第三章應變狀態(tài)理論

1、整理ppt3-1 3-1 位移分量和應變分量位移分量和應變分量 兩者的關系兩者的關系3-2 3-2 物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化 轉(zhuǎn)動分量轉(zhuǎn)動分量第三章第三章 應變狀態(tài)理論應變狀態(tài)理論3-3 3-3 轉(zhuǎn)軸時應變分量的變換轉(zhuǎn)軸時應變分量的變換3-4 3-4 主應變主應變 應變張量不變量應變張量不變量3-5 3-5 應變協(xié)調(diào)方程應變協(xié)調(diào)方程3-6 3-6 應力和應變的關系應力和應變的關系整理ppt 物體經(jīng)過位移后，由于內(nèi)部各點的位移不相同，物體經(jīng)過位移后，由于內(nèi)部各點的位移不相同，除剛體位移外，其大小和形狀會發(fā)生改變除剛體位移外，其大小和形狀會發(fā)生改變-稱為稱為變變形形

2、 在外力作用下物體內(nèi)部各質(zhì)點上的空間位置會發(fā)在外力作用下物體內(nèi)部各質(zhì)點上的空間位置會發(fā)生改變生改變-產(chǎn)生產(chǎn)生位移位移2、建立幾何方程和應變協(xié)調(diào)方程、建立幾何方程和應變協(xié)調(diào)方程1、分析一點的應變狀態(tài)、分析一點的應變狀態(tài)應變狀應變狀態(tài)理論態(tài)理論整理ppt3-13-1位移分量和應變分量位移分量和應變分量 兩者的關系兩者的關系OxyzPrP Ru變形前變形前變形后變形后u = R -r1, , , ,u x y zxx y zx x y z1, , , ,v x y zyx y zy x y z1, , , ,w x y zzx y zz x y z位移分量均為單值連續(xù)函數(shù)，且假定其具有三階連續(xù)偏導數(shù)

3、位移分量均為單值連續(xù)函數(shù)，且假定其具有三階連續(xù)偏導數(shù)整理pptoyzx0l00lll軸向軸向(縱向縱向)應變應變：g g：切應變切應變g g直角改變量直角改變量,xyzxyyzzxggg六個應變分量六個應變分量整理ppt 我們從物體中取出x方向上長dx的線段PA，變形后為PA，P點的位移為(u,v)，A點x方向的位移為y方向上的位移為xxuudxxvvddxdx整理pptPA的正應變在小變形時是由x方向的位移所引起的，因此PA正應變?yōu)镻A的轉(zhuǎn)角為xvxuxdxdx整理ppt 我們從物體中取出y方向上長dy的線段PB，變形后為PB，B點y方向的位移為x方向上的位移為PB的正應變在小變形時是由y方

4、向的位移所引起的，因此PB正應變?yōu)閥yvvdyyuudyv整理ppt線段PA的轉(zhuǎn)角是線段PB的轉(zhuǎn)角是于是，直角APB的改變量為yuxvxy21xvyuyuxvxygA有時用張量分量PAB整理ppt 這樣，平面上一點的變形我們用該點x方向上的正應變、y方向上的正應變和xy方向構成的直角的變化切應力來描述，稱為應變分量。yuxvyvxuxyyx21整理ppt 同樣，空間一點同樣，空間一點的變形我們用該點的變形我們用該點x x、y y、z z方向上的正應變方向上的正應變和和xy、yz、zxzx方向構方向構成的直角的變化切成的直角的變化切應變來描述。應變來描述。ijjiijxuxu21張量形式為整理p

5、pt 空間的應變分量共九空間的應變分量共九個分量，是一個對稱張量，個分量，是一個對稱張量，和應力張量一樣，它們遵和應力張量一樣，它們遵從坐標變換規(guī)則，同樣存從坐標變換規(guī)則，同樣存在著三個互相垂直的主方在著三個互相垂直的主方向，對應的主應變值是該向，對應的主應變值是該張量的特征值。這些互相張量的特征值。這些互相垂直的主方向構成的直角垂直的主方向構成的直角在該應變張量的變形時，在該應變張量的變形時，角度不變，由主平面組成角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變?yōu)榈膯卧w，由正方體變?yōu)橹苯情L方體。在主方向構直角長方體。在主方向構成的坐標系中，張量分量成的坐標系中，張量分量構成對角陣，切應變分量構成

6、對角陣，切應變分量為零。為零。整理ppt3-2 3-2 物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化物體內(nèi)無限鄰近兩點位置的變化 轉(zhuǎn)動分量轉(zhuǎn)動分量 物體內(nèi)無限鄰近兩點物體內(nèi)無限鄰近兩點A和和B，坐標分別為（坐標分別為（x、y、z）和）和 （x+dx、y+dy、z+dz）, ,變形后至變形后至A和和B 點，則兩點的位移點，則兩點的位移矢量的三個分量為：矢量的三個分量為：A點：點：, , , ,u x y zv x y zw x y zB點：點：d ,d ,dd ,d ,dd ,d ,duu xx yy zzvv xx yy zzww xx yy zz 按按Tayior展開，得：展開，得：ddddddddduuu

7、uuxyzxyzvvvvvxyzxyzwwwwwxyzxyz 整理ppt1111ddddd22221111ddddd222212uvuuwvuuwuuxyzyzxxyzxxyzxvuvwvvuwvvvxyzxzxyyyzxyyzuwwwzx 111ddddd222wvwuwwvxyzxyyzzzxyz引引入入轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動矢矢量量U 2xwvpyz2yuwqzx2zvurxy由由p、q、r表示單元體的剛性轉(zhuǎn)角整理ppt1111ddddd22221111ddddd22221111ddddd2222xxyzxzyxyyyzzxzxyzzyxuuxyzyzvvyyzxzwwxyzxygggggg 與A點無

8、限接近的B點的位移由三部分組成：A ABB B B 隨A點的一個平動繞A點的剛體轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的位移由鄰近的小單元體變形引起的位移整理ppt111102222dd11110dd2222dd111102222zyxxyzxzxxyyyzyxzxyzzuuxxvvyywwzzgggggg 用矩陣表示：111213212223313233112211221122xxyzxijxyyyzzxyzzgggggg-應變張量應變張量整理ppt3-3 3-3 轉(zhuǎn)軸時應變分量的變換轉(zhuǎn)軸時應變分量的變換 一方向為一方向為（l，m，n）的微分線段的微分線段AB，其長度為其長度為r， A點點的的坐標（坐標（x，y，z）,

9、 , B點點的坐標（的坐標（x+rl，y+rm，z+rn）uuuuurlrmrnxyzvvvvvrlrmrnxyzwwwwwrlrmrnxyz A ABB ,l mnr ,lmnr推導得：推導得：222ruvwwvuwvulmnmnlnlmxyzyzzxxy可寫成：可寫成：222rxyzyzzxxylmnmnlnlmggg表明：表明：如知物體內(nèi)某點的如知物體內(nèi)某點的6 6個應變分量，即可求得過該點的任個應變分量，即可求得過該點的任一方向微分線段一方向微分線段的相對伸長值。的相對伸長值。整理ppt 過同一點的微分線段過同一點的微分線段AB和和AC，其長度分別為其長度分別為r1和和r2 ， 方方向

10、分別為向分別為( (l1 ,m1 , n1) )和和( (l2 ,m2 , n2) )，研究變形后其夾角的改變，研究變形后其夾角的改變可推導得出轉(zhuǎn)軸時應變分量的變換公式可推導得出轉(zhuǎn)軸時應變分量的變換公式可寫成：可寫成：i jiji ij jn n 12miji ij js ng整理ppt662350030002212300400100103333010020013644 10r 例題3-1 在物體內(nèi)的一點的應變張量為：65003000300400100100100200ij的微分面上的正應變。221,333lmn試求法線方向余弦為：整理ppt3-4 3-4 主應變主應變 應變張量不變量應變張量

11、不變量 物體內(nèi)存在物體內(nèi)存在3 3個互相垂直的方向，在這個互相垂直的方向，在這3 3個方向的微分線段個方向的微分線段，在物體變形后仍保持垂直。此方向稱為在物體變形后仍保持垂直。此方向稱為應變主方向應變主方向，該方向上，該方向上微分線段的相對伸長，稱為微分線段的相對伸長，稱為主應變主應變。 由于主方向的線段在變形后仍保持垂直，故在變形中，由于主方向的線段在變形后仍保持垂直，故在變形中，其單元體只有剛體轉(zhuǎn)動，據(jù)此，可得主應變和主應變方向所其單元體只有剛體轉(zhuǎn)動，據(jù)此，可得主應變和主應變方向所應滿足的方程：應滿足的方程：110221102211022xxyxzyxyyzzxzyzlmnlmnlmngg

12、gggg有非零解有非零解1122110221122xxyxzyxyyzzxzyzgggggg整理ppt321230JJJ其中：其中：1xyzJ222214xyyzzxxyyzzxJ ggg3112211221122xxyxzyxyyzzxzyzJgggggg-應變張量的第一不變量應變張量的第一不變量（體積應變）（體積應變）-應變張量的第二不變量應變張量的第二不變量-應變張量的第三不變量應變張量的第三不變量可得可得3 個實根，分別代表三個個實根，分別代表三個主應變，用主應變，用1、2、3表示表示整理ppt主應變的幾個重要性質(zhì)：主應變的幾個重要性質(zhì)：1、如、如123，即方程無重根，則應變主方向必相

13、互垂直。，即方程無重根，則應變主方向必相互垂直。2、如、如1=23，方程有兩重根，則，方程有兩重根，則3方向必同時垂直于方向必同時垂直于1、2 的方向，而的方向，而1和和2的方向可以垂直，也可以不垂直；即的方向可以垂直，也可以不垂直；即與與3垂直的任何方向都是主方向。垂直的任何方向都是主方向。3、如、如1=2=3，方程有三重根，則，方程有三重根，則3個個方向可以垂直，也方向可以垂直，也可以不垂直；即任何方向都是主方向?？梢圆淮怪?；即任何方向都是主方向。整理ppt例題3-2 在物體內(nèi)的一點的應變張量為：15000040600600ij 試求主應變和主方向。解：1、三個應變張量不變量： 12222

14、2223150400110141150404000 150012009600411221500011040605400002206001122xyzxyyzzxxyyzzxxxyxzyxyyzzxzyzJJJ ggggggggg 2、由特征方程得：321230JJJ123150,43.3,83.3 整理ppt123150,43.3,83.3 2、分別代入下列方程中得：及2220lmn1112223331,0,00,0.585,0.8110,0.811,0.585lmnlmnlmn 110221102211022xxyxzyxyyzzxzyzlmnlmnlmngggggg整理ppt3-5 3-5

15、 應變協(xié)調(diào)方程應變協(xié)調(diào)方程將二、三式分別對z,y求二階導數(shù)再相加，得zwyvxuzyxyuxvxwzuzvywxyzxyz212121類似可以得到另外兩個方程整理ppt將右邊后三式分別對將右邊后三式分別對x, ,y, ,z求導求導后兩式相加減去第一式，后兩式相加減去第一式，再對再對x求導，得求導，得zwyvxuzyxyuxvxwzuzvywxyzxyz212121類似可以得到類似可以得到另外兩個方程另外兩個方程整理ppt綜合得：綜合得：-應變協(xié)調(diào)方程應變協(xié)調(diào)方程（圣維南方程）（圣維南方程）整理ppt3-6 3-6 應力和應變的關系應力和應變的關系kkijijijEE1張量形式為 應力應變的物理關系應力應變的物理關系 在線彈性力學中，應力在線彈性力學中，應力應變的物理關系成線性應變的物理關系成線性的廣義胡克關系，對于的廣義胡克關系，對于各向同性材料，其中，各向同性材料，其中，只有兩個彈性常數(shù)只有兩個彈性常數(shù). .整理ppt 當坐標系為主方向時，切應力為零，切應變也為零，公式簡化為213313223211111EEE123 1 2E上三式相加可得到：其中分別為體積應變和體積應力