第三章流體力學(xué)--流體力學(xué)基本方程

1、第三章第三章 流體力學(xué)基本方程流體力學(xué)基本方程本章研究：本章研究： 流體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律及其在工程流體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本力學(xué)規(guī)律及其在工程中的初步應(yīng)用。中的初步應(yīng)用。 為什么河道較窄的地方流速較大？為什么河道較窄的地方流速較大？思考思考1 高樓頂層的水壓為什么較低？高樓頂層的水壓為什么較低？思考思考2自來(lái)水可以爬上幾十米的高樓，洪水為什么自來(lái)水可以爬上幾十米的高樓，洪水為什么不能爬上幾米的岸邊山坡？不能爬上幾米的岸邊山坡？思考思考3水流速度水流速度V2是多少？是多少？思考思考43-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體的運(yùn)動(dòng)的困難描述流體的運(yùn)動(dòng)的困難3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流

2、體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體的運(yùn)動(dòng)的困難描述流體的運(yùn)動(dòng)的困難3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法1.拉格朗日法：拉格朗日法：一一. .拉格朗日法與歐拉法：拉格朗日法與歐拉法：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法1.拉格朗日法：拉格朗日法：設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的軌跡為：設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的軌跡為： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。(a,b,c)為質(zhì)點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)。為質(zhì)點(diǎn)的初始位置坐標(biāo)。研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。一一. .拉格朗日法與歐拉法：拉格朗日法與歐拉法：上式中用粗體字母表示矢量。上式中用

3、粗體字母表示矢量。3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法1.拉格朗日法：拉格朗日法：,xyzuvwttt速度：速度：加速度：加速度：222222,xyzuxvywzaaatttttt研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。研究每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并給出其運(yùn)動(dòng)軌跡。一一. .拉格朗日法與歐拉法：拉格朗日法與歐拉法：uu= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t) 研究流場(chǎng)空間中某個(gè)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)，并給出這些參研究流場(chǎng)空間中某個(gè)點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)，并給出這些參數(shù)的分布。數(shù)的分布。 2. 歐拉法：歐拉法：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法

4、描述流體運(yùn)動(dòng)的方法 2. 歐拉法：歐拉法：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法10()limtot vva上式中用粗體字母表示矢量。上式中用粗體字母表示矢量。 由速度分布求加速度：由速度分布求加速度： 2. 歐拉法：歐拉法：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法uu= u (x, y, z, t)， v = v (x, y, z, t)， w= (x, y, z, t) 由速度分布求加速度：由速度分布求加速度： 某質(zhì)點(diǎn)某質(zhì)點(diǎn)t 時(shí)刻位于（時(shí)刻位于（x, y, z），），速度為：速度為：0( ,

5、 , , )V x y z tt+t 時(shí)刻位于時(shí)刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t), ,速度為：速度為：1(,)V xx yy zz ttV0和和V1的關(guān)系為：的關(guān)系為：10VVVVVVtxyztxyz 3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法(泰勒展開式泰勒展開式) 加速度：加速度：而：而：10txyztxyz VVVVVV注意到：注意到：000lim,lim,limtttxyzuwttt 因此：因此：uvwtxyzVVVVa10()limtot vva用粗體字母表示矢量，則：用粗體字母表示矢量，則：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流

6、體運(yùn)動(dòng)的方法uvwtxyzVVVVa加速度的投影值：加速度的投影值：xuuuuauvwtxyzyvvvvauvwtxyzzwwwwauvwtxyz3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法uvwtxyzVVVVa作業(yè)：作業(yè)：P52-53P52-53，第第1 19 9題、第題、第2 21 1題。題。 1.恒定流（定常流動(dòng)）：恒定流（定常流動(dòng)）： 2.非恒定流（非定常流動(dòng)）：非恒定流（非定常流動(dòng)）：( , , , )( , , , )uu x y z tpp x y z t例如：或00uvwptttt，流場(chǎng)中各點(diǎn)處的所有流動(dòng)參數(shù)均不隨時(shí)間而變化的流動(dòng)。流場(chǎng)中各點(diǎn)處的所有流動(dòng)參數(shù)均不隨時(shí)間而變化的

7、流動(dòng)。 流場(chǎng)中各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的所有流動(dòng)參數(shù)中只要有一個(gè)隨時(shí)間流場(chǎng)中各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的所有流動(dòng)參數(shù)中只要有一個(gè)隨時(shí)間而變化，這樣的流動(dòng)就稱為非恒定流。而變化，這樣的流動(dòng)就稱為非恒定流。3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法二二. .恒定流與非恒定流：恒定流與非恒定流： 跡線：跡線：給定質(zhì)點(diǎn)在一段連續(xù)時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。給定質(zhì)點(diǎn)在一段連續(xù)時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法三三. .跡線和流線：跡線和流線： 流線：流線：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法三三. .跡線和流線：跡線和流線：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法三三. .跡線和流線：跡線和流

8、線：流線和跡線的區(qū)別：流線和跡線的區(qū)別：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法三三. .跡線和流線：跡線和流線：流線微分方程：流線微分方程： 設(shè)流線微段為：設(shè)流線微段為：該點(diǎn)的流體的速度為：該點(diǎn)的流體的速度為：因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篸ddxyzuvwddddsxiy jzkVuiv jwk 故兩矢量的坐標(biāo)分量對(duì)應(yīng)成比例：故兩矢量的坐標(biāo)分量對(duì)應(yīng)成比例：/dVs 3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法1. 流管：流管：2. 流束：流束：3. 元流：元流： 在流場(chǎng)中任一條封閉曲線（不是流在流場(chǎng)中任一條封閉曲線（不是流線）上的每一點(diǎn)作流線，這些流線線）上的每一點(diǎn)作流線，這些流線所圍成的管狀表面稱為流

9、管。所圍成的管狀表面稱為流管。流管內(nèi)的一束運(yùn)動(dòng)流體稱為流束。流管內(nèi)的一束運(yùn)動(dòng)流體稱為流束。 如果流管的橫截面積為如果流管的橫截面積為dA,這種流管稱為微流管這種流管稱為微流管,微流管內(nèi)的流微流管內(nèi)的流束稱為元流。束稱為元流。無(wú)數(shù)元流的總和稱為總流。無(wú)數(shù)元流的總和稱為總流。4. 總流：總流：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法四四. .流管、流束、元流、總流：流管、流束、元流、總流：dnAQVA過(guò)流斷面：過(guò)流斷面：與流線正交的橫斷面。與流線正交的橫斷面。 平均流速平均流速：V = Q / A 對(duì)曲面對(duì)曲面A,（體積）（體積）流量流量 Q：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)過(guò)流斷面的流體體積。單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)過(guò)

10、流斷面的流體體積。 3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法五五. .流量：流量： 1. 均勻流與非均勻流：均勻流與非均勻流： 2. 漸變流與急變流：漸變流與急變流： 在給定時(shí)刻，流場(chǎng)中各流線都是平行直線的流動(dòng)稱為均勻流；在給定時(shí)刻，流場(chǎng)中各流線都是平行直線的流動(dòng)稱為均勻流；否之，則為非均勻流。否之，則為非均勻流。 在非均勻流中，各流線是接近于平行直線的流動(dòng)稱為漸變?cè)诜蔷鶆蛄髦?，各流線是接近于平行直線的流動(dòng)稱為漸變流（或稱緩變流）；否之，則為急變流。流（或稱緩變流）；否之，則為急變流。3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法六六. .均勻流、非均勻流、漸變流、急變流：均勻流、非均勻流、

11、漸變流、急變流：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法 若流體的流動(dòng)參數(shù)是空間三個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流若流體的流動(dòng)參數(shù)是空間三個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為動(dòng)稱為三元流動(dòng)三元流動(dòng)；若流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，；若流動(dòng)參數(shù)是兩個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為這種流動(dòng)稱為二元流動(dòng)二元流動(dòng)；若流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的；若流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，這種流動(dòng)稱為函數(shù)，這種流動(dòng)稱為一元流動(dòng)一元流動(dòng)。3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法七七. .一元流動(dòng)、二元流動(dòng)、三元流動(dòng)：一元流動(dòng)、二元流動(dòng)、三元流動(dòng)：3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法

12、描述流體運(yùn)動(dòng)的方法動(dòng)動(dòng)3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法求：求：t = 0 時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）的流線方程。ddxyxy1lnlnxyC 例例1 1： 已知：已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0解： t = 0時(shí)，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流線微分方程：流線過(guò)點(diǎn)流線過(guò)點(diǎn)A（-1，-1） C =1cyx1x y3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法流線方程為：流線方程為：例例2 2：已知某流場(chǎng)中流速分布為：已知某流場(chǎng)中流速分布為：u = -x， v = 2y, w = 5-z。求通過(guò)點(diǎn)求通過(guò)點(diǎn)(x,y,z) = (2,4,1)的流線方程。的

13、流線方程。解：解： 流線微分方程為：流線微分方程為： dddxyzuvwddd25xyzxyzd1 d(2 )d(5)225xyzxyz 由上述兩式分別積分，并整理得：由上述兩式分別積分，并整理得： 3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法d1 d(2 )22dd(5)5xyxyxzxz05221czcxcyx即流線為曲面即流線為曲面 和平面和平面 的交線。的交線。1cyxxc zc2250將 (x,y,z)=(2,4,1) ,代入可確定 c1 和c2 12142cc，故通點(diǎn)故通點(diǎn)(2,4,1)的流線方程為：的流線方程為： 0524zxyx3-1 描述流體運(yùn)動(dòng)的方法描述流體運(yùn)動(dòng)的方法3-2

14、 連續(xù)性方程連續(xù)性方程1. 系統(tǒng)與控制體：系統(tǒng)與控制體：系統(tǒng)系統(tǒng)：控制體控制體：包含確定不變的物質(zhì)的集合。包含確定不變的物質(zhì)的集合。一個(gè)空間固定體稱為控制體。一個(gè)空間固定體稱為控制體。一一. .積分形式的連續(xù)性方程：積分形式的連續(xù)性方程：系統(tǒng)的流體質(zhì)量為系統(tǒng)的流體質(zhì)量為：( )( )( )dtM tt質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒: 系統(tǒng)的質(zhì)量在任何時(shí)刻都相等。系統(tǒng)的質(zhì)量在任何時(shí)刻都相等。0d()( )lim0dtMM ttM ttt 2. 連續(xù)性方程的推導(dǎo)：連續(xù)性方程的推導(dǎo)：我們選取我們選取 t 時(shí)刻系統(tǒng)的體積時(shí)刻系統(tǒng)的體積 和表面積和表面積 A 為控制體的為控制體的體積和表面積。體積和表面積。3-2 連

15、續(xù)性方程連續(xù)性方程()( )()( )()d( )dtttM ttM tttt ( )( )()d()d( )dttttttt( )( ) ()( )d()d ()( )d() dtntAtttttttttt vAt3-2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程0d()( )lim0dtMM ttM ttt 因此：因此：對(duì)于任一物理量對(duì)于任一物理量（如動(dòng)量）：如動(dòng)量）：dddddnAvAtt 3-2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程ddddddnAMdvAttt 單位體積的某物理量。單位體積的某物理量。即：系統(tǒng)的任一物理量的總變化率等于控制體內(nèi)該物理量的即：系統(tǒng)的任一物理量的總變化率等于控制體內(nèi)該物理量的時(shí)間變化率和該物理

16、量通過(guò)控制體表面的凈流出率之和。時(shí)間變化率和該物理量通過(guò)控制體表面的凈流出率之和。由于質(zhì)量守恒，因此：由于質(zhì)量守恒，因此：dd0nAvAt此方程稱為積分形式的連續(xù)性方程。此方程稱為積分形式的連續(xù)性方程。dddddnAvAtt 3-2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程定常流動(dòng)：定常流動(dòng)：d0nAvA一元流動(dòng)：一元流動(dòng)：1V1A1=2V2A2不可壓縮流體的一元流動(dòng)：不可壓縮流體的一元流動(dòng)：V1A1=V2A2dd0nAvAt3-2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 二元流動(dòng)，取控制體如圖，二元流動(dòng)，取控制體如圖，長(zhǎng)為長(zhǎng)為dx, 寬為寬為dy。設(shè)控制體設(shè)控制體中心點(diǎn)的速度分別為中心點(diǎn)的速度分別為u，v，密度為密度為。第一項(xiàng)為

17、：第一項(xiàng)為：dd dx ytt3-2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程dd0nAvAt二二. .微分形式的連續(xù)性方程：微分形式的連續(xù)性方程：考慮第二項(xiàng)：考慮第二項(xiàng)：左側(cè)面流入質(zhì)量：左側(cè)面流入質(zhì)量： ddd22xuxuyxx右側(cè)面流出質(zhì)量：右側(cè)面流出質(zhì)量：x方向凈流出的質(zhì)量為：方向凈流出的質(zhì)量為：()d dux yxdnAvA3-2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程單位時(shí)間內(nèi)控制體表面的凈流出量。單位時(shí)間內(nèi)控制體表面的凈流出量。dd+d22xuxuyxxdddd+dd2222xuxxuxuyuyxxxx同理同理, ,單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)y方向凈流出的質(zhì)量為：方向凈流出的質(zhì)量為：因此：因此：()()d dd dd d0u

18、vx yx yx ytxy即：即：()()0uvtxy三元流動(dòng)：三元流動(dòng)：()()()0uwtxyz3-2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程()d dvx yx對(duì)于定常流動(dòng)（恒定流）：對(duì)于定常流動(dòng)（恒定流）：()()()0uwxyz當(dāng)當(dāng)= =常數(shù)時(shí)（不可壓縮流體）：常數(shù)時(shí)（不可壓縮流體）：0uwxyz()()()0uwtxyz3-2 連續(xù)性方程連續(xù)性方程作業(yè)：作業(yè)：P106P106，第第6 6題、第題、第8 8題。題。3-3 流體運(yùn)動(dòng)的微分方程流體運(yùn)動(dòng)的微分方程x方向：方向： max = F xd d dxx y z a 從理想流體中取出邊長(zhǎng)從理想流體中取出邊長(zhǎng)分別為分別為dx、dy和和dz的微元的微元平

19、行六面體。設(shè)微元體平行六面體。設(shè)微元體中心點(diǎn)的速度分量為中心點(diǎn)的速度分量為u、v和和w，其壓強(qiáng)為其壓強(qiáng)為p、密度、密度為為。理想流體的動(dòng)壓強(qiáng)與液體的靜壓強(qiáng)的特性一致。理想流體的動(dòng)壓強(qiáng)與液體的靜壓強(qiáng)的特性一致。ddd d dd dd d22xp xp xfx y zpy zpy zxx一一. . 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程： 1xxpafx同理：同理：即：即：理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程又稱為理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程又稱為歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程又稱為不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程又稱為納維納維-斯托克斯方程斯托克斯方程，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為N-S方

20、程。方程。ypfayy1zpfazz13-3 流體運(yùn)動(dòng)的微分方程流體運(yùn)動(dòng)的微分方程二二. .粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（N-SN-S方程）簡(jiǎn)介：方程）簡(jiǎn)介： N-S方程：方程：2222221xxpuuuafxxyz2222221yypvvvafyxyz2222221zzpwwwafzxyz在在N-S方程中，若方程中，若 = 0（理想流體），則理想流體），則N-S方程變?yōu)榉匠套優(yōu)闅W拉運(yùn)動(dòng)微分方程。歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。3-3 流體運(yùn)動(dòng)的微分方程流體運(yùn)動(dòng)的微分方程3-5 伯努利方程伯努利方程一一. .理想流體沿流線理想流體沿流線s s的伯努利方程：的伯努利方程：1sspafssuu

21、auts加速度：加速度：如果如果流動(dòng)恒定流動(dòng)恒定，則：，則：考查理想流體沿流線考查理想流體沿流線s的運(yùn)動(dòng)方程：的運(yùn)動(dòng)方程：1. 方程的推導(dǎo)方程的推導(dǎo)：2dddd2suuauss3-5 伯努利方程伯努利方程如果質(zhì)量力僅為重力：如果質(zhì)量力僅為重力：2const.2pugz如果如果為常數(shù)：為常數(shù)：積分得：積分得：1 ddddppssddcosddszfgggzss 2ddd0d2ddupgzsss1sspafs沿流線積分沿流線積分或：或：2const.2puzHgpZ和：位置水頭位置水頭 (Z)、壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭( p / ) 與流速水頭與流速水頭 (u/2g) 之和稱為總之和稱為總水頭（水頭（H）

22、。22ug：這就是重力作用下，理想不可壓縮流體恒定流沿流線的這就是重力作用下，理想不可壓縮流體恒定流沿流線的伯努利伯努利方程方程。3-5 伯努利方程伯努利方程物理意義和幾何意義見第二章物理意義和幾何意義見第二章物理意義物理意義單位重量的流體所具有的動(dòng)能單位重量的流體所具有的動(dòng)能幾何意義幾何意義流速水頭流速水頭2.方程的物理意義和幾何意義方程的物理意義和幾何意義：恒定元流伯努利方程的物理意義：恒定元流伯努利方程的物理意義：理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作恒定理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作恒定流動(dòng)時(shí)，沿元流各斷面上機(jī)械能守恒。流動(dòng)時(shí)，沿元流各斷面上機(jī)械能守恒。恒定元流伯努利方程的幾何意義：恒定元流伯

23、努利方程的幾何意義：理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作恒定理想、不可壓縮流體在重力場(chǎng)中作恒定流動(dòng)時(shí)，沿元流各斷面上總水頭保持不流動(dòng)時(shí)，沿元流各斷面上總水頭保持不變。變。由于元流的極限狀態(tài)就是流線，故沿流線的伯努利方程由于元流的極限狀態(tài)就是流線，故沿流線的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。就是沿元流的伯努利方程。3-5 伯努利方程伯努利方程二二. .壓強(qiáng)沿流線法向的變化：壓強(qiáng)沿流線法向的變化：1rrpafr2ruar 21uzppggzrrrr dcosdrzzfgggrr 3-5 伯努利方程伯努利方程0rpgzr漸變流和急變流的概念（復(fù)習(xí)）漸變流和急變流的概念（復(fù)習(xí)） ： 如果某處的流線的曲率半徑

24、非常大如果某處的流線的曲率半徑非常大, ,則此處的流動(dòng)稱為漸變流；則此處的流動(dòng)稱為漸變流；否則稱為急變流。否則稱為急變流。const.ppzzgpzC2upgzrr 這時(shí)沿流線的法向有：這時(shí)沿流線的法向有：在漸變流斷面上有：在漸變流斷面上有：3-5 伯努利方程伯努利方程dd0nAvAt()()()0uwxyz0uwxyz2const.2puzHgconst.ppzzg理想流體沿流線理想流體沿流線的法向有：的法向有：理想流體沿流線理想流體沿流線(或元流或元流)的伯努利方程：的伯努利方程：微分形式的連續(xù)性方程：微分形式的連續(xù)性方程：積分形式的連續(xù)性方程：積分形式的連續(xù)性方程：1xxpafxypfa

25、yy1zpfazz1理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程：三三. .理想流體總流的伯努利方程：理想流體總流的伯努利方程： 研究總流在斷面研究總流在斷面1-1和和2-2之間的部之間的部份。取其中某一元流，速度和斷份。取其中某一元流，速度和斷面積分別為面積分別為u1、dA1和和u2、dA2。u1dA1 = u2dA2 或或 dQ1=dQ22211221222pupuzzgg12221122111222dd22AApupuzu AzuAgg3-5 伯努利方程伯努利方程設(shè)兩斷面設(shè)兩斷面1-1和和2-2處在漸變流中處在漸變流中3332ddAAuAVAV AV Q31dAuAAV22d22AuV

26、u AQgg故：故：dAppzu AzQ3-5 伯努利方程伯努利方程由于在漸變流斷面上有：由于在漸變流斷面上有：pzC令：令：式中：式中： 稱為稱為動(dòng)能修正系數(shù)動(dòng)能修正系數(shù)，與斷面速度分布有關(guān)。工程中其值約為，與斷面速度分布有關(guān)。工程中其值約為1.03-1.07，近似取為，近似取為1。 12QQ理想流體恒定總流的伯努利方程中：理想流體恒定總流的伯努利方程中：各項(xiàng)的物理意義和幾何意義分別與元流的伯努利方程中各項(xiàng)的物理意義和幾何意義分別與元流的伯努利方程中的相應(yīng)項(xiàng)的物理意義和幾何意義相同。的相應(yīng)項(xiàng)的物理意義和幾何意義相同。2211 1222112222pVpVzQzQgg2211 12221222

27、pVpVzzgg3-5 伯努利方程伯努利方程四四. .粘性總流的伯努利方程：粘性總流的伯努利方程： 如圖：如圖：1-1斷面在上游，斷面在上游， 2-2斷面在下游。斷面在下游。由于有粘性，機(jī)械能沿流程減少。由于有粘性，機(jī)械能沿流程減少。 實(shí)際流體具有粘性，在流動(dòng)過(guò)程中，摩擦阻力做功會(huì)消耗實(shí)際流體具有粘性，在流動(dòng)過(guò)程中，摩擦阻力做功會(huì)消耗掉一部分機(jī)械能。掉一部分機(jī)械能。設(shè)單位重量流體從總流的設(shè)單位重量流體從總流的1-1斷面運(yùn)移至斷面運(yùn)移至2-2斷面的機(jī)械能損失為斷面的機(jī)械能損失為hw1-2。則：。則：2211 1222121 222wpVpVzzhgg3-5 伯努利方程伯努利方程水力坡度水力坡度J

28、：?jiǎn)挝恢亓苛黧w沿總流單位長(zhǎng)度上的機(jī)械能損失。單位重量流體沿總流單位長(zhǎng)度上的機(jī)械能損失。ddddwhHJss 22112211221 222wpVpVzzhgggg或：或：3-5 伯努利方程伯努利方程3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用1. 連續(xù)流體（液、氣）。連續(xù)流體（液、氣）。2. 流體均勻不可壓縮，流體均勻不可壓縮， =const.。3. 恒定流。恒定流。4. 質(zhì)量力僅為重力。質(zhì)量力僅為重力。5. 所取的兩個(gè)計(jì)算斷面為均勻流斷面或漸變流斷面所取的兩個(gè)計(jì)算斷面為均勻流斷面或漸變流斷面（兩斷面間可以是急變流）。（兩斷面間可以是急變流）。一一. .伯努利方程的應(yīng)用條件：伯努利方程的應(yīng)用條件：

29、單位重量流體從單位重量流體從1-1斷面流至斷面流至0-0斷面：斷面：?jiǎn)挝恢亓苛黧w從單位重量流體從2-2斷面流至斷面流至0-0斷面：斷面：2200011 1101 022wpVpVzzhgg22000222202 022wpVpVzzhgg二二. .有匯流（或分流）的伯努利方程：有匯流（或分流）的伯努利方程：3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用前提：過(guò)流斷面流速均勻前提：過(guò)流斷面流速均勻水泵由進(jìn)水管水泵由進(jìn)水管1，出水管出水管2，以及葉輪，以及葉輪，渦殼等組成。渦殼等組成。水由進(jìn)水管進(jìn)入葉輪中心，流經(jīng)葉片之水由進(jìn)水管進(jìn)入葉輪中心，流經(jīng)葉片之間的通道進(jìn)入渦殼，由于葉輪的高速旋間的通道進(jìn)入渦殼，

30、由于葉輪的高速旋轉(zhuǎn)，水流獲得能量，出口轉(zhuǎn)，水流獲得能量，出口2-2斷面的壓力斷面的壓力增高。增高。p2 p1 。1. 有能量輸入：有能量輸入：22112211221 222mwpVpVzHzhgg三三. .有能量輸入或輸出的伯努利方程：有能量輸入或輸出的伯努利方程：3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用 式中式中Hm為單位重量液體流經(jīng)水泵所獲得的機(jī)械能，也稱為水為單位重量液體流經(jīng)水泵所獲得的機(jī)械能，也稱為水泵的揚(yáng)程。泵的揚(yáng)程。 2. 有能量輸出：有能量輸出：這時(shí)的伯努利方程為：這時(shí)的伯努利方程為：22112211221 222mwpVpVzHzhgg221212122122mwVVzzhgg

31、ppH若，且忽略。有：。22112211221 222mwpVpVzHzhgg3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用 式中式中Hm為單位重量液體傳遞給水輪機(jī)的機(jī)械能，也稱為水輪為單位重量液體傳遞給水輪機(jī)的機(jī)械能，也稱為水輪機(jī)的工作水頭。機(jī)的工作水頭。作業(yè)：作業(yè)：P107P107，第第1212題、第題、第1313題。題。四四. .總流伯努利方程的應(yīng)用舉例：總流伯努利方程的應(yīng)用舉例：1.1.定斷面：定斷面：應(yīng)將計(jì)算斷面取在已知條件較多的均勻流或漸變應(yīng)將計(jì)算斷面取在已知條件較多的均勻流或漸變流斷面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知數(shù)。流斷面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知數(shù)。2.2.過(guò)流斷面

32、上計(jì)算點(diǎn)的取定：過(guò)流斷面上計(jì)算點(diǎn)的取定：原則上計(jì)算點(diǎn)可在均勻流或漸原則上計(jì)算點(diǎn)可在均勻流或漸變流斷面上任取。但為了方便，管流的計(jì)算點(diǎn)應(yīng)取在管軸中變流斷面上任取。但為了方便，管流的計(jì)算點(diǎn)應(yīng)取在管軸中心處；明渠流的計(jì)算點(diǎn)則應(yīng)取在自由表面上。心處；明渠流的計(jì)算點(diǎn)則應(yīng)取在自由表面上。3.3.定基準(zhǔn)面：定基準(zhǔn)面：兩過(guò)流斷面必須選取同一基準(zhǔn)面，常使兩過(guò)流斷面必須選取同一基準(zhǔn)面，常使Z0。4. 方程中的動(dòng)壓強(qiáng)方程中的動(dòng)壓強(qiáng)p1和和p2既可為絕對(duì)壓強(qiáng)，也可為相對(duì)壓強(qiáng)。既可為絕對(duì)壓強(qiáng)，也可為相對(duì)壓強(qiáng)。但但p1和和p2必須同為絕對(duì)壓強(qiáng)或同為相對(duì)壓強(qiáng)。必須同為絕對(duì)壓強(qiáng)或同為相對(duì)壓強(qiáng)。5. 分析和考慮兩過(guò)流斷面間的能

33、量損失分析和考慮兩過(guò)流斷面間的能量損失hw1-2。解題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)解題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用例例1. 求小孔出流的流量：求小孔出流的流量： 如圖，對(duì)斷面如圖，對(duì)斷面0-0和斷面和斷面1-1列伯列伯努利方程，不計(jì)能量損失，有：努利方程，不計(jì)能量損失，有：上式中：上式中：A為小孔的面積，為小孔的面積， A為為1-1斷面的面積。斷面的面積。220001 10122apVpVzzgg10122Vg zzgh12QV AAgh解：解：3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用例例2. 用文丘里流量計(jì)測(cè)定管道中的流量：用文丘里流量計(jì)測(cè)定管道中的流量： 如圖，在如圖，在

34、1-1及及2-2斷面列伯努利斷面列伯努利方程，不計(jì)能量損失有：方程，不計(jì)能量損失有：2211 12221222pVpVzzgg222221212112VAgAppzz1122V AV A11322443pzzpzzzz解：解：3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用由于：由于：故：故：又因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋核裕核裕?22124342311zpppzzzzzz ：考慮能量損失及其它因素所加的系數(shù)（考慮能量損失及其它因素所加的系數(shù)（1）22211 21g hVAA 222221112VAhgA22QV A3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用流量為：流量為：例例3.用皮托管測(cè)流速：用皮托管測(cè)流速：

35、201011022()2zzppuggguppg h3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用 書上書上P8081例例3-10解：解：對(duì)對(duì)1-1和和2-2斷面列伯努利方程：斷面列伯努利方程：水泵的有效功率：水泵的有效功率：211 112222222mwpVzHgpVzhg21mwwHzzhhh()600WmwPQHQ hh3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用水泵抽水水泵抽水,已知已知: Q=8.510-3m3/s, h=6.3m, hw=0.9m (水柱水柱)。求：水泵的有效功率求：水泵的有效功率P=？書上書上P8182例例3-11輸氣管入口，輸氣管入口，已知：已知： =1000kg/m3，

36、=1.25kg/m3，d=0.4m，h=30mm。求：求：Q = ?解：解：對(duì)對(duì)0-0和和1-1斷面列伯努利方程，不計(jì)損失：斷面列伯努利方程，不計(jì)損失：211 1012appVzzggg1apghp112221.784m/saVppgh2312.737m /s4dQV3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用書上書上P8384例例3-14 有一虹吸管，有一虹吸管，已知：已知：d=0.1m, hWAC=2.12m，hWCB=3.51m, h=6.2m，H=4.85m。求：求：Q = ? pa pc= ?解：解：1) 對(duì)水池液面和管道出口斷面列對(duì)水池液面和管道出口斷面列伯努利方程：伯努利方程：22a

37、awACBppVhhg2 ()3.344m/swACBVg hh30.02626m /sQVA3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用2) 對(duì)水池液面和管道對(duì)水池液面和管道C斷面列伯努利方程：斷面列伯努利方程：73946Paacpp22acwACppVHhg27.54m2acwACppVHhg3-6 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用3-7 動(dòng)量方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程及其應(yīng)用一一. .總流動(dòng)量方程的推導(dǎo)：總流動(dòng)量方程的推導(dǎo)：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量方程：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量方程：質(zhì)點(diǎn)系（系統(tǒng)）的動(dòng)量方程：質(zhì)點(diǎn)系（系統(tǒng)）的動(dòng)量方程：在在3-2中知：對(duì)于任一物理量中知：對(duì)于任一物理量（如動(dòng)量）有：如動(dòng)量）有：dddddnAv

38、Att ddmVFt ddmVFt dddVFt 即：即：V ddAFfpn A()ddddnAAVtVvAfpn At 對(duì)于恒定總流，有：對(duì)于恒定總流，有：dddnAAVvAfpn AF dddddnAvAtt dddVFt 若令：若令：對(duì)于控制體不計(jì)粘性力：對(duì)于控制體不計(jì)粘性力：3-7 動(dòng)量方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程及其應(yīng)用對(duì)于如圖所示的不可壓縮液體的恒定總流，有：對(duì)于如圖所示的不可壓縮液體的恒定總流，有：ddAAu QVu AVQ 21ddQQuQu QF 212221 11ddAAu uAu u AF 1122dddQu AuA兩斷面兩斷面1-1和和2-2為均勻流斷面或漸變流斷面。為均勻流斷

39、面或漸變流斷面。dddnAAVvAfpn AF 3-7 動(dòng)量方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程及其應(yīng)用或：或：這里：這里：()()VQVQF 流出流入 在求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，在求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般采用直角坐標(biāo)一般采用直角坐標(biāo)系中的投影形式：系中的投影形式：()()()()()()xxxyyyzzzFVQVQFVQVQFVQVQ流出流入流出流入流出流入動(dòng)量方程中的外力：動(dòng)量方程中的外力：包括質(zhì)量力包括質(zhì)量力( (重力重力) )和表面力。和表面力。21dAuAAV式中：式中： 稱為稱為動(dòng)量修正系數(shù)動(dòng)量修正系數(shù)，與斷面速度分布有關(guān)。工程中其值約為，與斷面速度分布有關(guān)。工程中其值約為1.01-1.03，近似取為，近似取

40、為1。 不可壓液體恒定總流的動(dòng)量方程：不可壓液體恒定總流的動(dòng)量方程：3-7 動(dòng)量方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程及其應(yīng)用物理意義：物理意義：流出控制體動(dòng)量流出控制體動(dòng)量- -流入控制體動(dòng)流入控制體動(dòng)量量= =外力和外力和 二二. .總流動(dòng)量方程的應(yīng)用舉例：總流動(dòng)量方程的應(yīng)用舉例：u1.1.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵正確地選取控制體。正確地選取控制體。通常將控制面的一部分取通常將控制面的一部分取在運(yùn)動(dòng)液體與固體的交界面（或液體與氣體的分界面）上，另在運(yùn)動(dòng)液體與固體的交界面（或液體與氣體的分界面）上，另一部分取在漸變流斷面上，并使控制面封閉。一部分取在漸變流斷面上，并使控制面封閉。u2.2.解題步驟：解題步驟： 1 1

41、）先利用連續(xù)性方程、伯努利方程等求出一些相關(guān)參數(shù)。）先利用連續(xù)性方程、伯努利方程等求出一些相關(guān)參數(shù)。 2 2）選取漸變流斷面，確定控制體；并建立直角坐標(biāo)系。）選取漸變流斷面，確定控制體；并建立直角坐標(biāo)系。 3 3）分析作用在控制體內(nèi)液體上的所有外力及漸變流斷面上）分析作用在控制體內(nèi)液體上的所有外力及漸變流斷面上 的流速的流速V；確定力和速度的方向，并將其在坐標(biāo)軸上投影。確定力和速度的方向，并將其在坐標(biāo)軸上投影。 4 4）列動(dòng)量方程，并求解之。列動(dòng)量方程，并求解之。動(dòng)量方程一般用于求解液體作用在固體壁面上的力。動(dòng)量方程一般用于求解液體作用在固體壁面上的力。3-7 動(dòng)量方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程及其應(yīng)用

42、確定射流對(duì)平板的沖擊力（確定射流對(duì)平板的沖擊力（1）：）：u平平板受力分析：板受力分析：p左邊受動(dòng)水壓強(qiáng)左邊受動(dòng)水壓強(qiáng)p，右邊受大氣壓強(qiáng)右邊受大氣壓強(qiáng)pa。p平板受到的射流的作用力平板受到的射流的作用力T由相對(duì)壓強(qiáng)由相對(duì)壓強(qiáng)所引起所引起。平板對(duì)射流的反作用力為平板對(duì)射流的反作用力為F，有：有：F與與T大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。00FQV0FQV3-7 動(dòng)量方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程及其應(yīng)用作業(yè)：作業(yè)：P108P108，第第1818題題 P110P110，第第2 27 7題題確定射流對(duì)平板的沖擊力（確定射流對(duì)平板的沖擊力（2）：）：平板為光滑平板，不計(jì)水頭損失：平板為光滑平板，不計(jì)水頭損

43、失：gVpZgVpZaa222112002010VVVV；同理故：1 12200()cos0QVQVQ V012QQQ10201cos1 cos22QQQQ，000()sinFQV00sinFQ V3-7 動(dòng)量方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程及其應(yīng)用 水渠、閘門的寬度水渠、閘門的寬度 B=3.4m。閘門上、下游水深分別為閘門上、下游水深分別為h1=2.5m, h2=0.8m。求求: 固定閘門應(yīng)該施加的水平力固定閘門應(yīng)該施加的水平力F。解：解：對(duì)對(duì)1-1及及2-2斷面列伯努利方程，不計(jì)水頭損失有：斷面列伯努利方程，不計(jì)水頭損失有：gVphgVphaa22222211BhVBhVQ2211又：以上兩式聯(lián)解，可得：以上兩式聯(lián)