慣性矩的一般求法

1、慣性矩是一個物理量，通常被用作描述一個物體抵抗扭動，扭轉(zhuǎn)的能力。慣性矩的國際單位為(m4)。工程構(gòu)件典型截面幾何性質(zhì)的計算面積矩面積矩的定義任意截面的圖形如圖為一任意截面的幾何圖形。定義：積分和分別定義為該圖形對z軸和y軸的面積矩或靜矩，用符號S z和S y來表示面積矩的數(shù)值可正、可負(fù)，也可為零。面積矩的量綱是長度的三次方，其常用單位為m3或mm3。面積矩與形心平面圖形的形心坐標(biāo)公式如式 或改寫成 面積矩的幾何意義：圖形的形心相對于指定的坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度。圖形形心相對于某一坐標(biāo)距離愈遠(yuǎn)，對該軸的面積矩絕對值愈大。圖形對通過其形心的軸的面積矩等于零；反之，圖形對某一軸的面積矩等于零，該軸

2、一定通過圖形形心。組合截面面積矩和形心的計算組合截面對某一軸的面積矩等于其各簡單圖形對該軸面積矩的代數(shù)和。如式 式中，A和y i、z i分別代表各簡單圖形的面積和形心坐標(biāo)。組合平面圖形的形心位置由下式確定 極慣性矩、慣性矩和慣性積極慣性矩任意平面圖形其面積為A。定義：積分稱為圖形對O點的極慣性矩，用符號IP，表示 極慣性矩是相對于指定的點而言的，即同一圖形對不同的點的極慣性矩一般是不同的。極慣性矩恒為正，其量綱是長度的4次方，常用單位為m4或mm4。(1)圓截面對其圓心的極慣性矩 (2)對于外徑為D、內(nèi)徑為d的空心圓截面對圓心的極慣性矩 式中，d/D為空心圓截面內(nèi)、外徑的比值。2慣性矩在如圖所

3、示中，定義積分，如式 稱為圖形對z軸和y軸的慣性矩。慣性矩是對一定的軸而言的，同一圖形對不同的軸的慣性矩一般不同。慣性矩恒為正值，其量綱和單位與極慣性矩相同。同一圖形對一對正交軸的慣性矩和對坐標(biāo)原點的極慣性矩存在著一定的關(guān)系。如式IP=I z + I y 上式表明，圖形對任一點的極慣性矩，等于圖形對通過此點且在其平面內(nèi)的任一對正交軸慣性矩之和。慣性積如圖積分定義為圖形對y，、z軸的慣性積，用符號Iyz表示，具有軸對稱的圖形慣性積是對于一定的一對正交坐標(biāo)軸而言的，即同一圖形對不同的正交坐標(biāo)軸的慣性積不同，慣性積的數(shù)值可正、可負(fù)、可為零，其量綱和單位與慣性矩相同。由慣性積的定義可以得出如下結(jié)論：若

4、圖形具有對稱軸，則圖形對包含此對稱軸在內(nèi)的一對正交坐標(biāo)抽的慣性積為零。如圖所示，y為圖形的對稱軸.則整個圖形對y、z軸的慣，性積等于零。常見圖形的面積、形心和慣性矩序 號圖 形面 積形 心 位 置慣性矩(形心軸)123456慣性矩和慣性積的平行移軸公式 任意平面圖形如圖所示。z、y為一對正交的形心軸，z1、y1為與形心軸平行的另一對正交軸，平行軸間的距離分別為a和b。已知圖形對形心軸的慣性矩Iz、Iy和慣性積Izy，現(xiàn)求圖形對z1、y1軸的慣性矩Iz1、Iy1和慣性積Iz1y1。有慣性矩和慣性積的平行移軸公式 Iz1y1=Izy+abA可見，圖形對于形心軸的慣性矩是對所有平行軸的慣性矩中最小的

5、一個。在應(yīng)用平行移軸公式時，要注意應(yīng)用條件，即y、z軸必須是通過形心的軸，且z1、y1軸必須分別與z、y軸平行。在計算慣性積時，還須注意a、b的正負(fù)號，它們是截面形心c在z1oy1坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。組合截合慣性矩計算組合圖形對某一軸的慣性矩，等于其各組成部分簡單圖形對該軸慣性矩之和，如式 在計算組合圖形對z、y軸的慣性矩時，應(yīng)先將組合圖形分成若干個簡單圖形，并計算出每一簡單圖形對平行于z、y軸的自身形心軸的慣性矩，然后利用平行移軸公式計算出各簡單圖形對z、y軸的慣性矩，最后利用式求總和。主慣性軸和主慣性矩過圖形上任一點都可得到一對主軸，通過截面圖形形心的主慣性軸，稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。在對構(gòu)件進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定計算中，常常需要確定形心主軸和計算形心主慣性矩。因此，確定形心主軸的位置是十分重要的。由于圖形對包括其對稱軸在內(nèi)的一對正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，所以對于如圖所示具有對稱軸的截面圖形，可根據(jù)圖形具有對稱軸的情況，觀察確定形心主軸的位置。(1)如果圖形有一根對稱軸，則此軸必定是形心主軸、而另一根形心主軸通過形心，并與對稱軸垂直，如圖所示。(2)如果圖形有兩