二次函數(shù)與一元二次方程(教學(xué)設(shè)計說明)

1、第二章二次函數(shù)8. 二次函數(shù)與一元二次方程（一）教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：1理解二次函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系， 及滿足什么條件時方程有兩個不等的實(shí)根，有兩個相等的實(shí)根和沒有實(shí)根；過程與方法：1通過觀察二次函數(shù)圖象與x 軸的交點(diǎn)個數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想2理解一元二次方程ax2+bx+c=h 的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（ h 是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。情感態(tài)度與價值觀：1經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；2通過探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性

2、以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。教學(xué)重點(diǎn) ：理解二次函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，及滿足什么條件時方程有兩個不等的實(shí)根，有兩個相等的實(shí)根和沒有實(shí)根教學(xué)難點(diǎn) ：理解一元二次方程ax2+bx+c=h 的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線 y=h（ h 是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了八個教學(xué)環(huán)節(jié)：課前熱身、耐心填一填；用心想一想、馬到成功；合作議一議、取長補(bǔ)短；教材題變形、拓展提高；開拓創(chuàng)新、試一試；大膽嘗試、練一練；課堂小結(jié)；課內(nèi)外提高、布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)課前熱身、耐心填一填活動內(nèi)容 ：1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常數(shù)，aw0), y叫

3、做x的 它的圖象是一條拋物線。它的對稱軸是直線x=, 頂點(diǎn)坐標(biāo)是(，) 。2. 二次函數(shù)的解析式中的一般式是：y = ax2 + bx +c (aw 0)頂點(diǎn)式：y =a(x-h)2 + k 交點(diǎn)式：y = a(x-x1)(x-x 2)3. 拋物線 y = x2+2x- 4 的對稱軸是, 開口方向是, 頂點(diǎn)坐標(biāo)是4. 拋物線 y=2(x-2)(x-3) 與 x 軸的交點(diǎn)為與, y 軸的交點(diǎn)為5. 已知拋物線與軸交于A(-1, 0) 和 (1, 0) ，并經(jīng)過點(diǎn)M(0,1), 則此拋物線的解析式為 。活動目的 ：教學(xué)第一個環(huán)節(jié)課前熱身練習(xí)，是利用 3 分鐘時間讓學(xué)生盡快進(jìn)入到課堂角色中來。問題的

4、設(shè)置從最簡單的概念二次函數(shù)入手，緊接著從“形”的方面對拋物線圖象的最基本性質(zhì)：開口方向、對稱軸的表達(dá)式、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式回顧，再從“數(shù)” 的方面對二次函數(shù)解析式的三種表達(dá)形式回顧。目的一是鞏固學(xué)生之前所學(xué)的基本知識，為本節(jié)課學(xué)習(xí)新知識做好鋪墊，二是有意識對班級內(nèi)基礎(chǔ)較差的同學(xué)提問，增強(qiáng)他們對后面學(xué)習(xí)新內(nèi)容的信心。第 3 小題要求學(xué)生熟練掌握把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式的配方法，第 4 小題目的是讓學(xué)生回顧求拋物線y= ax2 bxc與x軸交點(diǎn)的問題，就是y=0,轉(zhuǎn)化為二次方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，教學(xué)中通過對這個問題的點(diǎn)評，讓學(xué)生明確二次函數(shù)的學(xué)習(xí)應(yīng)該從 “數(shù)” 與 “

5、形” 兩方面進(jìn)行研究。第 5 小題的解答雖然可以有三種途徑：一般式、頂點(diǎn)式、兩根式都可以探索得到，但三種方法的簡潔程度不相同，反映的思維深度也不一樣，通過提問、啟發(fā)在課堂中盡量讓學(xué)生回答出三種解法，并對比三種方法的優(yōu)劣。熱身練習(xí)時，教師在課室中巡視，用肯定學(xué)生的話語鼓勵學(xué)生，用啟發(fā)性的語言提示學(xué)生，努力營造出寬松、和諧的課堂氣氛,為之后的新課學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。實(shí)際教學(xué)效果：課前的熱身訓(xùn)練中，由于這5 個練習(xí)題設(shè)置基本，精巧簡練，所以這個環(huán)節(jié)在知識上起到了承前啟后的作用，在教與學(xué)的雙邊活動中也營造出了較為寬松的 課堂氣氛。特別是第5小題的一題多解，即活躍了學(xué)生的思維，也為本節(jié)新課“探索二次函數(shù)與一元

6、二次方程的關(guān)系的過程，體會二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系”打好了鋪墊。第二環(huán)節(jié)用心想一想，馬到功成活動內(nèi)容：1 .我們已經(jīng)知道，豎直上拋物體的高度h(m)與運(yùn)動時間t(s)的關(guān)系可用公式 h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0(m)是拋出時的高度,v0(m/s)是拋出時的速度.一個 小球從地面以40m/s的速度豎直向上拋出起，小球的高度h(m)與運(yùn)動時間t (s)的關(guān)系如圖所示，那么(1)圖象上每個點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)含義是什么？2 2) h和t的關(guān)系式是什么？(3)小球經(jīng)過多少秒后落地？思路點(diǎn)撥：與x軸交點(diǎn)就是求當(dāng)y=0時這個方程的解，然后寫成點(diǎn)的坐標(biāo)(1)觀察下列二次函數(shù)y=x2+2x,y=x 2-

7、2x+1,y=x 2-2x+2的圖象，每個圖象與x軸有幾個交點(diǎn)？(2) 一元二次方程x2+2x=0, x 2-2x+1=0有幾個根？驗(yàn)證一下一元二次方程x2-2x+2=0 有根嗎？(3)說說二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和 x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系？3.歸納整理:a.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況：1 、有兩個交點(diǎn)，2 、 有一個交點(diǎn)，3 、沒有交點(diǎn).b.當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸有交點(diǎn)時，交點(diǎn)的橫坐 標(biāo)就是當(dāng)y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.c.完成下列表格，觀察二次函數(shù) y=ax2

8、+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判別式有什么關(guān)系？二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)，兀一次方程ax2+bx+c=0 的根，兀一次方程ax2+bx+c=0根的判別式A =b2-4ac后兩個相異的實(shí)數(shù)根b2-4ac > 0后兩個相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac = 0b2-4ac < 0活動目的：這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，在教材提供的生活素材背景下，例題是由一個待定的二次函數(shù)解析式與對應(yīng)圖象一并給出的，目的很明顯：為學(xué)生直接鋪設(shè)一個數(shù)形結(jié)合的情境，有意識的引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形兩方面結(jié)合起來考慮問題，由于學(xué)生已經(jīng)有了一次函數(shù)圖象應(yīng)

9、用的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，具備了一定的數(shù)形結(jié)合思想基礎(chǔ)，為了求出v0和h0,只要教師引導(dǎo)學(xué)生分析清楚由于高度h與時間t成二次函數(shù)關(guān)系， 故圖象必然是呈現(xiàn)出拋物線的形式。教學(xué)中我特意增加了 “圖象上的每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別表示什么含義？”這一問題來啟發(fā)學(xué)生，使他們認(rèn)識到滿足這個函數(shù)關(guān)系的點(diǎn)（h,t ）一定在拋物線圖象上，反之圖象上的每一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別是小球被拋出的時間與高度。當(dāng)學(xué)生理解了這個關(guān)系后，再引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象上是否有已知的點(diǎn)，他們的注意力自然會去觀察圖象與x 軸的交點(diǎn)（0， 0）和（8， 0） ，至此求h、 t 就轉(zhuǎn)化為求解方程組的問題。學(xué)生在此認(rèn)識的基礎(chǔ)上，教師再出示第3 問， 啟

10、發(fā)學(xué)生認(rèn)識到物體落地表示高度h=0,對應(yīng)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為零，研究圖象與x軸的兩個交點(diǎn)，第二個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是落地時的時間。緊接著給出求出三個函數(shù)y=x2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2與x軸的交點(diǎn)，再畫出它們的草圖，教學(xué)中我組織開展了 “比一比”這個活動，看誰解方程速度快？看誰畫圖快？在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的同時，來訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)算能力和鞏固對二次函數(shù)圖象拋物線的認(rèn)識，。隨后的三個問題給出從觀察圖象開始，再用代數(shù)方法求三個方程的根，逐步引導(dǎo)學(xué)生體會二次函數(shù)與一元二次方程的對應(yīng)關(guān)系，這個關(guān)系雖然是從最簡單的情形入手，即圖象與x 軸的交點(diǎn)就是一元二次方程根的問題，但只要突破了這一學(xué)

11、習(xí)難點(diǎn)，學(xué)生就會對二次函數(shù)與一元二次方程的對應(yīng)關(guān)系恍然大悟，隨后的學(xué)習(xí)他們就會更加有信心和興趣了。為了更加完整、系統(tǒng)的使學(xué)生明確二次函數(shù)與一元二次方程的對應(yīng)關(guān)系，隨后教學(xué)中設(shè)計了一個表格，教師再次組織學(xué)習(xí)小組進(jìn)行討論、交流、發(fā)言，目的是讓學(xué)生完整建立本節(jié)課的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，理解二次函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系，及滿足什么條件時方程有兩個不等的實(shí)根，有兩個相等的實(shí)根和沒有實(shí)根；同時進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生合作交流、清晰表達(dá)的數(shù)學(xué)能力。實(shí)際教學(xué)效果：由于教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)出步步為營的戰(zhàn)術(shù)特點(diǎn)，學(xué)生在小組成員的相互討論中，在教師的引導(dǎo)啟發(fā)下，不知不覺中完成了對新知識的學(xué)習(xí)理解。第三環(huán)節(jié)教材

12、題變形，拓展延伸活動內(nèi)容：【例】一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度 h （m）可以用公式h=4.9t2+19.6t來表示.其中t （s）表示足球被踢出后經(jīng)過的時間.（ 1）當(dāng) t=1 時，足球的高度是多少？（ 2） t 為何值時，h 最大？（ 3）經(jīng)過多長時間球落地？（ 4）方程4.9t2 19.6t =0的根的實(shí)際意義是什么？你能在圖上表示嗎?（ 5）方程14.7= 4.9t2 19.6t 的根的實(shí)際意義是什么？你能在圖上表示嗎?解： （ 1） t=1 時， h=14.7（2）h=4.9（t-2） 2+19.6.當(dāng) t=2 時，h 最大（3）對于 h=-4. 9t2+ 19. 6t球落

13、地表示h=0即4 9t2 19 6t=0，解得tl=0 （舍去）,t2=4 .即足球被踢出后經(jīng)過4s 后球落地 .（4）方法一：解方程0= 4.9t2 19.6t 得 t=0, t=4根 t=0， t=4 分別表示足球離開地面和落地的時刻方法二：直接觀察拋物線與直線x 軸的交點(diǎn)（0， 0） ， （ 4， 0）即可圖形表示方程的根就是拋物線與x 軸的兩個交點(diǎn)（5）方法一：解方程14.7= 4.9t2 19.6t 得 t=1, t=3方法二：圖象法，過點(diǎn)（0, 14.7）作一條與y軸垂直的直線，找到它與拋物線的交點(diǎn)，再分別過交點(diǎn)作x 軸的垂線，找出兩個垂足的橫坐標(biāo)即可。表明球被踢出1 秒和 3 秒

14、時，離地面的高度都是14.7秒活動目的：再次設(shè)計一個與教材例題相似的問題情景，給出一個以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生逐步深入的思考二次函數(shù)與一元二次方程的對應(yīng)關(guān)系。前三問用提問的形式給出，經(jīng)學(xué)生獨(dú)立思考后答出。第四問引導(dǎo)學(xué)生觀察到方程4.9t 219.6t =0是函數(shù)h= 4.9t2+i9.6t的函數(shù)值h取0的情況，其實(shí)際意義就是足球的高度為零時時間所滿足的關(guān)系。當(dāng)然該方程的一個根就是足球落地的時間，而另一個根的實(shí)際含義就是足球剛被踢出時離地的那一刻。這是本節(jié)課的又一個難點(diǎn)，為了突破這個難點(diǎn)，教學(xué)中教師要耐心啟發(fā)、引導(dǎo)，不斷的設(shè)問、鼓勵，力爭由學(xué)生自己來揭示出來，體現(xiàn)出學(xué)生的主體性、主動性。 在認(rèn)識了

15、第三問基礎(chǔ)上， 第四問的給出，鼓勵學(xué)生用類比的思想方法去考慮，問題就會迎刃而解了。在肯定學(xué)生的思考同時，此時教師再提出一個問題：我們用求一元二次方程的根來解決的問題，你能再用圖象法解決這個問題嗎？啟發(fā)學(xué)生用形的一面去考慮問題。 目的是鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)上永不滿足、勇于探索，同時再次強(qiáng)化學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要有意識的養(yǎng)成從“數(shù)” “形”兩方面去研究的思想方法。以上四個問題串的設(shè)計，由易到難，一環(huán)緊扣一環(huán)，從認(rèn)識一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，到理解一元二次方程ax2+bx+c=h 的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（ h 是實(shí)

16、數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這個體會感受的過程對于學(xué)生來說起初是模糊的，此時組織學(xué)生合作交流討論，再由小組派代表發(fā)言，教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生將問題表達(dá)清楚。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法來研究，即分解了學(xué)生學(xué)習(xí)上思維難點(diǎn)，又把學(xué)生思維逐步引向深處。實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生經(jīng)過前一環(huán)節(jié)對二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系有了初步認(rèn)識后，他們明白了一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，本環(huán)節(jié)前4 個問題， 作為對函數(shù)式求值、認(rèn)識二次函數(shù)頂點(diǎn)式、理解拋物線圖象的形成、及之前內(nèi)容的鞏固訓(xùn)練，是一道很好的練習(xí)，課堂教學(xué)中學(xué)生踴躍回答，氣氛熱烈。第 4 問雖然有些特別，但學(xué)生

17、有了前面問題的理解認(rèn)識，他們也可以說出方程的根就是拋物線與x 軸的交點(diǎn)。但第 5 問給出后， 學(xué)生靜了下來。我知道他們雖然明白一些，但卻不知如何表達(dá)？特別是用圖形來表示一元二次方程14.7= 4.9t2 19.6t 的根這個問題對于他們很陌生。此時正是教師發(fā)揮指點(diǎn)迷津的作用絕好時機(jī)，我馬上指出前一問中h=0 的幾何意義是什么？學(xué)生回答h=0表示直線x軸。那么h=14.7的幾何意義又是什么呢？他們恍然大悟，明白了方程14.7= 4.9t2 19.6t 的根的實(shí)際意義是拋物線與直線 h=14.7 的交點(diǎn)。5 個問題一步步逐漸揭示出方程14.7= 4.9t2 19.6t 的根的實(shí)際意義，教師在這時再

18、順勢提出更一般的問題：一元二次方程ax2+bx+c=h 的根的幾何意義又是什么呢？學(xué)生就不難理解一元二次方程ax2+bx+c=h 的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（ h 是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)了。學(xué)生在課堂上有時熱烈，有時安靜，有時欲說還羞，有時又很滿足，他們完全沉浸在數(shù)學(xué)探索、發(fā)現(xiàn)的樂趣中了。第四環(huán)節(jié)開拓創(chuàng)新，試一試活動內(nèi)容：在本節(jié)一開始的小球上拋問題中，何時小球離地面的高度是60cm?爾是如何 知道的 ?活動目的：此環(huán)節(jié)作為一個練習(xí)給出，此處留給學(xué)生充分的時間，讓他們整理自己的認(rèn)識，首先在學(xué)習(xí)小組內(nèi)互相表達(dá)，然后在全班發(fā)言，雖然問題和前面的比較一樣，但由學(xué)生自己獨(dú)立思考

19、，教師要作出及時的肯定評價，這一環(huán)節(jié)目的是鞏固學(xué)生對前面知識講解的理解、消化，并能夠清晰、完整的回答出。實(shí)際教學(xué)效果：教學(xué)中老師讓學(xué)習(xí)小組先互相講解，然后再由小組成員推薦上講臺面向全班同學(xué)講解，一個同學(xué)發(fā)言指出他們的做法，把h=60帶入函數(shù)式中，轉(zhuǎn)化為求方程的根。全班同學(xué)用贊許的眼光肯定了他的解法?？吹剿皇菑摹皵?shù)”的角度解決的，我知道學(xué)生要形成數(shù)形結(jié)合的思想意識是需要過程的。我向全班同學(xué)啟發(fā)問到：其他小組還有沒有另外的解法？另一位同學(xué)說：前面同學(xué)是從代數(shù)的角度解決的問題，我還可以用幾何方法解決。畫出直線h=60,找到它與拋物線的交點(diǎn)，兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是問題的結(jié)論。他的講解贏得了同學(xué)熱烈的

20、掌聲。我沒有讓他坐下，在肯定了他能夠用數(shù)形結(jié)合的思想考慮問題的同時， 又追問了他一個問題：如果你的拋物線圖形沒有畫準(zhǔn)，那么圖象法得到的結(jié)論 準(zhǔn)確嗎？你能比較一下兩種解法的優(yōu)劣嗎？此刻所有同學(xué)都深刻體會到代數(shù)解 法精確，而圖象法快捷。第五環(huán)節(jié)放開手腳，做一做活動內(nèi)容：例：已知二次函數(shù)y=kx27x7的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，則k的取值范圍為什么？錯解：由=(一7) 2-4xkX ( 7) =49+28k>0,得k>7.4正確解法：此函數(shù)為二次函數(shù)kw0,又與x軸有交點(diǎn)，.= (7) 2-4X kx ( 7) = 49+ 28k>0,得k4故 k>- 7 且 kw04點(diǎn)撥：因

21、為是二次函數(shù)，因而 kw0;有兩個交點(diǎn)，但未點(diǎn)明為兩個不同點(diǎn)，所以應(yīng)為學(xué) 0.活動目的：對本節(jié)知識進(jìn)行鞏固練習(xí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生分析題目是描述幾何關(guān) 系的語言，即“形”作為條件，那么我們應(yīng)該通過什么途徑來研究呢？學(xué)生自然 會想到應(yīng)轉(zhuǎn)化為代“數(shù)”的一面來考慮。使學(xué)生更加加深數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用， 熟練對數(shù)與形進(jìn)行轉(zhuǎn)化。在學(xué)生高高興興作出解答后，教師應(yīng)關(guān)注他們是否考慮 學(xué)生對兩個交點(diǎn)的理解，以及 k的取值范圍了沒有？實(shí)際教學(xué)效果：學(xué)生基本都能把問題轉(zhuǎn)化為根的判別式的值大于零， 受到了 較好的教學(xué)效果。但很多學(xué)生沒有條件雖然說有兩個交點(diǎn)， 但未點(diǎn)明為兩個不同 點(diǎn)，所以應(yīng)為學(xué)0;另外二次函數(shù)的存在條件是二

22、次項的系數(shù)不為零只有個別同學(xué)注意到。教學(xué)中先讓有問題的學(xué)生板演出他的解法> 0,我故意打一個大 大的半對號，請同學(xué)們說說原因，當(dāng)有同學(xué)提出應(yīng)為學(xué) 0,我仍然說道還不完 整，再請同學(xué)們思考，直到給出完整的解法。同學(xué)們在問題的思考探索中培養(yǎng)了 他們分析題目要全面、仔細(xì)的好習(xí)慣。第六環(huán)節(jié)大膽嘗試、練一練活動內(nèi)容：1.拋物線y=-3 (x 2) (x + 5)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 2,拋物線y=x2 2x+3與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個數(shù)為 個.3.拋物線y=2x2 + 8x+m與x 軸只有一個交點(diǎn)，則 m=4二次函數(shù)y=kx2+3x 4的圖象 與x軸有兩個交點(diǎn)，則k的取值范圍. 5.若a>0, b>0, c>0, >0,那么拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過 象限.活動目的：用課堂形成性評價方式檢查學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果，學(xué)生基本上 都能夠順利完成前4個小題的解答，第5小題的綜