第三章剛體力學(《普通物理學》精編版)

1、整理ppt在外力作用下整體及其各部分的大小和形狀均保持不變的物體稱剛體剛體（rigid body）。 第一節(jié)第一節(jié) 剛體定軸轉動的轉動定律剛體定軸轉動的轉動定律一、剛體運動的描述1. 剛體 2. 剛體的運動 當剛體運動時，如果剛體內任何一條給定的直線在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫做。 剛體的最簡單的運動形式是平動和轉動。剛體運動時，如果剛體的各個質點在運動中都繞同一轉軸作圓周運動，這種運動叫做轉動轉動。如果轉軸是固定不動的，就叫做定軸轉動定軸轉動。第三章第三章 剛體力學剛體力學整理ppt3. 剛體的定軸轉動圖3-2 剛體的定軸轉動圖3-3 轉動平面x v1r1O1O2 v2x xPO

2、N剛體轉動的角速度 t dd線速度與角速度之間的關系 r 定軸轉動的剛體角加速度 22ddddtt切向加速度法向加速度 ra t2nra 整理ppt00tt00dtt00dt020021tt02022 設在t時刻剛體的角加速度為t=0時，得 若剛體繞定軸轉動是勻變速的，即=常量，則有 整理ppt【例題例題3-1】設發(fā)動機飛輪的轉速在設發(fā)動機飛輪的轉速在12 s內由內由1200 rmin-1均勻均勻地增加到地增加到3000 rmin-1，已知飛輪的半徑為，已知飛輪的半徑為0.5 m。試求：。試求：(1)飛輪的角加速度；飛輪的角加速度；(2)在這段時間內發(fā)動機飛輪轉過的圈數；在這段時間內發(fā)動機飛輪

3、轉過的圈數；（3）當飛輪轉速為）當飛輪轉速為2400 rmin-1時，飛輪邊緣上一點的線速時，飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度的大小。度、切向加速度和法向加速度的大小。260n112 120040(rad s )601223000100(rad s )60解：解：(1)根據公式，轉速n1=1200 rmin-1和n2=3000 rmin-1相應的角速度分別為所以在12 s內飛輪的角加速度為 22110040 515.7(rad s )12t整理ppt(2)在12s內飛輪的角位移為 2211140 125 12840(rad)22tt所以飛輪在這一段時間內轉過的圈數為 840420

4、(r)22N（3）當飛輪轉速為2400 rmin-1時，角速度 12240080(rad s )60飛輪邊緣上一點的線速度為 切向加速度和法向加速度的大小分別為2t=0.55=7.85(m s )ar2242n=0.580=3.16 10 (m s )ar（）-1=0.5 80=125.6 m sr（）整理ppt二、剛體定軸轉動的轉動定律1. 力矩圖3-6 力矩示意圖(b) 外力不在垂直于轉軸的平面內(a) 外力在垂直于轉軸的平面內PzFrM在SI制中，力矩的單位為Nm。 力矩大小 FdM sinFrM 力矩的方向力矩的方向可由右手螺旋法則來確定。 整理ppt2轉動定律ddJJtM =剛體繞定

5、軸轉動時，其角加速度與它受到的合外剛體繞定軸轉動時，其角加速度與它受到的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。這個結論稱為剛體定軸轉動的轉動定律剛體定軸轉動的轉動定律。 J 表示轉動慣量轉動慣量 2. 力矩是使剛體轉動狀態(tài)發(fā)生改變而產生角加速度的原因。力矩是使剛體轉動狀態(tài)發(fā)生改變而產生角加速度的原因。說明：說明：amF1. 與與 地位相當，地位相當，m反映質點的平動慣反映質點的平動慣性，性，J反映剛體的轉動慣性。反映剛體的轉動慣性。MJ 3. 力矩是矢量，方向沿轉軸，對定軸轉動只有兩個方向，力矩是矢量，方向沿轉軸，對定軸轉動只有兩個方向，所所 以用以用正負

6、號表示方向正負號表示方向。整理ppt2iiiJmr3. 轉動慣量2dJrm關于質量連續(xù)分布的物體可分為：線分布、面分布、體分布。 22ddllJrmrl22ddSSJrmrSVrmrJVVdd22物理意義：轉動慣量是對剛體轉動慣性大小的量度，其大物理意義：轉動慣量是對剛體轉動慣性大小的量度，其大小反映了改變剛體轉動狀態(tài)的難易程度。小反映了改變剛體轉動狀態(tài)的難易程度。轉動慣量有關的因素轉動慣量有關的因素剛體的質量及其分布剛體的質量及其分布轉軸的位置轉軸的位置注意：只有幾何形狀規(guī)則、質量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計算注意：只有幾何形狀規(guī)則、質量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計算其轉動慣量其轉動

7、慣量,一般剛體則用實驗求其轉動慣量。一般剛體則用實驗求其轉動慣量。整理ppt【例題例題3-2】一個長為l、質量為m的均質細桿，如圖3-9所示。試求：（1）該桿繞通過中心并與桿垂直的軸的轉動慣量；（2）桿繞一端并與桿垂直的軸的轉動慣量。22ddllJrmrl圖3-9 例題3-2圖zzC解解：（1）以桿的質量中心（質心）C為坐標原點O，沿桿長方向取坐標Ox。桿的質量為線分布，按公式求轉動慣量。為此在坐標為x處取線元dx，該線元的質量為xlmmdd由于質量元dm到z軸的垂直距離為x，所以，桿繞通過質心的軸的轉動慣量為22222121ddmlxlmxmrJlllC（2）求通過桿的一端、并與z軸平行的z

8、軸的轉動慣量，只要把坐標原點放在O，其余步驟如上，這時積分的上下限有所不同，應為22201dd3llmJrmxxmll 整理ppt4. 平行軸定理圖3-10 平行軸定理zOzC2CJJmd其中，m為剛體的質量，CJ為剛體通過其質心C的軸的轉動慣量，d為兩軸之間的距離。 三、轉動定律的應用 整理ppt【例題例題3-3】 一不可伸縮的輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質量為m1和m2的物體1和2， m1m2，如圖3-11所示。設滑輪的質量為m，半徑為r，滑輪軸處的摩擦可忽略不計，繩與滑輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。 T2T1aam1m2圖3-11 阿特伍德機m1m2o

9、rNmg（a）（b）解：解：如圖所示3-11所示，設物體1這邊繩的張力為 1111=TTTT、（）物體2這邊繩的張力為 2222=TTTT、（）因m1m2，物體1向上運動，物體2向下運動，滑輪以順時針方向旋轉。因繩不可伸縮，故物體1和2加速度相等，按牛頓運動定律和轉動定律可列出下列方程 111Tm gm a222m gTm a21T rT rJ 整理ppt式中是滑輪的角加速度，a是物體的加速度。滑輪邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等，即taar滑輪的轉動慣量22Jmr，由以上各式即可解得2112()2mm gammm12111124()22m mm mTm gagmmm1222212422m

10、 mm mTmgagmmm2121mmagmm1212122m mTTgmm當不計滑輪質量，即令m=0時，可解得，。該題中的裝置叫阿特伍德機阿特伍德機（Atwood machine），是一種可用來測量重力加速度g的簡單裝置?？赏ㄟ^實驗測出物體的加速度a，再通過以上推導的結果把重力加速度把g算出來。整理ppt【例題例題3-4】一個飛輪的質量m=60 kg，半徑R=0.25 m，正在以0=1000 rmin-1的轉速轉動?，F在要制動飛輪，要求在t=5.0 s內使它均勻減速而最后停下來。閘瓦與飛輪之間的滑動摩擦系數為=0.8 ，而飛輪的質量可以看作全部均勻分布在輪的外周上。求閘瓦對飛輪的壓力N。 圖

11、3-12 例題3-4圖解解: : 飛輪在制動時的角加速度為 0t以0=1000 rmin-1104.7 rad s-1， 0=0 ，t=5 s代入可得-20104.720.9(rad s )5 負值表示與0的方向相反，和減速轉動相對應。閘瓦作用于飛輪的摩擦力矩為 Mf RNR 根據剛體定軸轉動定律得 NRJ將2mRJ 代入得 600.2520.93920.8mRN （N ）整理ppt【例題例題3-5】 圖3-13所示為測量剛體轉動慣量的裝置。待測的物體裝在轉動架上，細線的一端繞在半徑為R的輪軸上，另一端通過定滑輪懸掛質量為m的物體，細線與轉軸垂直。從實驗測得m自靜止下落高度h的時間為t。忽略各

12、軸承的摩擦、滑輪和細線的質量，細線不可伸長，并預先測定空轉動架對轉軸的轉動慣量為J0。求待測剛體對轉軸的轉動慣量。 J0J圖3-13 例題3-5圖解：解：隔離物體m，設線中的張力為T，物體m的加速度為a，由牛頓第二定律可得 mgTma以待測剛體和轉動架為整體，設待測剛體的轉動慣量為J，由繞定軸轉動的轉動定律可得0TRJJ由細線不可伸長以及m自靜止下落，有 212hataR 上述各式聯(lián)立求解得 220(1)2gtJmRJh從已知數據J0 、R、h、t即可算出待測的轉動慣量J來。 整理ppt第二節(jié)第二節(jié) 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理一、力矩的功 轉動動能1力矩的功ddWM21dWM

13、圖3-14 力矩的功z力對定軸轉動的剛體所做的功等于力矩與剛體角位移乘積的積分 力F在這段位移中所做的元功 比較比較：2121ddrrWFrWM 力的功力矩的功力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。整理pptAC圖3-15 例題 3-6圖AGO【例題例題3-6】 一根質量為m、長為l的均勻細棒OA，可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內轉動，如圖3-15所示。今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時重力所做的功。解：解：在棒的下擺過程中，對轉軸O而言，軸對棒作用的支承力N通過O點，所以支承力N的力矩等于零；軸和棒之間沒有摩擦力；重力G的力矩則是變力矩，大小為 cos2lMmg當棒轉過

14、一個極小的角位移d時，重力矩所做的元功是 ddcos d2lWMmg 在棒從水平位置下擺到豎直位置的過程中，重力矩所做的總功為 201cos d22lWmgmgl 從而可說明重力矩做的功也就是重力做的功。整理ppt2.轉動動能轉動動能 miri 設轉動角速度為設轉動角速度為 ，第第i個質元個質元mi 的速度為的速度為: :iir設系統(tǒng)包括有設系統(tǒng)包括有 N 個質量元個質量元12,.,.,iNm mmmNirrrr.,.,21Ni,.,.,vvvv21其動能為其動能為2k12iiiEmv2212i imr各質量元速度不同，各質量元速度不同，但角速度相同但角速度相同整理ppt整個剛體的動能為整個剛

15、體的動能為: :22222kk111111()222NNNii ii iiiiEEmrmrJk212EJ剛體轉動動能剛體轉動動能比較：比較：平動動能平動動能2k12Em 轉動動能轉動動能2k12EJ 結論結論繞定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉動慣繞定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉動慣量與其角速度平方乘積的一半量與其角速度平方乘積的一半整理ppt【例題例題3-7】 一質量為m，半徑為R的勻質圓柱體，從傾角為的斜面上距地面h高處無滑動地滾下來，如圖3-16所示。試求圓柱體滾到地面時的角速度。 解：解：設圓柱體質心的速率為vc ，它繞圓柱體質心的角速度為 。由于圓柱體在下滾過程中，只作滾動沒

16、有滑動，故摩擦力不做功，所以圓柱體和地球系統(tǒng)的機械能守恒，應有221122CmghmJ由于是純滾動，有CR均勻分布的圓柱體對質心軸的轉動慣量為212JmR解得 23ghRhmR圖3-16 例題3-7圖整理ppt 二、剛體定軸轉動的動能定理 2211222111dd22WMJJJ 合外力矩對繞定軸轉動的剛體所做的功等于剛體轉動動合外力矩對繞定軸轉動的剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量。能的增量。這個結論稱為剛體定軸轉動的動能定理。剛體定軸轉動的動能定理。 ddMJ ddddddddMJJJJtt整理ppt【例題例題3-8】一個長為l、質量為m的均質細桿豎直放置，其下端用摩擦可忽略的鉸鏈O相接，如

17、圖3-17所示。由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉動。求細桿轉到與豎直線呈角時的角速度。解：解：如圖3-17所示，取桿為研究對象，桿的質心為C。作用于桿的力有鉸鏈處的支承力(不做功)和重力。設細桿由豎直放置轉到與豎直線呈角時的角速度為 ，此時桿具有的轉動動能為 2k12EJ已知細桿繞軸O的轉動慣量213Jml細桿由豎直放置轉到與豎直線呈角時重力矩所做的功為(1-cos )2lWmg根據剛體定軸轉動的動能定理得221(1-cos )-026lmgml解得 03(1-cos )gl圖3-17 例題3-8圖mgC2l整理ppt第三節(jié)第三

18、節(jié) 剛體定軸轉動的角動量守恒定剛體定軸轉動的角動量守恒定律律（1）質點的角動量一、剛體定軸轉動的角動量定理1.角動量有時也把質點的角動量叫做動量矩動量矩 Lrp做勻速圓周運動的質點m對其圓心的角動量的大小為Lrm （2）剛體定軸轉動的角動量 JL整理ppt2.角動量定理角動量定理tJJMdd 由轉動定律由轉動定律:)(ddd JJtM00t00t ddLLM tLLLJJ 沖量矩沖量矩 表示合外力矩在表示合外力矩在t0 t 時間內的累積時間內的累積作用。作用。單位：單位：牛頓牛頓米米秒秒tt0d tM角動量定理角動量定理: :作用在剛體上的沖量矩等于其角動量的改變量。作用在剛體上的沖量矩等于其

19、角動量的改變量。0tt0d JJtM定軸定軸0tt0d JJtM整理ppt【例題例題3-9】 水平桌面上有一長l=1.0m 、質量m=3.0kg的均質細桿，細桿可繞一端O點且垂直桌面的固定光滑軸轉動。已知桿與桌面間的滑動摩擦系數=0.20 ，細桿繞一端轉動的初角速度0= 49 rad s-1 。求棒從開始運動到停下來所需時間。解解：在棒上取距O點為r，長為dr的質量元dm ，則 ddmmrl棒運動時對O點的摩擦阻力矩為01(d )d2lmMm grgr rmgll 設棒開始運動到停止所用時間為t，由角動量定理可寫出00d0tM tJ式中細桿繞軸O的轉動慣量213Jml201123mgltml

20、022490 35 s33 0 29 8l.tg.即 解得 整理pptLJ常量 二、剛體定軸轉動的角動量守恒定律如果剛體所受的合外力矩為零，或不受外力矩的作用，如果剛體所受的合外力矩為零，或不受外力矩的作用，剛體的角動量將保持不變剛體的角動量將保持不變，這個結論稱對固定轉軸的角固定轉軸的角動量守恒定律動量守恒定律。 當合外力矩M=0時 說明：說明： 若系統(tǒng)由幾部分構成，總角動量守恒是指各部分相對同一轉軸若系統(tǒng)由幾部分構成，總角動量守恒是指各部分相對同一轉軸的角動量；的角動量；2. 2. 對微觀粒子和高速運動也適用，是物理學中的基本定律之一。對微觀粒子和高速運動也適用，是物理學中的基本定律之一。整理ppt【例題例題3-10】一根長l，質量為M的均勻直棒，其一端掛在一個水平光滑軸上而靜止在豎直位置。今有一顆子彈，質量為m，以水平速度v0射入棒的下端而不復出。求棒和子彈開始一起運動時的角速度。 解：解：如圖所示，由于從子彈進入棒到二者開始一起運動所經過的時間極短，在這一過程中