構(gòu)件的承載能力分析軸向拉伸與壓縮

1、直梁的彎曲7.1 梁的類型及計(jì)算簡(jiǎn)圖7.1.1 直梁平面彎曲的概念Concepts彎曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷作用下，使原為直線的軸線變?yōu)榍€的變形。梁Beam以彎曲變形為主的直桿稱為直梁，簡(jiǎn)稱梁。彎曲 bending平面彎曲 plane bending所有外力部作用在縱向?qū)ΨQ向內(nèi) 梁軸線蟲口線變?yōu)槠矫媲E，發(fā)朱平血彎用I7.1.2 梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖載荷：1 集中力 concentrated loads2 集中力偶force-couple3 分布載荷distributed loadsf q M()-m In bFa-T7.1.3 梁的類型(1)簡(jiǎn)支梁 simple supported bea

2、m上圖夕卜伸梁 overhanging beam和彎矩 bending moment7.2.1 梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力剪力shearing force問(wèn)題:任截面處有何內(nèi)力?該內(nèi)力正負(fù)如何規(guī)定?例7 - 1圖示的懸臂梁 AB ,長(zhǎng)為丨，受均布載荷 q的作用，求梁各橫截面上的內(nèi)力inkII1II1IlliBI 4求內(nèi)力的方法一一截面法截面法的核心一一截開、代替、平衡內(nèi)力與外力平衡解：為了顯示任一橫截面上的內(nèi)力，假想在距梁的左端為x處沿m-m 截面將梁切開梁發(fā)生彎曲變形時(shí)，橫截面上同時(shí)存在著兩種內(nèi)力 剪力一一作用線切于截面、通過(guò)截面形心并在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎矩一一位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。剪切彎曲一一橫截面上

3、既有剪力又有彎矩的彎曲純彎曲一一梁的橫截面上只有彎矩而沒(méi)有剪力。工程上一般梁跨度L與橫截面高度 h之比L/h > 5，其剪力對(duì)強(qiáng)度和剛度的影響很小，可忽略不計(jì),故只需考慮彎矩的影響而近似地作為純彎曲處理。規(guī)定：使梁彎曲成上凹下凸的形狀時(shí)，那么彎矩為正；反之使梁彎曲成下凹上凸形狀時(shí)，彎矩為負(fù)7.2.2 彎矩圖 bending moment diagrams彎矩圖：以與梁軸線平行的坐標(biāo) x表示橫截面位置，縱坐標(biāo) y按一定比例表示各截面上相應(yīng)彎矩的大小。例7 2 試作出例7 - 1中懸臂梁的彎矩圖。解(1)建立彎矩方程 由例7 1知彎矩方程為1 tM -qx0 < -v< /(2

4、)畫彎矩圖彎矩方程為一元二次方程，其圖象為拋物線。求出其極值點(diǎn)相連便可近似作出其彎矩圖。x = 0M = 01 2X = ZM ql二?1 ,x= -M = 一qt22尹例7 3 圖示的簡(jiǎn)支梁 AB，在C點(diǎn)處受到集中力 F作用，尺寸a、b和丨均為，試作出梁的彎矩圖LA/1 = 0F-F口 = QLA僉=0Fb-FA/ = 0(2 )建立彎矩方程上例中梁受連續(xù)均布載荷作用， 各橫截面上的彎矩為 x的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，故彎矩可用一個(gè)方程來(lái)表達(dá)，而本例在梁的 C點(diǎn)處有集中力F作用，所以梁應(yīng)分成 AC和BC兩段分別建立彎矩方程。0<Xj <a 皿=昭=珥a <X<1 M-巧勺 +

5、鞏.勺一 口)二 0M - Fax> - F(x2 -a) = Fx2 - Fx: +aF = - Fx + aF例7 4 圖示的簡(jiǎn)支梁 AB，在C點(diǎn)處受到集中力偶 M 0作用，尺寸 a、 b和丨均為，試作出梁的 彎矩圖。解1求約束反力2 建立彎矩方程 由于梁在C點(diǎn)處有集中力偶 M作用，所以梁應(yīng)分 AC和BC兩段分別建立彎矩方程。ac段M -巧旺二西日匚段 M = Afg F2 策？0 << aa<x7<l3 畫彎矩圖兩個(gè)彎矩方程均為直線方程= 0M = 0&= a= A/q兀2 = I2M = 00總結(jié)上面例題，可以得到作彎矩圖的幾點(diǎn)規(guī)律：1梁受集中力或

6、集中力偶作用時(shí)，彎矩圖為直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折；在集中力偶作用處, 彎矩發(fā)生突變，突變量為集中力偶的大小。(2)梁受到均布載荷作用時(shí)，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開口方向與均布載荷的方向一致。(3 )梁的兩端點(diǎn)假設(shè)無(wú)集中力偶作用，那么端點(diǎn)處的彎矩為0 ;假設(shè)有集中力偶作用時(shí)，那么彎矩為集中力偶的大小。7.3梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件731 梁純彎曲(pure bending )的概念 Concepts純彎曲一一梁的橫截面上只有彎矩而沒(méi)有剪力。Q = 0 ，M =常數(shù)。7.3.2 梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力Normal Stresses in Beams1 .梁純彎曲時(shí)的 變形特點(diǎn) Ge

7、ometry of Deformation:平面假設(shè):1變形前為平面變形后仍為平面2始終垂直與軸線中性層 Neutral Surface:既不縮短也不伸長(zhǎng)不受壓不受拉。中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界面。中性軸Neutral Axis:中性層與橫截面的交線。變形時(shí)橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。2梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律純彎曲時(shí)梁橫截面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長(zhǎng)是線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng) 力沿橫截面高度方向也是線性分布的。以中性軸為界，凹邊是壓應(yīng)力，使梁縮短，凸邊是拉應(yīng)力，使梁伸長(zhǎng)，橫截面上同一高度各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，距 中性軸最

8、遠(yuǎn)點(diǎn)有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零。3 梁純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式在彈性范圍內(nèi)，經(jīng)推導(dǎo)可得梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為式中，M 為作用在該截面上的彎矩Nmm ； y為計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離mm ； I z Moment of Areaabout Z-axis為橫截面對(duì)中性軸 z的慣性矩mm 4 。在中性軸上 y = 0 ，所以 s = 0 ；當(dāng) y = y max 時(shí)，s = s max 。最大正應(yīng)力產(chǎn)生在離中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，Wz橫截面對(duì)中性軸 z的抗彎截面模量mm 3 計(jì)算時(shí)，M和y均以絕對(duì)值代入，至于彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，那么由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處于受拉側(cè)還是 受

9、壓側(cè)來(lái)判斷。受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。彎曲正應(yīng)力計(jì)算式雖然是在純彎曲的情況下導(dǎo)出的，但對(duì)于剪切彎曲的梁，只要其跨度 L與橫截面高度比L/h > 5，仍可運(yùn)用這些公式計(jì)算彎曲正應(yīng)力。7.3.3 慣性矩和抗彎截面模量簡(jiǎn)單截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算公式駕 0.05D1石)d a D眄二眄二亠(1z 32“uy【i/)(ia =D7. 3.4梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件對(duì)于等截面梁，彎矩最大的截面就是危險(xiǎn)截面，其上、下邊緣各點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力即為最大工作應(yīng)力，具有最大工 作應(yīng)力的點(diǎn)一般稱為危險(xiǎn)點(diǎn)。梁的彎曲強(qiáng)度條件是：梁內(nèi)危險(xiǎn)點(diǎn)的工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力運(yùn)用梁的彎曲強(qiáng)度條件，可對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度

10、校核、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。例7-6在例了一呂中的簡(jiǎn)支樂(lè)，假設(shè)選用C-"加和川的空心國(guó)死 截面鋼制造*己.知梁的蹲展Un fl-JjWf戻2刖，臬中轂荷F-25iN許 州正應(yīng)mpWMPe 不計(jì)梁的自重，試校核該梁的強(qiáng)險(xiǎn)解1確定咼人彎矩?fù)?jù)例T 撿鈦旳最犬彎矩為1 1QJ 2xlO53価25 > 10V-/iw = 1.667xl0 mm確定抗駕裁閆理量3校核強(qiáng)度L667X1018 7a10j< rr | = 200A侃2所虬該毘強(qiáng)度足夠7.4提高梁強(qiáng)度的主要措施提高梁強(qiáng)度的主要措施是:1 降低彎矩M的數(shù)值2增大抗彎截面模量W z的數(shù)值7.4.1 降低最大彎矩 M max數(shù)值的措施1 .合理安排梁的支承2 .合理布置載荷7.4.2合理選擇梁的截面1 .形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式，那么Wz值可能不相同2 .面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模量Wz值不相同3.截面形狀應(yīng)與材料特性相適應(yīng)