABCft的一點(diǎn)，若OA =OB =OC，則。是 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心2、在 aabc中，有命題 AB-AC = BC ； AB+BC + CA=0；若(aB +AC K(aB AC )

16、=0 ,則 ABC為等腰三角形；若 aBaCa0,則AABC為銳角三角形，上述命題中正確的是3、4、A已知 ABC,已知ABCt,B 、AB AC+ BC=0和空.當(dāng)ABACABAC=1 ,試判斷 ABC的形2AB=a, BC=b, B是 ABC中的最大角，若ab<0,試判斷 ABC勺形狀。5、已知。是ABCf在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足2 + BC 2=OB+ AC 2 =OC + AB2,則。是 ABC的A、重心6、已知、垂心C 、外心 ABC所在平面內(nèi)的XD 、內(nèi)心動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足OP =OA AB AC0 0 (0,z ),則動(dòng)點(diǎn)P一定過 ABC勺ABACA、重心B 、垂心C 、外心 D

17、 、內(nèi)心7、已知 O為平面內(nèi)一點(diǎn)， A、B、C平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OP = OA " .-i AB1 一+ BC |Aw 0,",則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的 2A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心8、已知。是ABCf在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =OA -ABACw(0,y),則動(dòng)點(diǎn)P一定過 ABC的AB cosBAC cosCA、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心9、已知。是ABCf在平面內(nèi)的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OB OCOP = '2AB ACAB cos BAC cosCw (0,f ),則動(dòng)點(diǎn)P一定過 ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心10、已知點(diǎn)G是的重心，過 G作直線與 AB AC分別相交于 M N兩點(diǎn)，且- 一11AM =x ,AB, AN =y AC ,求證：十 =3x y補(bǔ)充練習(xí)三：1、已知。是ABCft的一點(diǎn)，若OA + OB+OC = 0,則。是4ABC的A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心2、若 abc的外接圓白圓心為 q 半徑為1,且OA+OB+OC=0,則OA,OB等 于A 1