高等教育出版社高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第六版下冊(cè)第九章PPTD9_5隱函數(shù)求導(dǎo)

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九章 第五節(jié)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02CyxC 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù)2) 方程能確定隱函數(shù)時(shí), 研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論本節(jié)討論:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y = f

2、(x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)(,(xfxF兩邊對(duì) x 求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyy

3、yyxFFFFFFF二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還可求隱函數(shù)的 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 驗(yàn)證方程01esinyxyx在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx連續(xù) ;由 定理1 可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,eyFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0, 0yx0dd22xxy)cose(

4、ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy )(eyx) 1sin(yy1, 0, 0yyx01sin),(yxeyyxFx2)cos( xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxyxyycos兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時(shí)1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0 , 0(cosexyyx導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連

5、續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;則方程0),(zyxF在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0),(,(yxfyxF兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)yxFyxfz則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zx

6、xz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對(duì) x 求導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法解法2 利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxFFxz xz例例3. 設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2

7、zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程故目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的

8、行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 , 即雅可比 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu ),(000yxvv

9、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P85)xxGFyyGFxxGFyyGF目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組,0

10、vuvuGGFFJ在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系數(shù)行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同樣可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求yvyu,u

11、xvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由題設(shè)故有目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內(nèi). ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn) (u, v) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0),(),(vuxxvuy

12、xF0),(),(vuyyvuyxG),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 uy0 xvxu1xuxvuxvxvy, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ從方程組解得同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xuxv例例5的應(yīng)用的應(yīng)用: 計(jì)算極坐標(biāo)變換sin,cosryrx的反變換的導(dǎo)數(shù) .),()

13、,(ryxJxrx同樣有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrruv目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè), ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2

14、f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21作業(yè)作業(yè) P87 3 , 6， 7 , *9 , 10(1); (3)，11.zx第六節(jié) 由d y, d z 的系數(shù)即可得目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(xzzxyy及,2e yxyx備用題備用題.ddxu求分別由下列兩式確定 :又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一

15、階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得1ddfxuuzyxx x0)()(eyxyyxyyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(e1zxzxzx,dsine0tttzxx(2001考研)解得因此2fxy3)sin()(e1fzxzxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 設(shè))(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(1999考研)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解法解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得二元線性代數(shù)方程組解的公式2221