多邊形及多邊形的內(nèi)角和

1、教學(xué)課題多邊形及多邊形的內(nèi)角和教學(xué)目標(biāo)1 了解多邊形及有關(guān)概念，理解正多邊形及其有關(guān)概念2 區(qū)別凸多邊形與凹多邊形3. 使學(xué)生了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念4 能通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會(huì)應(yīng)用它們進(jìn)行有關(guān)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：1了解多邊形及其有關(guān)概念，理解正多邊形及其有關(guān)概念2區(qū)別凸多邊形和凹多邊形3多邊形的內(nèi)角和公式 4多邊形的外角和公式難點(diǎn)：1.多邊形定義的準(zhǔn)確理解2.多邊形的內(nèi)角和定理的推導(dǎo)教學(xué)過程一、認(rèn)識(shí)多邊形你能從投影里找出幾個(gè)由一些線段圍成的圖形嗎？上面三圖中讓同學(xué)邊看、邊議在同學(xué)議論的基礎(chǔ)上，老師給以總結(jié)，這些線段圍成的圖形有何特性？（1）它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)（2）

2、它們是由不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的這些圖形中有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、八邊形，那么什么叫做多邊形呢？提問：三角形的定義你能仿照三角形的定義給多邊形定義嗎？1在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的圖形叫做多邊形如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形叫做n邊形（一個(gè)多邊形由幾條線段組成，就叫做幾邊形）2多邊形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角和外角多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角3多邊形的對(duì)角線連接多邊形的不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線讓學(xué)生畫出五邊形的所有對(duì)角線4凸多邊形與凹多邊形看投影：圖形見課本P85736

3、在圖（1）中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因?yàn)槲覀儺婤D所在直線，整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，我們稱它為凹多邊形，今后我們?cè)诹?xí)題、練習(xí)中提到的多邊形都是凸多邊形5正多邊形由正方形的特征出發(fā)，得出正多邊形的概念各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形二、多邊形的內(nèi)角和1我們知道三角形的內(nèi)角和為1802我們還知道，正方形的四個(gè)角都等于90，那么它的內(nèi)角和為360，同樣長方形的內(nèi)角和也是360 3正方形和長方形都是特殊的四邊形，其內(nèi)角和為360，那么一般的

4、四邊形的內(nèi)角和為多少呢？ 畫一個(gè)任意的四邊形，用量角器量出它的四個(gè)內(nèi)角，計(jì)算它們的和，與同伴交流你的結(jié)果 從中你得到什么結(jié)論？ 同學(xué)們進(jìn)行量一量，算一算及交流后老師加以歸納得到四邊形的內(nèi)角和為360的感性認(rèn)識(shí)，是否成為定理要進(jìn)行推導(dǎo)二、思考幾個(gè)問題1從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引幾條對(duì)角線？它們將四邊形分成幾個(gè)三角形？那么四邊形的內(nèi)角和等于多少度？2從五邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引幾條對(duì)角線？它們將五邊形分成幾個(gè)三角形？那么這五邊形的內(nèi)角和為多少度？3從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引幾條對(duì)角線？它們將n邊形分成幾個(gè)三角形？n邊形的內(nèi)角和等于多少度？綜上所述，你能得到多邊形內(nèi)角和公式嗎？設(shè)多邊形的邊數(shù)為n

5、，則n邊形的內(nèi)角和等于（n一2）180想一想：要得到多邊形的內(nèi)角和必需通過“三角形的內(nèi)角和定理”來完成，就是把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形除利用對(duì)角線把多邊形分成幾個(gè)三角形外，還有其他的分法嗎？你會(huì)用新的分法得到n邊形的內(nèi)角和公式嗎？由同學(xué)動(dòng)手并推導(dǎo)在與同伴交流后，老師歸納：（以五邊形為例）分法一：在五邊形ABCDE內(nèi)任取一點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE，則得五個(gè)三角形其五個(gè)三角形內(nèi)角和為5180，而1，2，3，4，5不是五邊形的內(nèi)角應(yīng)減去，五邊形的內(nèi)角和為5180一2180（52）180=540如果五邊形變成n邊形，用同樣方法也可以得到n個(gè)三角形的內(nèi)角和減去一個(gè)周角，即可得：n邊形內(nèi)角和

6、nl80一2180=（n一2）180 分法二：在邊AB上取一點(diǎn)O，連OE、OD、OC，則可以（51）個(gè)三角形，而1、2、3、4不是五邊形的內(nèi)角，應(yīng)舍去 五邊形的內(nèi)角和為（51）180一180（52）180用同樣的辦法，也可以把n邊形分成（n一1）個(gè)三角形，把不是n邊形內(nèi)角的AOB舍去，即可得n邊形的內(nèi)角和為（n一2）180 三、例題例1 如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？已知：四邊形ABCD的AC180求：B與D的關(guān)系 分析：本題要求B與D的關(guān)系，由于已知AC180，所以可以從四邊形的內(nèi)角和入手，就可得到完滿的答案 解：如圖，四邊形ABCD中，AC180。A+B+C+D=

7、（42）360=180，BD= 360（AC）=180這就是說：如果四邊形一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ) 例2 如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和六邊形的外角和等于多少？已知：1，2，3，4，5，6分別為六邊形ABCDEF的外角求：1+2+3+4+5+6的值分析：關(guān)于外角問題我們馬上就會(huì)聯(lián)想到平角，這樣我們就得到六邊形的6個(gè)外角加上它相鄰的內(nèi)角的總和為6180由于六邊形的內(nèi)角和為（62）180=720這樣就可求得1+2+3+4+5+6=360解：六邊形的任何一個(gè)外角加上它相鄰的內(nèi)角和為180 六邊形的六個(gè)外角加上各自相鄰內(nèi)角的總和為6180 由于六邊形的

8、內(nèi)角和為（62）180=720 它的外角和為6180一720=360如果把六邊形橫成n邊形（n為不小于3的正整數(shù)）同樣也可以得到其外角和等于360即多邊形的外角和等于360所以我們說多邊形的外角和與它的邊數(shù)無關(guān)對(duì)此，我們也可以象以下這種，理解為什么多邊形的外角和等于360如下圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形各邊走過各頂點(diǎn)，再回到A點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向，在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和就是多邊形的外角和，由于走了一周，所得的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于360 課后作業(yè)多邊形一、判斷題 1由四條線段首尾順次相接組成的圖形叫四邊形（ ） 2由不在一直線上四條線段首尾次順次相接組成

9、的圖形叫四邊形（ ） 3由不在一直線上四條線段首尾順次接組成的圖形，且其中任何一條線段所在的直線、使整個(gè)圖形都在這直線的同一側(cè)，叫做四邊形（ ） 4在同一平面內(nèi)，四條線段首尾順次連接組成的圖形叫四邊形（ ） 二、填空題 1連接多邊形 的線段，叫做多邊形的對(duì)角線 2多邊形的任何 所在的直線，整個(gè)多邊形都在這條直線的 ，這樣的多邊形叫凸多邊形 3各個(gè)角 ，各條邊 的多邊形，叫正多邊形 三、解答題 1畫出圖（1）中的六邊形ABCDEF的所有對(duì)角線 2如圖（2），O為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接OA、OB、OC、OD可以得幾個(gè)三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？ 3如圖（3），O在五邊形ABCDE的AB上，連接O

10、C、OD、OE，可以得到幾個(gè)三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？ 4如圖（4），過A作六邊形ABCDEF的對(duì)角線，可以得到幾個(gè)三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？多邊形的內(nèi)角和一、判斷題1當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和也隨著增加（ ） 2當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)它的外角和也隨著增加（ ）3三角形的外角和與一多邊形的外角和相等（ ） 4從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出（n一2）條對(duì)角線，得到（n一2）個(gè)三角形（ ） 5四邊形的四個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)角不小于直角（ ）二、填空題 1一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30，則這個(gè)多邊形為 邊形 2一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于135，則這個(gè)多邊形為 邊形 3內(nèi)角和等于外角和的多邊形是 邊形

11、4內(nèi)角和為1440的多邊形是 5一個(gè)多邊形的內(nèi)角的度數(shù)從小到大排列時(shí)，恰好依次增加相同的度數(shù)，其中最小角為100，最大的是140，那么這個(gè)多邊形是 邊形 6若多邊形內(nèi)角和等于外角和的3倍，則這個(gè)多邊形是 邊形7五邊形的對(duì)角線有 條，它們內(nèi)角和為 8一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為4320，則它的邊數(shù)為 9多邊形每個(gè)內(nèi)角都相等，內(nèi)角和為720，則它的每一個(gè)外角為 10四邊形的A、B、C、D的外角之比為1：2：3：4，那么A：B：C：D= 11四邊形的四個(gè)內(nèi)角中，直角最多有 個(gè)，鈍角最多有 個(gè)， 銳角最多有 個(gè)12如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加一條，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加 ，外角和增加 三、選擇題 1多邊形的每

12、個(gè)外角與它相鄰內(nèi)角的關(guān)系是（ ） A互為余角 B互為鄰補(bǔ)角 C兩個(gè)角相等 D外角大于內(nèi)角2若n邊形每個(gè)內(nèi)角都等于150，那么這個(gè)n邊形是（ ） A九邊形 B十邊形 C十一邊形 D十二邊形 3一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)為（ ）A6條 B7條 C8條 D9條 4隨著多邊形的邊數(shù)n的增加，它的外角和（ ）A增加 B減小 C不變 D不定 5若多邊形的外角和等于內(nèi)角和的號(hào)，它的邊數(shù)是（ ） A3 B4 C5 D7 6一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1800，那么這個(gè)多邊形是（ ）A五邊形 B八邊形 C十邊形 D十二邊形 7一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角為108，則這個(gè)多邊形（ ）A四邊形 B，五邊形 C六邊形 D七邊形 8，一個(gè)多邊形每個(gè)外角都是60，這個(gè)多邊形的外角和為（ ） A180 B360 C720 D1080 9n邊形的n個(gè)內(nèi)角中銳角最多有（ ）個(gè)A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 10多邊形的內(nèi)角和為它的外角和的4倍，這個(gè)多邊形是（ ）A八邊形 B九邊形 C十邊形 D，十一邊形四、解答題 1一個(gè)多邊形少一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和為2300 （1）求它的邊數(shù)； （2）求少的那個(gè)內(nèi)角的度數(shù)2一個(gè)八邊形每一個(gè)頂點(diǎn)可以引幾條對(duì)角線？它共有多少條對(duì)角線？n邊形呢？3已知多邊形的內(nèi)角和為其外角和的5倍，求這個(gè)多邊形的邊