不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購決策問題數(shù)學(xué)建模

1、不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購決策問題摘要：供應(yīng)鏈管理作為一種新型企業(yè)關(guān)系管理模式在現(xiàn)代市場競爭中為企業(yè)生產(chǎn)和發(fā)展提供了一種工具，本文就A題給出的在不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)和訂購決策問題進行研究，展開討論、分析和建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)軟件進行求解。對于問題一：只考慮包含一個生產(chǎn)商和一個銷售商的供應(yīng)鏈，在假設(shè)商品的最終需求量是確定的，而生產(chǎn)商生產(chǎn)商品量是不確定的情況下采用線性規(guī)劃的方法建立數(shù)學(xué)模型，分別建立生產(chǎn)商和銷售商獲得利潤的兩個方程式，針對兩個方程中的一些變量進行限制，當(dāng)生產(chǎn)商和銷售商的利潤同時達到最大值時就是該供應(yīng)鏈的最優(yōu)解，最后利用lingo軟件進行編程和求解。對于問題二：在問題一的供

2、應(yīng)鏈的基礎(chǔ)上，增加了一個條件那就是我們商品的市場需求量也是隨機的，并且有一個商品市場需求量的期望值=400，需求量的波動區(qū)間是0.8,1.2,利用正態(tài)分布中的3原則,求解出,再利用正態(tài)分布的密度公式列出一個相關(guān)式求解出求解出銷售商的最優(yōu)訂購量Oi再利用線性規(guī)劃的方法將所求的Oi做為一個已知數(shù)列解一個生產(chǎn)商所獲利潤的方程，并且加入相應(yīng)的限制條件就可求出生產(chǎn)商最優(yōu)計劃產(chǎn)量的最優(yōu)解.對于問題三：考慮在實際生產(chǎn)中，大多數(shù)供應(yīng)鏈具有兩級不確定性，即原產(chǎn)品生產(chǎn)的不確定性和產(chǎn)成品生產(chǎn)的不確定性；總體再利用線性規(guī)劃的相關(guān)性列出兩個線性方程，以及對其加入相應(yīng)的限制條件，求解出供應(yīng)鏈中二級生產(chǎn)商的最優(yōu)訂購量和一級

3、生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。 關(guān)鍵詞：供應(yīng)鏈 線性規(guī)劃 正態(tài)分布 最優(yōu)訂購量 最優(yōu)計劃產(chǎn)量1 問題的重述背景隨著現(xiàn)在經(jīng)濟的快速發(fā)展,在企業(yè)發(fā)展和經(jīng)濟管理領(lǐng)域中，不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的研究是使我們企業(yè)和銷售商能更好的協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈上物料物、信息流、價值流、保持靈活和穩(wěn)定的需求關(guān)系，使整個供應(yīng)鏈上生產(chǎn)商和銷售商的效益達到最大，是一個關(guān)系到國計民生的重要問題。供應(yīng)鏈?zhǔn)且环N新的企業(yè)組織形態(tài)和運營方式,包括從客戶需求信息開始經(jīng)過原材料供應(yīng)、生產(chǎn)批發(fā)銷售等環(huán)節(jié),到最后把產(chǎn)品送到最終用戶的各項制造和商業(yè)活動。供應(yīng)鏈運作過程中需要應(yīng)對生產(chǎn)和需求的不確定性。在不確定環(huán)境下，研究供應(yīng)鏈成員的生產(chǎn)與訂購決策問題，具有重要的理論

4、和現(xiàn)實意義。1.2 問題對于第一問和第二問，只考慮包含一個生產(chǎn)商和一個銷售商的供應(yīng)鏈，即銷售商向生產(chǎn)商訂購商品，生產(chǎn)商將商品按批發(fā)價格批發(fā)給銷售商，銷售商將商品按銷售價格銷售給最終顧客。其中相關(guān)已知條件有如下表所示： 生產(chǎn)成本/個庫存成本/個缺貨賠償金/個 出售價格/個生產(chǎn)商 20 5 15 40銷售商 5 25 60（1）若假設(shè)商品的最終需求量是確定的，即商品市場需求量為400。而生產(chǎn)商生產(chǎn)商品量是不確定的，即由于受到各種隨機因素的影響，商品實際產(chǎn)量可能不等于計劃產(chǎn)量，呈隨機波動，若生產(chǎn)商計劃生產(chǎn)量為Q，則商品生產(chǎn)量的波動區(qū)間為0.85,1.15 ，即產(chǎn)品實際產(chǎn)量的區(qū)間為0.85Q,1.15

5、Q.。建立數(shù)學(xué)模型，確定銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，求解供應(yīng)鏈中銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。（2）在問題（1）的供應(yīng)鏈中，如果商品的市場需求量也是隨機的，商品市場需求量的期望為400，市場需求量的波動區(qū)間為0.8,1.2，即實際市場需求量的區(qū)間為320,480。請建立數(shù)學(xué)模型，確定銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，求解供應(yīng)鏈中銷售商的最優(yōu)訂購量和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。對于第三問，考慮在實際上，大多數(shù)供應(yīng)鏈具有兩級生產(chǎn)不確定性，即原產(chǎn)品生產(chǎn)的不確定性和產(chǎn)成品生產(chǎn)的不確定性，一級生產(chǎn)商生產(chǎn)原產(chǎn)品（或原材料），二級生產(chǎn)商向一

6、級生產(chǎn)商訂購原產(chǎn)品（或原材料），并通過加工原產(chǎn)品（或原材料）生產(chǎn)產(chǎn)成品，進而銷售給最終顧客，兩級生產(chǎn)均具有不確定性。相關(guān)的已知條件如下表所示： 生產(chǎn)成本/個庫存成本/個缺貨賠償/個 加工成本/個售價/個一級生產(chǎn)商20515 40二級生產(chǎn)商73010 95（3）若假設(shè)產(chǎn)成品的市場需求量是確定的，即產(chǎn)成品市場需求量為280。原產(chǎn)品生產(chǎn)量的波動區(qū)間為0.85,1.15，產(chǎn)成品生產(chǎn)量的波動區(qū)間為0.9,1.1。請建立數(shù)學(xué)模型，研究在兩級生產(chǎn)不確定的供應(yīng)鏈中，二級生產(chǎn)商（產(chǎn)成品生產(chǎn)商）的最優(yōu)訂購量和一級生產(chǎn)商（原材料或原產(chǎn)品生產(chǎn)商）的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，求解供應(yīng)鏈中二級生產(chǎn)商的最優(yōu)訂購量和

7、一級生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量。2符號說明 銷售商的利潤 生產(chǎn)商的利潤 一級生產(chǎn)商利潤 二級生產(chǎn)商利潤 銷售商訂購量 二級生產(chǎn)商的訂購量 商品生產(chǎn)量的波動區(qū)間和原產(chǎn)品生產(chǎn)量的波動區(qū)間系數(shù)產(chǎn)成品生產(chǎn)量的波動區(qū)間系數(shù)實際市場需求量波動系數(shù) 生產(chǎn)商和一級生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃生產(chǎn)量 商品市場需求量的期望值3模型假設(shè)生產(chǎn)商的計劃生產(chǎn)量始終大于訂購量；市場的最終需求是確定的；商品生產(chǎn)量波動是連續(xù)的；市場需求量波動是連續(xù)的且服從正態(tài)分布；原材料生產(chǎn)量的波動是連續(xù)的。4、問題分析這是一個優(yōu)化問題，要決策的是生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃量和銷售商的最優(yōu)訂購量，即所謂的優(yōu)化組合，要達到的目標(biāo)有二，。一般來說這兩個目標(biāo)是矛盾的，銷售商訂

8、購的越多（在生產(chǎn)商的能力范圍之內(nèi)），生產(chǎn)商的凈收益越大，但銷售商的市場需求量是有約束的，銷售商賣不出去，就要儲存需要庫存成本，那銷售商的凈收益就會很小所以需要更多的約束條件使這兩個目標(biāo)同時達到最優(yōu)的即所謂的最優(yōu)決策，我們追求的只能是，在確定的訂購量下生產(chǎn)商的凈收益最大的決策，和在確定的生產(chǎn)量下銷售商凈收益最大的決策，使生產(chǎn)商的計劃生產(chǎn)量和銷售商的訂購量按一定比例組合最優(yōu)的決策。這就是說在不同的約束條件下，只要建模合理，答案可以是多種。建立優(yōu)化問題的模型最主要的是用數(shù)學(xué)符號和式子表述決策變量、構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和確定約束條件。對于本題決策變量是明確的，即最優(yōu)計劃量、銷售商的最優(yōu)訂購量商品、生產(chǎn)量的波動

9、值和市場實際需求量的波動值（題中第一問的該值為一），目標(biāo)函數(shù)之一是銷售商的總收益最大，目標(biāo)函數(shù)之二是生產(chǎn)商的總收益最大。而生產(chǎn)商的總收益用他的實際生產(chǎn)量和銷售商的訂購量衡量，銷售商的總收益用他的訂購量和市場的實際需求量衡量。5、模型建立 問題一、二供應(yīng)鏈的相關(guān)關(guān)系圖如下所示： 批發(fā) 生產(chǎn) 銷售 問題一模型的建立對于問題1模型的建立，討論如何調(diào)整銷售商的訂購量和生產(chǎn)商計劃生產(chǎn)量使生產(chǎn)商和訂購商的利潤最大。根據(jù)前面的模型假設(shè)，從生產(chǎn)商的角度考慮，由于單位商批發(fā)缺貨成本太大，所以不予考慮缺貨狀態(tài)下銷售商利潤和生產(chǎn)商的利潤。計劃生產(chǎn)量是假想情況下在規(guī)定的時間所能生產(chǎn)的產(chǎn)品量，但總有突發(fā)事件發(fā)生導(dǎo)致生產(chǎn)

10、商的計劃生產(chǎn)量與實際生產(chǎn)量有出入，生產(chǎn)商為了保證自己的利潤最大即花費不至過大，一定不能缺貨，因為缺貨一個所損失的賠償金抵上多生產(chǎn)三個產(chǎn)品在儲存上的花費。而不能缺貨，生產(chǎn)商的計劃產(chǎn)量就要始終大于訂購商的訂購量。而從銷售商的角度考慮，訂購量與上述生產(chǎn)商一致，不能缺貨，因為缺貨一個所損失的賠償金抵上多訂購五個產(chǎn)品在儲存上的花費，而在成本方面，現(xiàn)在賣不出去以后搞促銷一樣可以賣出去。具體分析如下：當(dāng) Q >400,既訂購量大于市場需求量，所以銷售商和訂購商的利潤分別為： max=60*400-40*-5*(-400); (1) max=40*-20*Q-5*(-*Q)(2) 當(dāng)Q <400,

11、即訂購量小于市場需求量，所以銷售商和訂購商的利潤分別為： max=60*400-40* -25*(400-) (3) max=40* -20*Q-15*(*Q-) (4) 針對上述描述分析中的各種范圍討論，我們采用的是線性規(guī)劃的方法，先利用供應(yīng)鏈中各種數(shù)據(jù)存在的關(guān)系,列出生產(chǎn)商和銷售商利潤求值關(guān)系式，如下所示： (5) (6)當(dāng)供應(yīng)鏈中生產(chǎn)商的利潤Pj 與銷售商的利潤Pi在應(yīng)鏈的限制條件中同時達到最大值時，我們就可以利用數(shù)學(xué)軟件編程求解出我們的銷售商的最優(yōu)訂購量Oi 和生產(chǎn)商的最優(yōu)計劃產(chǎn)量Q . 問題二模型的建立對于問題2模型的建立，在問題一的基礎(chǔ)上，商品市場需求量變?yōu)殡S機的，討論如何調(diào)整銷售

12、商的訂購量和生產(chǎn)商計劃生產(chǎn)量使生產(chǎn)商和訂購商的利潤最大。我們首先知道了商品市場需求量的期望值為400, 根據(jù)條件已知期望，屬于概率與數(shù)理統(tǒng)計范圍，又根據(jù)前面模型假設(shè)知道了銷售商的實際訂購量符合正態(tài)分布根據(jù)正態(tài)分布中3原則即：設(shè),則從上式中可以看出：盡管正態(tài)變量的取值范圍是（），但它的99.73%的值落在（）內(nèi)。根據(jù)上述原則可求出=0.2/3=1/15;然后根據(jù)正態(tài)分布的密度公式有下列方程式： (9)利用此公式求解出銷售商的最優(yōu)訂購量，運用線性規(guī)劃，將幾個自變量限定區(qū)域，再將的值帶入生產(chǎn)商的利潤公式 (10)運用LINGO編程，求出得到最大利潤時的生產(chǎn)商最優(yōu)計劃量Q。5.4 問題三供應(yīng)鏈的相關(guān)關(guān)

13、系圖如下所示： 供貨 生產(chǎn) 生產(chǎn)問題三模型的建立對于問題3模型的建立,在實 (7)解出 代入(8)6、模型求解和分析6.1 根據(jù)我們我們建立的模型，用軟件求解。（程序代碼見附錄）6.2 模型結(jié)果分析 對于問題一：由軟件求解結(jié)果知，Linearization components added:Constraints: 13Variables: 8Integers: 5Local optimal solution found.Objective value: 7016000.Objective bound: 7016000.Infeasibilities: 0.1455192E-10Extende

14、d solver steps: 0Total solver iterations: 14Variable Value Reduced CostQ2 400.0 0.000000Q1 400.0000 0.000000X1 1.150000 0.000000Q 417.8261 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7016000. 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.3000000 0.0000004 0.000000 0.000000從結(jié)果得出，最優(yōu)計劃生產(chǎn)量是418件，實際生產(chǎn)量為400，銷售商的訂購量為400時，整條供

15、應(yīng)鏈的效益能到達最優(yōu)。 對于問題二,在中求解得到結(jié)果是：Linearization components added:Constraints: 20Variables: 12Integers: 8Local optimal solution found.Objective value: 7321000.Objective bound: 7321000.Infeasibilities: 0.2296809E-07Extended solver steps: 0Total solver iterations: 16Variable Value Reduced CostQ2 405.00000 0.

16、000000Q1 409.00000 0.000000 X1 1.2250000 0.000000 X2 1.015000 0.000000 Q 400.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7321000. 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.3000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.2000000 0.0000006 -0.2296809E-07 0.000000從結(jié)果中得到：生產(chǎn)商的計劃生產(chǎn)量為400，實際生產(chǎn)量為405，銷售商的訂購量為405,在此時供應(yīng)鏈的效益達到最優(yōu).

17、 對于問題三，在軟件中進行編程并求解得到結(jié)果：Linearization components added:Constraints: 15Variables: 9Integers: 6Local optimal solution found.Objective value: 3023040.Objective bound: 3023040.Infeasibilities: 0.2349901E-05Extended solver steps: 1Total solver iterations: 22Variable ValueQ2 439.0000Q1 439.0000X2 1.0091954

18、Q3 480.0000 X1 1.0666667 Q 450.00000Row Slack or Surplus1 3023040.2 0.0000003 0.30000004 0.0000005 0.40000006 0.0000007 160.00008 0.000000從結(jié)果可知：生產(chǎn)商的計劃生產(chǎn)量為450實際生產(chǎn)量為439銷售商的訂購量為439時，整條供應(yīng)鏈上的效益最大。7、模型評價 供應(yīng)鏈?zhǔn)沁m應(yīng)市場全球化的客戶需求多樣化而產(chǎn)生的，它強調(diào)供應(yīng)鏈上各企業(yè)及其活動的整體集成，從而更好的協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈上各企業(yè)的需求，使更好的實施供應(yīng)鏈管理技術(shù)，讓我們的企業(yè)在競爭激烈的經(jīng)濟環(huán)境下存活下來并得到更好

19、的發(fā)展。在企業(yè)生產(chǎn)中和經(jīng)濟管理等領(lǐng)域中，人們常會遇到這樣的問題，例如：如何從一切可能的方案中選擇最好的、最優(yōu)的方案。在我們數(shù)學(xué)上把這類問題稱為最優(yōu)化問題，如何解決這類問題，在當(dāng)今商品經(jīng)濟的環(huán)境下，是關(guān)系到國計民生的問題。在解決上述不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈的生產(chǎn)與訂購決策問題上，我們采用的是線性規(guī)劃和概率論中的正態(tài)分布的方法。線性規(guī)劃的理論和方法都比較成熟，并且是一個有廣泛應(yīng)用價值的統(tǒng)籌學(xué)分支，如果一個問題的限制條件可以寫出某些決策變量的線性方程組或線性不等式組，那我們就可以應(yīng)用lingo軟件將該線性規(guī)劃方程解出來得到最優(yōu)解。而對于正態(tài)分布，一個變量如果是大量微小的、獨立的隨機因素的疊加結(jié)果，此時很多隨機變量可以用正態(tài)分布描述或近似描述。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識中的線性規(guī)劃和正態(tài)分布對于解決該不確定環(huán)境下供應(yīng)鏈既簡單又準(zhǔn)確，在最優(yōu)解的求解過程中是個很好的選擇。但還是存在如下優(yōu)缺點：優(yōu)點：本文把求解生產(chǎn)商和銷售商利潤的多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)問題，使得問題簡化。、模型推廣 以上建立的模型，是在兩級生產(chǎn)不確定的供應(yīng)鏈中，并且產(chǎn)成品的市場需求量是一確定值，根據(jù)上述建立模型的方法再加以改進，綜合正態(tài)分布和線性規(guī)劃另建模型求在產(chǎn)成品的市場需求