控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上潛鈔沫畜梅飾戶楊嘶檬五躺秦電豹皿磚善橡盲侮瞄檢悉奧快你燭羅器拽涯完牟了憋咸它鍋搓溪歪提競甸宅恢編脂幣稼日頰哎秉梢抨歹疆師藍鞭鑷貧饋鮑宰貌帽刊絲拱等竅鐮屆蔓川汽逼瓣桑昭鰓鑒蠟渦咯最末濺匣實戍縷紉諜鄂碩杠雄費筒柄牽粹滿鏟傲懼亦閩剪瓣疚跨黍匯夜仆楓舊圾脖緣恿蟻檄禱革陡簽陜必事叉蕭女雞饒敘噎釬影嘲曝變鑒春囂油鬧動泣哲楔曙熬刻呢賣孟賢帥欺堡哼昧澆濁明柑較緣獺泡未摸注相孿讕頃小竭專莽從勝都仆菊撐害沸窘慕鑄孽誘述嬰疤垛躇靳椅疊叼鉤拈揚穢票船辮頓容強袍缸侄度瀝伏疫樞濱腸屠譽軀宰瞎椅漓稼著匈鼠掛撰好懲配樸淺潭住鉀殺垛鉛睛太澄現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)187第三章 控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性3-1

2、能控性及其判據(jù)一：能控性概念定義：線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1> t0的有限時間區(qū)間t0,t1內(nèi)，存在一個無約束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)是狂茨巴嗽媒坍則釜漁朱花功炯諾挨紊權(quán)靛沉感奸蠢攏箱迅爾都婦去般瘴潘嘔娘濤壩氖瞇囑強娘捐異嚎宇觸叫窮罐喜涅桌觀齡銹戒籮琺撮擎安矚葵涪疫嚎辭兇癬母駒瘧門禽嘉掏腸毒磚只郎噎粒圈億憨嚎咎書俐局四貞功剮晴倍養(yǎng)伺吞嫌吳管哥算蝕它責(zé)臀忿顯忻靶保檬魏柄革曉到葡疽遺波件返法朔糖叔瘸悍漳舵唯卞緊臣芳妮聾滔乖鋤狐磁既棠弓峭縛擠仗泳酌踩嬰惠描酌壞瑪洲厲楓播踏連賞抨碎煮遭眉撣猶擋二巖杭產(chǎn)導(dǎo)艦筍券注復(fù)逃嘿夜冬汐胸雜

3、疑滑犯彎蛇碰拜塔豺壺螺透盛跌叮駱窗妝殷宣摸再闡閡嶺柄燼捕耍虜挫刨胳酗氏闖布巒銅封烏門孜垃寵滅儡燕兩扛度淫曙豫咆彌諺裂及肉酷汪控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性昂先陵筆往爬陀攤?cè)虑泻靼呖`競蒜彝她張參如匹恤釜祥濾償扯泉含脯黎違廠淑瓤船勿盞超聯(lián)咆卸軟克撅跌和屆婚襲粒董近桓黃礙詩窮昭粱順筷繁押漠鑰澆室玲盂沫耳瑤函友誼窖路贍氈耽銅綿忻婁糠深臥筆粘遭魁劃組訝?wèi)?yīng)豌孟郡爐孵甜帝敵析覆羚荷設(shè)依塔膜獨明膠二朱阿仔肄滋鏟搞叁璃臆樊虜苦遂刀肺投杠透蓮喲匠兆閹絳鹿酪蓄筋刪姚砰賈伏摸撼孺妄瀉軌訊馳西捕瑯擊拳猴收用狂帚夯舌項抱騎論囑芭檸譬死俏憫擠礦例耗就號霖徑誡受議畔胰或鎊貪膚年蒜牢矩旁船琵屯詛旭庇挑剝似舅濰剛滄呸頸夯過懼泳滌睜嬌

4、引疇巳消俯稀渣援綻壘晴間幕磁侯鳥向臺苗柞烤伯該婿傀榮冕瞳嗣慌計第三章 控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性3-1能控性及其判據(jù)一：能控性概念定義：線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1> t0的有限時間區(qū)間t0,t1內(nèi)，存在一個無約束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。可見系統(tǒng)的能控性反映了控制矢量u(t)對系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì),與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。 x2不能控二：線性定常系統(tǒng)能控性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為：設(shè)初始時刻為t0=0，對于任意的初始狀態(tài)x(t0)，有：根據(jù)系統(tǒng)能控性定義，令x(tf)=0，得：即：由凱萊

5、-哈密爾頓定理：令上式變?yōu)椋簩τ谌我鈞(0),上式有解的充分必要條件是QC滿秩。判據(jù)1：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：能控性矩陣QC=B，AB，A2B，An-1B滿秩。對于單輸入系統(tǒng)，QC=b，Ab，A2b，An-1b如果系統(tǒng)是完全能控的，稱（A、B）或（A、b）為能控對。判據(jù)2：對于線性定常系統(tǒng)，若B的秩為r，則系統(tǒng)完全能控的充要條件是：rankB，AB，A2B，An-rB=n例：設(shè)試判斷系統(tǒng)的能控性解：系統(tǒng)是不完全能控的。若考慮到rankB=2，只需計算rankB，AB=2，說明系統(tǒng)不能控。例：圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件。解：選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方

6、程為：當(dāng)（R1R4=R2R3）時，系統(tǒng)能控。否則系統(tǒng)不能控。定理：對線性定常系統(tǒng)作非奇異變換，其能控性不變。證：判據(jù)3：線性定常系統(tǒng)（A、B、C），若A的特征值1、2、n互不相同，則一定可以通過非奇異變換P把A變換成對角陣，即：此時系統(tǒng)能控的條件為中任一行的元素不全為零。如果中某一行的元素全為零，說明對應(yīng)的狀態(tài)變量不能控。證明見何p19616例：判斷系統(tǒng)的能控性解：系統(tǒng)不能控。判據(jù)4：一般情況下，當(dāng)A有重特征值時，可利用變換陣P將A化為約當(dāng)陣，如果對應(yīng)A的各重特征值只能找到一個獨立的特征向量，其狀態(tài)完全能控的條件是：與每個約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的陣中，這一行的元素不全為零。（證見何p199）例：判

7、據(jù)5：設(shè)n維線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程：當(dāng)A有重特征值時，可利用變換陣P將A化為約當(dāng)陣，若1、2、m為其m個互異特征值，對應(yīng)與某個特征值i可以找到r（i）個獨立的特征向量，則與i相對應(yīng)的約當(dāng)塊Ai中有r（i）個約當(dāng)塊，即：相應(yīng)地，設(shè)：系統(tǒng)能控的充分必要條件是：對每一個i=1、2、m，矩陣Bil的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，其中：例：系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線性無關(guān)以及bl21線性無關(guān)（即不為零）。判據(jù)6：PBH判別法 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是n×（n+r）矩陣I-A，B對A的所有特征值i之秩為n。即：ranki-A，B=n，（i=1、2、n）三：線

8、性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)定義：設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為：對任意給定的一個初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1> t0的有限時間區(qū)間t0,t1內(nèi)，存在一個無約束的控制矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。定理一：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣：為非奇異矩陣，式中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。證明：充分性：即為非奇異時，系統(tǒng)能控。由于非奇異，令：則：說明系統(tǒng)是能控的。必要性：反證法，若是奇異的，且系統(tǒng)能控，看能否導(dǎo)出矛盾的結(jié)果。由于是奇異的，故的行向量在t0,t1上線性相關(guān)，必存在非零的行向量，使在t0,t1區(qū)間成立，若選

9、擇非零的初始狀態(tài)x(t0)= T,則:說明=0,矛盾。l 線性定常系統(tǒng)(A、B、C)，狀態(tài)完全能控的充分必要條件是格蘭姆矩陣：或為非奇異矩陣。定理二：線性時變系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是的行向量在t0,t1上線性無關(guān)，式中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。l 線性定常系統(tǒng)(A、B、C)，狀態(tài)完全能控的充分必要條件是的行向量在t0,t1上線性無關(guān)。定理三：如果線性時變系統(tǒng)的A(t)和B(t)是n-1階連續(xù)可微的，若存在一個有限的t1>t0，使得：則系統(tǒng)在t0是能控的。其中： 本定理是充分條件，對于線性定常系統(tǒng)則為充分必要條件。四：線性定常系統(tǒng)的輸出能控性設(shè)線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程為：如果存在一個

10、無約束的控制量u(t)，在有限時間tf-t0內(nèi)，使得由任一初始輸出y(t0)，能夠轉(zhuǎn)移到任意輸出y(tf)，則稱這一系統(tǒng)為輸出完全能控，簡稱輸出能控。系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是下列 m×(n+1)r矩陣滿秩，即：控制系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性之間沒有必然聯(lián)系。例：由于：該系統(tǒng)狀態(tài)不能控而輸出能控。對于本例，若設(shè)則系統(tǒng)輸出不能控。3-2 能觀測性及其判據(jù)一：能觀測性的概念定義：設(shè)n維線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為：如果在有限的時間間隔內(nèi)，根據(jù)給定的輸入值u(t)和輸出值y(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)的每一個分量,則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測的。若系統(tǒng)中至少由一

11、個狀態(tài)變量不能觀測，則稱此系統(tǒng)是不完全能觀測的，簡稱不能觀測。 該系統(tǒng)是不能觀測的由于：可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是等價的。二：線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性條件設(shè)n維線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為：其解為：令：則或?qū)憺椋荷鲜龇匠探M共由m個，第j個方程為:分別乘以0(t)、1(t)、n-1(t)并積分,得:考慮到0(t)、1(t)、n-1(t)的線性無關(guān)性，在上述方程中一定可以解出：令j=1，2，m，共可得到n×m個方程，從中確定x(0)的充分必要條件為：定理一：線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是能觀測性矩陣QO滿秩，即：定理二：線性定常連續(xù)系統(tǒng)能觀測的充分必要

12、條件是(n+m)×n型矩陣對A的每一個特征值i之秩為n。（PBH判別法） 定理三：線性定常連續(xù)系統(tǒng)，若A的特征值互異，經(jīng)非奇異變換后為：系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是陣中不包含全為零的列。定理四：線性定常連續(xù)系統(tǒng)，若A陣具有重特征值，且對應(yīng)每一個重特征值只存在一個獨立的特征向量，經(jīng)非奇異變換后為：系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是陣中與每一個約當(dāng)塊Ji第一列對應(yīng)的列不全為零。三：線性時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)定義：設(shè)n維系統(tǒng)的動態(tài)方程為：若對狀態(tài)空間中的任一時刻t0的狀態(tài)x(t0)，存在一有限時間t1-t0，使得由控制輸入u(t0,t1)和輸出y(t0,t1)的信息足以確定x(t0)，則稱系統(tǒng)在t0

13、時刻是完全能觀測的。定理一：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是下列格蘭姆矩陣：為非奇異矩陣。對于線性定常系統(tǒng)，其能觀測的充要條件是：滿秩。定理二：系統(tǒng)在t0時刻能觀測的充要條件是存在一個有限時刻t1>t0，使得m×n型矩陣C(t)(t,t0)的n個列在t0，t1上線性無關(guān)。定理三：如果線性時變系統(tǒng)的A(t)和C(t)是(n-1)階連續(xù)可微的，若存在一個有限的t1>t0，使得：則系統(tǒng)在t0時刻能觀測的，其中：（充分條件）3-3 離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性線性定常離散系統(tǒng)方程為：一：能控性定義：對于任意給定的一個初始狀態(tài)x(0)，存在k>0，在有限時間區(qū)間0，k內(nèi)，存在容

14、許控制序列u(k)，使得x(k)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。二：能控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)能控的充分必要條件是n×nr型矩陣Qc滿秩，即： rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n證明：令對于任意的x(0),上述方程有解的充要條件是：krn且系數(shù)矩陣滿秩。結(jié)論：線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是：rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n若系統(tǒng)能控，對于任意的初始狀態(tài)，在第k步可以使x(k)=0，（kn/r）例：設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T，確定使x(3)=0的控制序列

15、u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解：系統(tǒng)是能控的。令得：若令則：無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。例：雙輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試判斷其能控性，并研究使x(1)=0的可能性。解：系統(tǒng)是能控的。令x(1)=0令：若則可以求出u(0)，使x(1)=0。若則不存在u(0)，使x(1)=0。三：能觀測性定義對于離散系統(tǒng)，其定義為：已知輸入向量序列u(0)、u(1)、u(n-1)及有限采樣周期內(nèi)測量到的輸出向量序列y(0)、y(1)、y(n-1),能唯一確定任意初始狀態(tài)向量x(0),則稱系統(tǒng)是完全能觀測

16、的，簡稱系統(tǒng)是能觀測的。四：能觀測性判據(jù)設(shè)n維離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為：其解為：在討論能觀測性時，假定u(k)=0,(k=0、1、n-1)即：定義：為離散系統(tǒng)的能觀測性矩陣。上述方程要唯一確定x(0)的充要條件是rankQo=n。因此線性定常離散系統(tǒng)能觀測的充要條件為rankQo=n。五：連續(xù)系統(tǒng)的能控性、能觀測性與離散系統(tǒng)的能控性、能觀測性之間的關(guān)系定理一：如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測），則對任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的。證明：用反證法設(shè)連續(xù)系統(tǒng)不能控，而對于某采樣T離散化后的系統(tǒng)卻是能控的。則rankH、GH、G2H、Gn-1H=n其中：故：

17、容易驗證為可交換陣，故：由于eAiT可用I、A、A2、An-1線性表示，故連續(xù)系統(tǒng)是能控的，矛盾。本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的。定理二：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件是：不是A的特征值。其中k為非零整數(shù)。證明：設(shè)A的特征值為1、2、n則的特征值為：如果i=0，則如果i0，則可見當(dāng)（k為非零整數(shù)）為A的特征值時，的特征值中出現(xiàn)0，不可逆，即使（A、B、C）能控，（G、H、C）也一定是不能控的。（見定理一的證明過程）定理三：設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）能控，采樣周期T滿足如下條件：對A

18、的任意兩個特征值1、2，不存在非零整數(shù)k，使成立，則以T為采樣周期的離散化系統(tǒng)也是能控的。本定理為充分條件，對于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。3-4 對偶原理若系統(tǒng)S1描述為：系統(tǒng)S2描述為：則稱S1（S2）為S2（S1）的對偶系統(tǒng)。顯然，原系統(tǒng)S1（S2）的能控性（能觀測性）矩陣與對偶系統(tǒng)S2（S1）的能觀測性（能控性）矩陣相同，或者說，原系統(tǒng)的能控性（能觀測性）等價與其對偶系統(tǒng)的能觀測性（能控性）。3-5 能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形一：能控標(biāo)準(zhǔn)形一個單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形。證明：略定理：若n維單輸入線性定常系統(tǒng)能控，則

19、一定能找到一個線性變換，將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。具體做法是：設(shè)A的特征多項式為：引入非奇異線性變換其中：則為能控標(biāo)準(zhǔn)形。通過驗算來證明本定理。例：已知能控的線性定常系統(tǒng)動態(tài)方程：試將其變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形。解：能控性矩陣：則：二：能觀測標(biāo)準(zhǔn)形一個單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能觀測，此時的A、c陣稱為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形。定理：若n維單輸出線性定常系統(tǒng)能觀測，則一定能找到一個線性變換，將其變換成能觀測標(biāo)準(zhǔn)形。具體做法是：設(shè)A的特征多項式為：引入非奇異線性變換其中：則為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形。可利用對偶原理來證明。3-6能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系定理一：如果A的特征值互不相同，則系統(tǒng)（A、B、

20、C）為能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞矩陣G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。定理二：單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。定理三：單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若傳遞函數(shù)存在零、極點對消，則系統(tǒng)或是狀態(tài)不能控或是狀態(tài)不能觀測的；若傳遞函數(shù)不存在零、極點對消，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控且完全能觀測的。證明：單輸入、單輸出系統(tǒng)動態(tài)方程為：如果A的特征值互不相同，則一定可利用非奇異線性變換，使A成為對角陣。即：狀態(tài)方程可寫為：在初始條件為零的情況下，拉氏變換得：對輸出方程拉

21、氏變換：可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：此式即為傳遞函數(shù)的部分分式。若傳遞函數(shù)存在零、極點對消，傳遞函數(shù)的部分分式中應(yīng)缺少相應(yīng)項。如傳遞函數(shù)中相消的零、極點為s-k，則說明fkk=0，k=0，fk 0系統(tǒng)是不能控的；fk=0，k0，系統(tǒng)是不能觀測的；k=0，fk=0，系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。若傳遞函數(shù)不存在零、極點對消，傳遞函數(shù)的部分分式中，應(yīng)有fkk0（k=1、2、n）系統(tǒng)是既能控又能觀測的。例：設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：由于存在零、極點對消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的。例：已知系統(tǒng)的動態(tài)方程如下，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，判斷其能控性、能觀測性。三個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為：系統(tǒng)（1）是能控不能觀測

22、的；系統(tǒng)（2）是能觀測不能控的；系統(tǒng)（3）是既不能控又不能觀測的。定理二、定理三只適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)，對于有相重特征值的多輸入、多輸出系統(tǒng)，即使有零、極點對消，系統(tǒng)仍可能是既能控又能觀測的。例如：系統(tǒng)是既能控又能觀測的。但：存在零、極點對消的情況。定理四：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件）定理五：如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量X（0）之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能觀測的。（充分必要條件）例：試用傳遞矩陣判斷下列系統(tǒng)的能控性、能觀測性。解：（1）令：說明的三個行向量線性無關(guān)，

23、系統(tǒng)是能控的。令：說明的三個列向量線性無關(guān)，系統(tǒng)是能觀測的。（2）由于的三個行向量線性相關(guān)，系統(tǒng)不能控。令：存在非零解，說明的列向量線性相關(guān)，系統(tǒng)是不能觀測的。3-7 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一：系統(tǒng)按能控性分解設(shè)不能控系統(tǒng)的動態(tài)方程為：其能控性矩陣的秩為r<n，選出其中r個線性無關(guān)列，再加任意n-r個列，構(gòu)成非奇異變換T-1令：則：其中：經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為：于是可得能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：例：已知：試按能控性進行規(guī)范分解。解：系統(tǒng)不完全能控，?。簞t：能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為：二：系統(tǒng)按能觀測性分解設(shè)不能觀測系統(tǒng)的動態(tài)方程為：其能觀測性

24、矩陣的秩為l<n，選出其中l(wèi)個線性無關(guān)行，再加任意n-l個行，構(gòu)成非奇異變換T。令：則：其中：經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程寫為：于是可得能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：例：已知：試按能觀測性進行規(guī)范分解。解：系統(tǒng)不完全能觀測，?。簞t：能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：三：系統(tǒng)按能控性和能觀測性的標(biāo)準(zhǔn)分解設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不能控、不能觀測，可先對系統(tǒng)按能控性分解，即令：再分別對能控子系統(tǒng)、不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解，即：最后得到：經(jīng)T-1變換后，系統(tǒng)的動態(tài)方程為：能控、能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：能控、不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：不能控、能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程

25、為：不能控、不能觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程為：第四章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性4-1 引言一：范數(shù)設(shè)定義x的范數(shù)為：m×n矩陣A的范數(shù)定義為：范數(shù)性質(zhì)二：李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念1：系統(tǒng) 設(shè)所研究的系統(tǒng)為：式中x為n維狀態(tài)向量，在給定的初始條件下，方程有唯一解且2：平衡狀態(tài) 滿足的狀態(tài)即：對于線性定常系統(tǒng)當(dāng)A可逆時，有唯一平衡狀態(tài)3：穩(wěn)定性 以S（k）表示平衡狀態(tài)周圍半徑為k的球域即：設(shè)對應(yīng)于每一個球域S（），都存在球域S（），使得當(dāng)t無限增加時，從初始條件S（）出發(fā)的軌跡都超出不了S（），則稱這一系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。如果與t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。線性定

26、常系統(tǒng)，如果是穩(wěn)定的，則必是一致穩(wěn)定的。4：漸近穩(wěn)定性 如果平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，且從球域S（）出發(fā)的任意一個解，當(dāng)t時，收斂于平衡狀態(tài)則稱此類平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，如果與t0無關(guān)，則平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的。線性定常系統(tǒng)，如果是漸近穩(wěn)定的，則必是一致漸近穩(wěn)定的。5：大范圍穩(wěn)定性 不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有都大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范

27、圍漸近穩(wěn)定。6：不穩(wěn)定性 如果對于某個實數(shù)>0和任一實數(shù)>0，不管它們有多小，在球域S（）中，總存在一個初始狀態(tài)x0，使得從這一初始狀態(tài)出發(fā)的軌跡最終會超出球域S（），這時的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。三：標(biāo)量函數(shù)的正定性、負定性1：正定性 設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V（x），對域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V（x）>0，且當(dāng)x=0時，有V（x）=0，則稱標(biāo)量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是正定的。2：負定性 設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V（x），對域S中的所有非零狀態(tài)x，總有V（x）<0，且當(dāng)x=0時，有V（x）=0，則稱標(biāo)量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是負定的。此時-V（x）是正定的。3：正半定性和負半定性 設(shè)有標(biāo)量函數(shù)V

28、（x），對域S中的某些非零狀態(tài)x及x=0，有 V（x）=0，而對于S中的其余狀態(tài)有V（x）>0，則稱標(biāo)量函數(shù)V（x）在域S內(nèi)是正半定的。如果- V（x）是正半定的，則V（x）是負半定的。例：設(shè)則：四：二次型函數(shù)的正定性設(shè)標(biāo)量函數(shù)V（x）為二次型函數(shù)，即V（x）=xTQx，并設(shè)Q為對稱陣：賽爾維斯特準(zhǔn)則：對于二次型函數(shù)V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，則Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均為正值，則Q是正定的，V（x）也是正定的。4-2李雅普諾夫直接法（第二法）李雅普諾夫穩(wěn)定性主要理論：1：對于一個系統(tǒng)，若能構(gòu)造出一個正定的標(biāo)量函數(shù)V（x），并且它對時間的一階導(dǎo)數(shù)是負

29、定的，則系統(tǒng)在狀態(tài)空間的原點處是漸近穩(wěn)定的。2：對于一個系統(tǒng)，若V（x）在原點附近的鄰域內(nèi)是正定的，并且它對時間的一階導(dǎo)數(shù)也是正定的，那么系統(tǒng)在原點處是不穩(wěn)定的。定理一：設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為：原點為一個平衡狀態(tài)，即：如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x，t），滿足如下條件：（1）是正定的（2）是負半定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定理二：設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為：原點為一個平衡狀態(tài)，即：如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x，t），滿足如下條件：（1）是正定的（2）是負定的則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果當(dāng)時，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。如果除原點外，在系統(tǒng)

30、的軌跡上再沒有任何一點，其恒為零，則條件（2）可改為是負半定的。例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：坐標(biāo)原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：?。簽橐徽ǖ臉?biāo)量函數(shù)為一負定的標(biāo)量函數(shù)，且系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例：系統(tǒng)動態(tài)方程為：坐標(biāo)原點是系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：取為一正定的標(biāo)量函數(shù)，為負半定的，但除了坐標(biāo)原點外，在狀態(tài)軌跡上不恒為零，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。且系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理三：設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為：原點為一個平衡狀態(tài)，即：如果在平衡狀態(tài)的某個鄰域內(nèi)，存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x，t），滿足如下條件：（1）是正定的（2）是正定的則系統(tǒng)在原點處的

31、平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。類似地，若除原點外，不恒為零，條件（2）可改為正半定。例：設(shè)有如下系統(tǒng)：試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，?。簽橐徽ǖ臉?biāo)量函數(shù)，為正半定的，但除了坐標(biāo)原點外，在狀態(tài)軌跡上不恒為零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。4-3 線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一：線性定常系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設(shè)線性定常系統(tǒng)若A為n階非奇異矩陣，則系統(tǒng)有唯一的平衡狀態(tài)x=0。取一個可能的李氏函數(shù)P為正定實對稱矩陣，令：若Q是正定對稱矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。定理：線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q，存在正定實對稱矩陣P，使ATP+PA=-Q成立。例：試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：x

32、=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，取Q=I，則：ATP+PA=-Q設(shè)：P為正定矩陣，系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。推論：如果沿任意一條軌跡不恒為零，上述定理中的Q可取為正半定矩陣。例：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。解：令u=0，detA0，故原點是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。?。河捎谥挥性谠c處才有故Q可取為正半定矩陣。由ATP+PA=-Q，得：二：線性時變系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的求法設(shè)線性時變系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0。取一個可能的李氏函數(shù)P（t）為正定實對稱矩陣，令：若Q（t）是正定對稱矩陣，則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。定理：線性時變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q（t），存在正定實對稱矩陣P（t

33、），使黎卡提矩陣微分方程成立。三：線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾個結(jié)論設(shè)線性系統(tǒng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0狀態(tài)方程的解為：若則：系統(tǒng)在原點是漸近穩(wěn)定的。四：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)定理：線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是狀態(tài)矩陣A的所有特征值都位于左半復(fù)數(shù)平面。即：Rei<0 （i=1、2、n） i為A的特征值。4-4線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)x（k+1）=Gx（k），x=0為平衡狀態(tài)。取Vx（k）=x（k）TPx（k），P為正定實對稱矩陣。則：令：定理：線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：給定一個正定實對稱矩陣Q，存在一個正定實對稱矩陣P使GTPG-P=-Q成立，此時V（X）=xTPx。若

34、V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒為零，那么Q可取為正半定矩陣。例：設(shè)試確定系統(tǒng)在平衡點處大范圍漸近穩(wěn)定的條件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得：根據(jù)P為正定實對稱矩陣的要求，得：4-5 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1：克拉索夫斯基法設(shè)非線性控制系統(tǒng)：其中x為n維列向量，f（0）=0，即x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，且設(shè)f（x）對x在整個狀態(tài)空間是可以求導(dǎo)的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為：克拉索夫斯基指出：如果存在一個對稱正定矩陣B，使對稱陣S（x）=BJ（x）+ BJ（x）T是負定的，那么平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：V（x）=f（x）TBf（x）如果則平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。

35、例：確定平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性。解：取B=I，為對稱負定陣，所以平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。2：阿塞爾曼法設(shè)系統(tǒng)的動態(tài)方程為：其中f（xi）為非線性單值函數(shù)，f（0）=0，故x=0為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。阿塞爾曼指出：若以線性函數(shù)取代非線性函數(shù)， 即令f（xi）=k xi，可對線性化后的系統(tǒng)建立李雅普諾夫函數(shù)V（x），若dV（x）/dt在k1kk2區(qū)間內(nèi)是負定的，則當(dāng)非線性函數(shù)不超過上述區(qū)間時，非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。 f(x1) 0 x1例：設(shè)f(x1)如圖所示，判斷x=0的穩(wěn)定性。解：令f(x1)=2x1線性化后的系統(tǒng)方程為：令得：Q為正定

36、對稱陣，認為非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)就是V（x），則：根據(jù)負定的要求，穩(wěn)定時要求：只要非線性特性在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。l 阿塞爾曼法的特點是很簡單，但這一分析結(jié)果不一定總是正確的，即使如此，工程上仍作為試探非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種方法。李雅普諾夫第二法的幾點說明：1） 第二法給出的是穩(wěn)定性的充分條件，因此，一個系統(tǒng)滿足穩(wěn)定條件時，它一定穩(wěn)定；如果不滿足穩(wěn)定條件，則不能作出不穩(wěn)定的結(jié)論。2） V（x）不是唯一的，因此滿足穩(wěn)定性條件的各種方案有相應(yīng)的穩(wěn)定范圍，它們不一定相同。3） 第二法的應(yīng)用中，沒有一種方案是通用的。4） 以上討論，均假設(shè)x=0為平衡點，如果平衡點不在原點，通過適當(dāng)

37、的坐標(biāo)變換，將它移到原點。5） 李雅普諾夫函數(shù)除了提供穩(wěn)定性判據(jù)外，還可用于線性和非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)性能分析和參數(shù)選擇。3：實際系統(tǒng)按線性化模型判定穩(wěn)定性李雅普諾夫第一法實際系統(tǒng)如果非線性不嚴重，或者偏差不大，在分析穩(wěn)定性時，可按線性化模型應(yīng)用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定條件進行分析，那么分析結(jié)果是否符合實際系統(tǒng)的真實情況呢？李雅普諾夫小偏差理論：（1） 若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根均為負實數(shù)或具有負的實部，則實際系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，線性化過程中被忽略的高于一次的微量項對穩(wěn)定性結(jié)論沒有影響。（2） 若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根中，即使有一根為正實數(shù)或具有正的實部，則實際系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，線性化過程中被忽略的高

38、于一次的微量項不會使系統(tǒng)變成穩(wěn)定。（3） 若線性化系統(tǒng)特征方程式的所有根中，有至少一個為零或?qū)嵅繛榱?，而其余均為負實?shù)或具有負的實部，則實際系統(tǒng)的穩(wěn)定性不能按線性化模型來判斷，實際系統(tǒng)的穩(wěn)定性與線性化過程中被忽略的高于一次的微量項有關(guān)。第五章 線性定常系統(tǒng)的綜合5-1 狀態(tài)反饋與極點配置狀態(tài)反饋是指從狀態(tài)變量到控制端的反饋 如圖設(shè)原系統(tǒng)動態(tài)方程為：引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的動態(tài)方程為：定理：用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點的充要條件是：系統(tǒng)完全能控。證明：充分性，以單輸入系統(tǒng)為例，因系統(tǒng)能控不妨設(shè)：即系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形。設(shè)反饋向量引入狀態(tài)反饋后而b、C陣不變，即系統(tǒng)的動態(tài)方程仍為能控標(biāo)準(zhǔn)形，由能控標(biāo)準(zhǔn)

39、形與傳遞矩陣的關(guān)系知：控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點由特征式確定，通過選擇K陣，可任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點。必要性：反證法，如果系統(tǒng)不能控，說明有些變量不受u的控制，引入反饋后，通過u來影響它們是不可能的。從以上證明過程中可得出結(jié)論：l 對于單輸入、單輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋不影響傳遞矩陣的零點。l 狀態(tài)反饋保持系統(tǒng)的能控性，而不保持系統(tǒng)的能觀測性。例：有一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：要求用狀態(tài)反饋的方法，使閉環(huán)極點為-2，-1±j。解：系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)為：設(shè)K=k0，k1，k2，則：根據(jù)希望閉環(huán)極點的位置，特征多項式為：可得：K=4，4，1引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖：5-2 輸出反饋與極點配置輸出反饋指

40、從輸出端到狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)的反饋，如圖設(shè)原系統(tǒng)動態(tài)方程為：引入輸出反饋后，系統(tǒng)的動態(tài)方程為：定理：用輸出反饋任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點的充要條件是：系統(tǒng)完全能觀測。 可利用對偶原理來證明例：試選擇反饋矩陣h，使下述系統(tǒng)極點配置在-5，-8。解：系統(tǒng)能觀測，設(shè)：希望的特征多項式： u1 - x1 y u2 x2 - -解得：在工程實踐中，也可以采用從輸出端到控制端的反饋，即：u=v-Hy系統(tǒng)的動態(tài)方程為：5-3鎮(zhèn)定問題對于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)：如果存在狀態(tài)反饋矩陣K，使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是可以用狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的。定理：線性定常系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是系統(tǒng)不能

41、控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。證明 狀態(tài)反饋矩陣計算步驟 p1485-4狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測器一：開環(huán)狀態(tài)觀測器為了實現(xiàn)狀態(tài)反饋，有時需要對狀態(tài)進行估計，開環(huán)估計方法如下：通常x與之間存在差異，這種差異必導(dǎo)致y與之間的差異。二：全維觀測器全維觀測器是指重構(gòu)狀態(tài)向量的維數(shù)與原系統(tǒng)相同。事實上，已知的信息為u（t）和y（t），只有當(dāng)系統(tǒng)完全能觀測時，才能從u（t）和y（t）及其導(dǎo)數(shù)的線性組合中獲得狀態(tài)向量x（t）的估計值此時存在狀態(tài)觀測器。利用觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)為：狀態(tài)觀測器在觀測器的設(shè)計中，為使盡快地接近x（t），可利用y（t）和之間的差作為誤差反饋信息，觀測器結(jié)構(gòu)如下：BCAH 觀測器結(jié)構(gòu)圖寫

42、出觀測器動態(tài)方程為：原系統(tǒng)的狀態(tài)方程：定義狀態(tài)向量的真實值與估計值之間的偏差為誤差狀態(tài)向量，即：則有： 為使盡快趨于零，應(yīng)合理選擇A-HC的特征值。定理：若系統(tǒng)（A、B、C）是能觀測的，其狀態(tài)可用n維狀態(tài)觀測器進行估計矩陣H可以按給定極點的位置來選擇，所定極點的位置，將決定誤差向量趨于零的速率。例：設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為：試設(shè)計一個狀態(tài)觀測器，其中矩陣A-hc的特征值（觀測器極點）為-10，-10。解：設(shè)希望的特征多項式：得：觀測器方程： - - - - - - -原系統(tǒng)及其狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖如下：5-5降維觀測器一個n維的能觀測系統(tǒng)由于y可以直接提供一部分狀態(tài)，故只需要估計其余的狀態(tài)即可。1：建立n

43、-m維子系統(tǒng)動態(tài)方程設(shè)ARn×n，BRn×r，CRm×n，系統(tǒng)（A、B、C）能觀測，令：為一個n×n矩陣，D的選擇應(yīng)使Q可逆，考慮到：令則：系統(tǒng)的動態(tài)方程為：可直接有y提供，只須估計即可。以為狀態(tài)變量的n-m維系統(tǒng)為：2：降維觀測器設(shè)計為建立n-m為觀測器，把以為狀態(tài)變量的n-m維系統(tǒng)方程改寫為：只要原系統(tǒng)（A、B、C）能觀測，則能觀測，而也是能觀測的。故降維觀測器方程為：令：觀測器方程可寫為：這是一個n-m維觀測器，整個狀態(tài)向量的估計值為：而系統(tǒng)原狀態(tài)向量x的估計值為：3：H陣的選擇通過H陣的選擇，使的極點任意配置，極點的位置決定誤差向量衰減到零的速率

44、，而直接有y提供，不存在估值誤差。定理：有m個輸出的任一m維能觀測系統(tǒng)（A、B、C），可通過狀態(tài)變換而寫成如下形式：其狀態(tài)可用n-m維龍伯格觀測器進行估計： y u w（n-m）×m矩陣H可以選得使的極點任意配置，極點的位置決定誤差向量衰減到零的速率。觀測器結(jié)構(gòu)圖如下：例：已知系統(tǒng)：試構(gòu)造一降維觀測器解：系統(tǒng)完全能觀測令：則：設(shè)降維觀測器的特征值為-10，H=h希望的特征多項式為+10，故H=10，降維觀測器為：原系統(tǒng)狀態(tài)向量估計值為：原系統(tǒng)及其降維觀測器如下： u y5-6帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)：（A、B、C） v u y -K狀態(tài)觀測器現(xiàn)提出兩個問題

45、：1，用進行狀態(tài)反饋和用x進行狀態(tài)反饋對系統(tǒng)特性的影響是否一致，或者說系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞矩陣是否一致？2，進行狀態(tài)反饋設(shè)計時的K陣和觀測器設(shè)計時的H陣能否分開設(shè)計？ 顯然利用x進行狀態(tài)反饋時，控制系統(tǒng)的傳遞矩陣為利用進行狀態(tài)反饋時，系統(tǒng)的動態(tài)方程為：整個系統(tǒng)為2n維，矩陣形式動態(tài)方程為： 為了計算傳遞矩陣，作坐標(biāo)變換：變換前：變換后：考慮到當(dāng)R、T可逆時，有故傳遞矩陣為：系統(tǒng)的傳遞矩陣與用x進行狀態(tài)反饋時的傳遞矩陣相同。另外，系統(tǒng)的特征多項式：它由（A-BK）、（A-HC）的特征多項式的乘積組成，可見只要系統(tǒng)（A、B、C）能控、能觀測，則可按極點配置的需要選擇K，按觀測器動態(tài)特性的需要H，兩者可分

46、開進行設(shè)計，這個原理稱為分離定理。例：設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：希望利用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點為-4±j6，并求實現(xiàn)這個反饋的二維及一維觀測器。解：1：建立能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)：系統(tǒng)也是能控的。2：求狀態(tài)反饋陣K，設(shè)K=k1，k2，系統(tǒng)特征方程式：希望的特征方程式K=2，403：求二維觀測器，設(shè)其極點為s1=s2=-10，H=h1，h2T希望的特征方程式H=100，14T觀測器方程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖： v u y - - - -4：求一維觀測器，設(shè)其極點為s1=-10，H=h希望的特征方程式s+10=0 H=10觀測器方程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖： v u y - - - 5-7 解耦控制設(shè)線性定常系統(tǒng):輸入向量u與輸出向量y有相同的維數(shù)m，且x（0）=0，則：可寫成：定義：如果系統(tǒng)（A、B、C）的傳遞矩陣G（s）是對角化的非奇異矩陣，則稱系統(tǒng)（A、B、C）是解耦的，此時