第三章應(yīng)變狀態(tài)理論

1、整理ppt3-1 3-1 位移分量和應(yīng)變分量位移分量和應(yīng)變分量 兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系3-2 3-2 物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化 轉(zhuǎn)動分量轉(zhuǎn)動分量第三章第三章 應(yīng)變狀態(tài)理論應(yīng)變狀態(tài)理論3-3 3-3 轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換3-4 3-4 主應(yīng)變主應(yīng)變 應(yīng)變張量不變量應(yīng)變張量不變量3-5 3-5 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程3-6 3-6 應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系整理ppt 物體經(jīng)過位移后，由于內(nèi)部各點的位移不相同，物體經(jīng)過位移后，由于內(nèi)部各點的位移不相同，除剛體位移外，其大小和形狀會發(fā)生改變除剛體位移外，其大小和形狀會發(fā)生改變-稱為稱為變變形形

2、 在外力作用下物體內(nèi)部各質(zhì)點上的空間位置會發(fā)在外力作用下物體內(nèi)部各質(zhì)點上的空間位置會發(fā)生改變生改變-產(chǎn)生產(chǎn)生位移位移2、建立幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、建立幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程1、分析一點的應(yīng)變狀態(tài)、分析一點的應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)變狀應(yīng)變狀態(tài)理論態(tài)理論整理ppt3-13-1位移分量和應(yīng)變分量位移分量和應(yīng)變分量 兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系OxyzPrP Ru變形前變形前變形后變形后u = R -r1, , , ,u x y zxx y zx x y z1, , , ,v x y zyx y zy x y z1, , , ,w x y zzx y zz x y z位移分量均為單值連續(xù)函數(shù)，且假定其具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

3、位移分量均為單值連續(xù)函數(shù)，且假定其具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)整理pptoyzx0l00lll軸向軸向(縱向縱向)應(yīng)變應(yīng)變：g g：切應(yīng)變切應(yīng)變g g直角改變量直角改變量,xyzxyyzzxggg六個應(yīng)變分量六個應(yīng)變分量整理ppt 我們從物體中取出x方向上長dx的線段PA，變形后為PA，P點的位移為(u,v)，A點x方向的位移為y方向上的位移為xxuudxxvvddxdx整理pptPA的正應(yīng)變在小變形時是由x方向的位移所引起的，因此PA正應(yīng)變?yōu)镻A的轉(zhuǎn)角為xvxuxdxdx整理ppt 我們從物體中取出y方向上長dy的線段PB，變形后為PB，B點y方向的位移為x方向上的位移為PB的正應(yīng)變在小變形時是由y方

4、向的位移所引起的，因此PB正應(yīng)變?yōu)閥yvvdyyuudyv整理ppt線段PA的轉(zhuǎn)角是線段PB的轉(zhuǎn)角是于是，直角APB的改變量為yuxvxy21xvyuyuxvxygA有時用張量分量PAB整理ppt 這樣，平面上一點的變形我們用該點x方向上的正應(yīng)變、y方向上的正應(yīng)變和xy方向構(gòu)成的直角的變化切應(yīng)力來描述，稱為應(yīng)變分量。yuxvyvxuxyyx21整理ppt 同樣，空間一點同樣，空間一點的變形我們用該點的變形我們用該點x x、y y、z z方向上的正應(yīng)變方向上的正應(yīng)變和和xy、yz、zxzx方向構(gòu)方向構(gòu)成的直角的變化切成的直角的變化切應(yīng)變來描述。應(yīng)變來描述。ijjiijxuxu21張量形式為整理p

5、pt 空間的應(yīng)變分量共九空間的應(yīng)變分量共九個分量，是一個對稱張量，個分量，是一個對稱張量，和應(yīng)力張量一樣，它們遵和應(yīng)力張量一樣，它們遵從坐標(biāo)變換規(guī)則，同樣存從坐標(biāo)變換規(guī)則，同樣存在著三個互相垂直的主方在著三個互相垂直的主方向，對應(yīng)的主應(yīng)變值是該向，對應(yīng)的主應(yīng)變值是該張量的特征值。這些互相張量的特征值。這些互相垂直的主方向構(gòu)成的直角垂直的主方向構(gòu)成的直角在該應(yīng)變張量的變形時，在該應(yīng)變張量的變形時，角度不變，由主平面組成角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變?yōu)榈膯卧w，由正方體變?yōu)橹苯情L方體。在主方向構(gòu)直角長方體。在主方向構(gòu)成的坐標(biāo)系中，張量分量成的坐標(biāo)系中，張量分量構(gòu)成對角陣，切應(yīng)變分量構(gòu)成

6、對角陣，切應(yīng)變分量為零。為零。整理ppt3-2 3-2 物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化 轉(zhuǎn)動分量轉(zhuǎn)動分量 物體內(nèi)無限鄰近兩點物體內(nèi)無限鄰近兩點A和和B，坐標(biāo)分別為（坐標(biāo)分別為（x、y、z）和）和 （x+dx、y+dy、z+dz）, ,變形后至變形后至A和和B 點，則兩點的位移點，則兩點的位移矢量的三個分量為：矢量的三個分量為：A點：點：, , , ,u x y zv x y zw x y zB點：點：d ,d ,dd ,d ,dd ,d ,duu xx yy zzvv xx yy zzww xx yy zz 按按Tayior展開，得：展開，得：ddddddddduuu

7、uuxyzxyzvvvvvxyzxyzwwwwwxyzxyz 整理ppt1111ddddd22221111ddddd222212uvuuwvuuwuuxyzyzxxyzxxyzxvuvwvvuwvvvxyzxzxyyyzxyyzuwwwzx 111ddddd222wvwuwwvxyzxyyzzzxyz引引入入轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動矢矢量量U 2xwvpyz2yuwqzx2zvurxy由由p、q、r表示單元體的剛性轉(zhuǎn)角整理ppt1111ddddd22221111ddddd22221111ddddd2222xxyzxzyxyyyzzxzxyzzyxuuxyzyzvvyyzxzwwxyzxygggggg 與A點無

8、限接近的B點的位移由三部分組成：A ABB B B 隨A點的一個平動繞A點的剛體轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的位移由鄰近的小單元體變形引起的位移整理ppt111102222dd11110dd2222dd111102222zyxxyzxzxxyyyzyxzxyzzuuxxvvyywwzzgggggg 用矩陣表示：111213212223313233112211221122xxyzxijxyyyzzxyzzgggggg-應(yīng)變張量應(yīng)變張量整理ppt3-3 3-3 轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換 一方向為一方向為（l，m，n）的微分線段的微分線段AB，其長度為其長度為r， A點點的的坐標(biāo)（坐標(biāo)（x，y，z）,

9、 , B點點的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x+rl，y+rm，z+rn）uuuuurlrmrnxyzvvvvvrlrmrnxyzwwwwwrlrmrnxyz A ABB ,l mnr ,lmnr推導(dǎo)得：推導(dǎo)得：222ruvwwvuwvulmnmnlnlmxyzyzzxxy可寫成：可寫成：222rxyzyzzxxylmnmnlnlmggg表明：表明：如知物體內(nèi)某點的如知物體內(nèi)某點的6 6個應(yīng)變分量，即可求得過該點的任個應(yīng)變分量，即可求得過該點的任一方向微分線段一方向微分線段的相對伸長值。的相對伸長值。整理ppt 過同一點的微分線段過同一點的微分線段AB和和AC，其長度分別為其長度分別為r1和和r2 ， 方方向

10、分別為向分別為( (l1 ,m1 , n1) )和和( (l2 ,m2 , n2) )，研究變形后其夾角的改變，研究變形后其夾角的改變可推導(dǎo)得出轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換公式可推導(dǎo)得出轉(zhuǎn)軸時應(yīng)變分量的變換公式可寫成：可寫成：i jiji ij jn n 12miji ij js ng整理ppt662350030002212300400100103333010020013644 10r 例題3-1 在物體內(nèi)的一點的應(yīng)變張量為：65003000300400100100100200ij的微分面上的正應(yīng)變。221,333lmn試求法線方向余弦為：整理ppt3-4 3-4 主應(yīng)變主應(yīng)變 應(yīng)變張量不變量應(yīng)變張量

11、不變量 物體內(nèi)存在物體內(nèi)存在3 3個互相垂直的方向，在這個互相垂直的方向，在這3 3個方向的微分線段個方向的微分線段，在物體變形后仍保持垂直。此方向稱為在物體變形后仍保持垂直。此方向稱為應(yīng)變主方向應(yīng)變主方向，該方向上，該方向上微分線段的相對伸長，稱為微分線段的相對伸長，稱為主應(yīng)變主應(yīng)變。 由于主方向的線段在變形后仍保持垂直，故在變形中，由于主方向的線段在變形后仍保持垂直，故在變形中，其單元體只有剛體轉(zhuǎn)動，據(jù)此，可得主應(yīng)變和主應(yīng)變方向所其單元體只有剛體轉(zhuǎn)動，據(jù)此，可得主應(yīng)變和主應(yīng)變方向所應(yīng)滿足的方程：應(yīng)滿足的方程：110221102211022xxyxzyxyyzzxzyzlmnlmnlmngg

12、gggg有非零解有非零解1122110221122xxyxzyxyyzzxzyzgggggg整理ppt321230JJJ其中：其中：1xyzJ222214xyyzzxxyyzzxJ ggg3112211221122xxyxzyxyyzzxzyzJgggggg-應(yīng)變張量的第一不變量應(yīng)變張量的第一不變量（體積應(yīng)變）（體積應(yīng)變）-應(yīng)變張量的第二不變量應(yīng)變張量的第二不變量-應(yīng)變張量的第三不變量應(yīng)變張量的第三不變量可得可得3 個實根，分別代表三個個實根，分別代表三個主應(yīng)變，用主應(yīng)變，用1、2、3表示表示整理ppt主應(yīng)變的幾個重要性質(zhì)：主應(yīng)變的幾個重要性質(zhì)：1、如、如123，即方程無重根，則應(yīng)變主方向必相

13、互垂直。，即方程無重根，則應(yīng)變主方向必相互垂直。2、如、如1=23，方程有兩重根，則，方程有兩重根，則3方向必同時垂直于方向必同時垂直于1、2 的方向，而的方向，而1和和2的方向可以垂直，也可以不垂直；即的方向可以垂直，也可以不垂直；即與與3垂直的任何方向都是主方向。垂直的任何方向都是主方向。3、如、如1=2=3，方程有三重根，則，方程有三重根，則3個個方向可以垂直，也方向可以垂直，也可以不垂直；即任何方向都是主方向?？梢圆淮怪?；即任何方向都是主方向。整理ppt例題3-2 在物體內(nèi)的一點的應(yīng)變張量為：15000040600600ij 試求主應(yīng)變和主方向。解：1、三個應(yīng)變張量不變量： 12222

14、2223150400110141150404000 150012009600411221500011040605400002206001122xyzxyyzzxxyyzzxxxyxzyxyyzzxzyzJJJ ggggggggg 2、由特征方程得：321230JJJ123150,43.3,83.3 整理ppt123150,43.3,83.3 2、分別代入下列方程中得：及2220lmn1112223331,0,00,0.585,0.8110,0.811,0.585lmnlmnlmn 110221102211022xxyxzyxyyzzxzyzlmnlmnlmngggggg整理ppt3-5 3-5

15、 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程將二、三式分別對z,y求二階導(dǎo)數(shù)再相加，得zwyvxuzyxyuxvxwzuzvywxyzxyz212121類似可以得到另外兩個方程整理ppt將右邊后三式分別對將右邊后三式分別對x, ,y, ,z求導(dǎo)求導(dǎo)后兩式相加減去第一式，后兩式相加減去第一式，再對再對x求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得zwyvxuzyxyuxvxwzuzvywxyzxyz212121類似可以得到類似可以得到另外兩個方程另外兩個方程整理ppt綜合得：綜合得：-應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程（圣維南方程）（圣維南方程）整理ppt3-6 3-6 應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系kkijijijEE1張量形式為 應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系 在線彈性力學(xué)中，應(yīng)力在線彈性力學(xué)中，應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系成線性應(yīng)變的物理關(guān)系成線性的廣義胡克關(guān)系，對于的廣義胡克關(guān)系，對于各向同性材料，其中，各向同性材料，其中，只有兩個彈性常數(shù)只有兩個彈性常數(shù). .整理ppt 當(dāng)坐標(biāo)系為主方向時，切應(yīng)力為零，切應(yīng)變也為零，公式簡化為213313223211111EEE123 1 2E上三式相加可得到：其中分別為體積應(yīng)變和體積應(yīng)力