線性系統(tǒng)特征根與零輸入響應分析

1、證明：1）若A矩陣的所有特征根均有負實部，響應系統(tǒng)的零輸入響應在t-8時趨近于零，給出例子；2）若A矩陣有正實部特征根時，系統(tǒng)的零輸入響應可能趨近于零，給出正反兩個例子；3）若A矩陣有實部為零的特征根，而其他特征根的實部均為負，則當純虛根的重數大于1時，系統(tǒng)的零輸入響應可能會趨近于零，給出正反兩個例子；（CW0）4）討論上述各種情況與系統(tǒng)傳遞函數的零極點對消的關系，針對所舉的例子作說明。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為:X=AX+BUy=CX+DU當系統(tǒng)的的輸入為零時，則狀態(tài)空間描述可寫為：X=AXy=CX那么該系統(tǒng)的輸出為(t>0):y=CeAtX(0)而eAt=L-1(SI-A)-1將式1-4代

2、入1-3中有：y=CL1(SI-A)-1X(0)設其拉氏變換為：D(S)=D(S)N(s)=(S-g)(S-a2)(S-03)?(S-寄-1)(S-%)其中N(s)的階次大于D(s)的階次。那么式1-6可化為：D(S)8皮國,-1再rrrzr=-r+-r+=:+?+:+-:N(S)(S-OCi)(S-0C2)(S-0(3)(S-On-1)(S-On)1-71)由于A矩陣的特征根均有負實部，即“1、勾、03?孫-1、%均在復平面的左邊，那么對上式進行拉式反變換有：L-1(黑)=31ea1t+feea2t+feea3t+?+3n-1e"1t+3neantN(S).“1、2、”3?如-1、

3、%均在復平面的左邊,t-8.當t-oo時，e型一0,則有當t一8時，y?0例1:設有一狀態(tài)空間模型為:1 0U0-14-7.875-5.625800X+020y=00.6250.625X取初始狀態(tài)為X（0）=1,其零輸入響應如圖表 1所示:圖表2可以看到在t-8時有，其零輸入響應趨近于0。2)若A矩陣有正實部特征根時，由式1-7,我們可以取練有正實部(然為出、生、口3?%-1、方中的某一個數)，那么4的拉式反變換為國eakt。S-akV為有正實部.&eakt在t一00時發(fā)散。即該系統(tǒng)的零輸入響應在非零狀態(tài)下且t00時趨近于OO若式1-6可化為D(S)=D'(S)(S-碌)N(S

4、)=(S-ai)(S-a2)?(S-俅)？(S-On-1)(S-On)則：D(S)D'(S)-=:N(S)(S-ai)(S-02)?(S-寄-i)(S-On)可以看到極點練與零點練抵消了，由式2-1與式1-6類似t->oo當t8,依然有y?0。例2：設有一狀態(tài)空間模型為：-32.530.5X=400X+0U0200y=00.50.25X1取初始狀態(tài)為X(0)=1,其零輸入響應如圖表2所示：1口/i;n5，5一圖表2可以看到在t-8時有，其零輸入響應趨近于8。例3:設有一狀態(tài)空間模型為：-32.531X=400X+0U0200y=00.25-0.375X1取初始狀態(tài)為X(0)=1,

5、其零輸入響應如圖表3所示：1圖表3可以看到在t-8時有，其零輸入響應趨近于0。例2,例3系統(tǒng)的特征根相同，但是他們同狀態(tài)下的響應卻不同，前者在t-8時其零輸入響應趨近于8,而后者在t-8時其零輸入響應趨近于0。s-3由于例3系統(tǒng)的傳遞函數為y=(s+2)(S-3)(s+4)，顯然s-3項上下抵消，所以該系統(tǒng)等效的傳遞函數為y=高即，此時特征根3并不影響系統(tǒng)的輸出。D(S) = _N(s) = (s-D(S)我們抽出重根項:L-1 % S3 z (S2+自1 S3ai)( S-Pk2S2(S2+ ak)2 +3k2S222) ? (S2 + ok)2 ? (S- o(n-i )( S-on)Pk

6、3S1+“4(S2+ ak)(S2+ «k)柒3©3k4(S2 +ok)2(S2+ok)2(S2+ok)2(S +ok)2 = (at + b)sin w t3)若A矩陣有實部為零的特征根，而其他特征根的實部均為負，且純虛根的重數大于1。我們以純虛根的重數等于2為例，朱為正實數，那么式1-6可寫為：其中a,b,3均為常數，a、3w0。當t一8時，at一oo,所以有y可能趨近于8(在±8處而當式3-1能化為：D(S)=D10(82+綜)2N()=(S-3(S-a?)?(S2+穌)2?(S-寄-1)(S-%)可以看出重根項可以被消除，則式3-3可寫為：D(S)_D&#

7、39;(S)N(s)=(S-%)(S-吩2(S-寄-1)(S-寄)t->oo由1)可得：當t一8時，e«it0,則有當t一OO時，y?01例4：設有一狀態(tài)空間模型為：-5-2.5-1.25-0.875-0.625-0.750.254000000X=040000X+0U002000000100000001001y:=00000.1250.125X取初始狀態(tài)為X(0)：1=11,其零輸入響應如圖表4所示：圖表4可以看到在t-8時有，其零輸入響應趨近于8(在±8處震蕩)。例5:設有一狀態(tài)空間模型為:-5-2.5-2.5-3.5-2.5-324000000X=020000X+

8、0U001000000010000000100y=0.50.1250.250.250.250.25X二中看I圖表5可以看到在t-8時有，其零輸入響應趨近于0。例4,例5系統(tǒng)的特征根相同，但是他們同狀態(tài)下的響應卻不同，前者在t8時其零輸入響應趨近于+po,而后者在t8時其零輸入響應趨近于0。（s+1）（s2+2）2由于例5系統(tǒng)的傳遞函數為y=（s+（2）（s2（+2）2（S+3），顯然S-3項上下抵消，所以該系統(tǒng)等效的傳遞函數為y=肅焉,此時重虛根并不影響系統(tǒng)的輸出。4）當A矩陣的所有特征根均有負實部，響應系統(tǒng)的零輸入響應在t-8時趨近于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如例1所示。當A矩陣有正實部特征根時，系統(tǒng)的零輸入響應可能趨近于零，此時系統(tǒng)部分狀態(tài)不穩(wěn)定。由于系統(tǒng)結構，可能存在系統(tǒng)的輸出與這部分不穩(wěn)定的狀態(tài)無關，即存在零極點對消的情況，把正實部特征根抵消了。那么系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。如例2、例3所示.當A矩陣有實部為零的特征根，而其他特征根的實部均為負，則當純虛根的重數大于1時，系統(tǒng)的零輸入響應可能會趨近于零。1.當它的重數為1時，其它特征根均有負實部，且沒有被零點抵消，此時系統(tǒng)狀態(tài)臨界穩(wěn)定，系統(tǒng)輸出臨界穩(wěn)定。2.當存在零極點對消，把純虛根抵消了，此時系統(tǒng)的輸出與該特征根無關，系統(tǒng)狀態(tài)臨界穩(wěn)定，系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。3.當它的重數為2時，其它特征根均有負實部，且沒有被零點抵消，此時系統(tǒng)狀態(tài)不穩(wěn)定，