方波的傅里葉分解與合成

1、方波的傅里葉分解與合成【實驗目的】1. 用RLC串聯(lián)諧振方法將方波分解成基波和各次諧波，并測量它們的振幅與相位關(guān)系2?將將一組振幅與相位可調(diào)正弦波由加法器合成方波。3. 了解傅里葉分析的物理含義和分析方法。【實驗儀器】FD-FLY-A型傅里葉分解與合成，示波器，電阻箱，電容箱，電感。【實驗原理】1.數(shù)學根底任何具有周期為T的波函數(shù)f (t)都可以表示為三角函數(shù)所構(gòu)成的級數(shù)之和，即Q0f(t)-T 0 T-h1h t/ 0嚇V-h其中：T為周期一為角頻率。一；第一項號為直流分量f( t)寧 0+ Z (an cosn 豹 t+bnsinn?t)n A圖1方波圖2三角波所謂周期性函數(shù)的傅里葉分解就

2、是將周期性函數(shù)展開成直流分量、基波和所有n階諧波的迭加。 如圖1所示的方法可以寫成：占V。f(t)C °乞 t ：T2數(shù)學上可以證明此此方方波波為可奇表函示數(shù)為，：它沒有常數(shù)項。4h 1 f (t) (sin t sin3 ， t兀311sin 5sin 7 )57同樣，對于如圖4h00兀、2n12所示的三角波也可以表示為：)si n (2 n _ 1) t4hT . T、f (t) 二=(才"2訊1_令t弓T 448hiiif (t)2 (sin t2sin3，t2sin 5， t2sin7， t8h12(1)2(2n -1)2 sin(2n -1)，n £t2

3、. 周期性波形傅里葉分解的選頻電路我們用RLC串聯(lián)諧振電路作為選頻電路，對方波或三角波進行頻譜分解。在示波器上顯示這些被分解的波形，測量它們的相對振幅。我們還可以用一參考正弦波與被分解出的波形構(gòu)成李薩如圖形，確定基波與各次諧波的初相位關(guān)系。本儀器具有1KHz的方波和三角波供做傅里葉分解實驗，方波和三角波的輸出阻抗低，可以保證順利地完成分解實驗。實驗原理圖如圖3所示。這是一個簡單的RLC電路，其中R、C是可變的。L 一般取0.1H? H范圍。當輸入信號的頻率與電路的諧振頻率相匹配時，此電路1將有最大的響應。諧振頻率 -'0為：0二 。這個響應的VLC頻帶寬度以Q值來表示：Q= '

4、 °。當Q值較大時，在-.0附R近的頻帶寬度較狹窄，所以實驗中我們應該選擇 來。Q值足夠大，大到足夠?qū)⒒ㄅc各次諧波別離出如果我們調(diào)節(jié)可變電容 C在n0頻率諧振，我們將從此周期性波形中選擇出這個單元。它的值為：VRt二 l°Rsinn yt，此式中V tX'薩R，x為串聯(lián)電路感抗和容抗之和,Z為串聯(lián)電路的總阻抗。Zn357在諧振狀態(tài)X= 0，此時，阻抗Z=r+ R+ R+ Fc=r + R+R，其中，：r方波或三角波 電源的內(nèi)阻；R 為取樣電阻；R.為電感的損耗電阻；R為標準電容的損耗電阻R值常因較小而忽 略。電感用良導體纏繞而成，由于趨膚效應，R. 的數(shù)個將隨頻率

5、的增加而增加。實驗證明碳膜電阻及電阻箱的阻值在 1KHz7KHz 范圍內(nèi)，阻值不隨頻率變化。3. 傅里葉級數(shù)的合成儀器可提供振幅和相位連續(xù)可調(diào)的1KHz , 3KHz 5KHz, 7KHz四組正弦波。如果將這四組正弦波的初相位和振幅按一定要求調(diào)節(jié)好以后，輸入到加法器，疊加后，就可以分別合成出方波、三角波等波形?！緦嶒瀮?nèi)容與步驟】方波的傅里葉分解1. 先確定RLC串聯(lián)電路對1KHz, 3KHz， 5KHz正弦波諧振時的電容值 Ci、G、并與理論值進行比直線，說明此時電路顯示電阻性，接線圖如下電感：L=0.1H 標準電感，理論值:FLAT W|立葉分結(jié)合戰(zhàn)悅曲皆| iKMzO o耐，O o

6、3;1 KHzkHz1o c?Q-rC較。實驗中，觀察在諧振狀態(tài)時，電源總電壓與電阻兩端電壓的關(guān)系?？蓮睦钏_如圖為一圖4確定RLC電路諧振電容接線圖FLY-r傅立葉分結(jié)含蹴悅3 鵲wo20欣o砒O目9 g BiKHzKHz tfCHs rtCMadCHz Q ° ° °iKHz2?將1KHz方波進行頻譜分解，測量基波和n階諧波的相對振幅和相對相位，接線圖如下圖5頻譜分解接線圖RRli R r將1KHz方波輸入到RLC串聯(lián)電路，如圖5所示。然后調(diào)節(jié)電容值至 Ci, G, G值附近，可以 從示波器上讀 出只有可變電容調(diào)在 Ci, G，0時產(chǎn)生諧振，且可測得振幅分別為

7、b, b3，b5 這里只需比擬基波和各次諧波的振幅比，所以只要讀出同一量程下示波器上的峰值高度即可 到其它電容值時，卻沒有諧振出現(xiàn)。3.相對振幅測量時，用分壓原理校正系統(tǒng)誤差。假設：b3為3KHz諧波校正后振幅，b3為3KHz諧波未被校正時振幅；而調(diào)節(jié)Ri為1KHz使用頻率時損RRl3 R r耗電阻。Rl3為3KHz使用頻率時損耗電阻，r為信號源內(nèi)阻。貝心Rl3 R rb3= b3Rli R r2不同頻率電流通過電感損耗電阻的測定。1 測量方波信號源的內(nèi)阻r。先直接將方波信號接入示波器，讀出峰值；再將一電阻箱接入 電路中，調(diào)節(jié)電阻 箱，當示波器上的幅度減半時，記下電阻箱的值，此值即為r。接線圖

8、如下：對于0.1H空心電感可用下述方法測定損耗電阻R。接一個如圖7的串聯(lián)諧振電路。測量在諧振狀態(tài)時，信號源輸出電壓WAB和取樣電阻R兩端的電壓 V (用示波器測量 V、VR電壓)，那么：Rl :Rl Rc = Vab-1R甩為標準電容的損耗電阻，一般較小可忽略。同理測出3KHz、5KHz下電感的損耗電阻，接線圖如下圖8測量電感損耗電阻接線圖 傅里葉 級數(shù)合111si n3sin5 t sin 7 t .357(奇函11:-)3IKHz、3KHz 5KHz、7KHz正弦波同位相成：f(xH 4h(s in t以上式中可知，方波由一系列正弦波 它們的初相位為同相。1. 用李薩如圖形反復調(diào)節(jié)各組移相

9、器調(diào)節(jié)方法是示波器 X軸輸入IKHz正弦波：而 Y軸輸入IKHz、3KHz 5KHz、7KHz正弦波在示波器上顯示如下波形時： N N NNY 輸入 IKHz 3KHz 5KHz7 KHz圖9基波和各次諧波與參考信號相位差都為 兀時的利薩如圖此時，基波和各階諧波初相位相同也可以用雙蹤示波器調(diào)節(jié) 1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波初相位同相1112. 調(diào)節(jié)1KHz、3KHz、5KHz 7KHz正弦波振幅比為 1: : : ?3 5 73?將 1KHz 3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次輸入加法器，觀察合成波形變化。B三角波的合成三角波傅里葉級數(shù)表示式：8h si n cot si

10、n3cot sin 5cc>t sin 7 (4) t f(t*- 丁丁1?將1KHz正弦波從X軸輸入，用李薩如圖形法調(diào)節(jié)各階諧波移相器調(diào)節(jié)初相位為如下列圖形：Y輸入1 KHnv w反 tfc 相 JRtfc+S 3KHz 5KHz圖10相鄰諧波相位相差二1 1 12. 調(diào)節(jié)基波和各階諧波振幅比為：1: : J。32 52 73. 將基波和各階諧波輸入加法器，輸出接示波器，可看到合成的三角波圖形。 【數(shù)據(jù)記錄及處理】1.方波的傅里葉分解表一：頻譜分解實驗數(shù)據(jù)。諧振頻率/KHz1無諧振3無諧振5諧振時電容值C/円C和G之間G和G之間相對振幅/cm李薩如圖A/與參考正弦波位相差71表二：電感損耗電阻實驗數(shù)據(jù)。取樣電阻R=門，信號源內(nèi)阻測量得r=門，電感L=0.1H使用頻率f /KHz損耗電阻Rl/Q1.003.005.00校正后基波和諧波的振幅比2傅里葉級數(shù)合成合成諧波1KHz1KHz, 3KHz1KHz, 3KHz , 5KHz1KHz，3KHz, 5KHz, 7KHz合成波形實驗結(jié)果分析：【考前須知】1. 分解時，觀測各諧波相位關(guān)系，可用本機提供的1KHz在正弦波做參考；2. 合成方波時，當發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)5KHz或7KHz正弦波相位無法調(diào)節(jié)至同相位時，可以改變1KHz或3KHz正弦