全國卷數(shù)學導數(shù)真題整理

1、全國卷數(shù)學導數(shù)真題整理參考答案與試題解析一解答題（共14小題）1（2015河北）已知函數(shù)f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）當 a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）用min m，n 表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min f（x），g（x）（x0），討論h（x）零點的個數(shù)【分析】（i）f（x）=3x2+a設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點P（x0，0），則f（x0）=0，f（x0）=0解出即可（ii）對x分類討論：當x（1，+）時，g（x）=lnx0，可得函數(shù)h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，即可得出零點的個數(shù)當x=1時，對a分類討論：a，a，即可得出

2、零點的個數(shù)；當x（0，1）時，g（x）=lnx0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)即可對a分類討論：當a3或a0時，當3a0時，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出【解答】解：（i）f（x）=3x2+a設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點P（x0，0），則f（x0）=0，f（x0）=0，解得，a=因此當a=時，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）當x（1，+）時，g（x）=lnx0，函數(shù)h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，故h（x）在x（1，+）時無零點當x=1時，若a，則f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=g（1）=0，故x=1是函數(shù)h（x）的一個零點；若

3、a，則f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=f（1）0，故x=1不是函數(shù)h（x）的零點；當x（0，1）時，g（x）=lnx0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點個數(shù)即可當a3或a0時，f（x）=3x2+a在（0，1）內(nèi)無零點，因此f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)，而f（0）=，f（1）=a+，當a3時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個零點，當a0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)沒有零點當3a0時，函數(shù)f（x）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故當x=時，f（x）取得最小值=若0，即，則f（x）在（0，1）內(nèi)無零點若=0，即a=，則f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一零點若0，即，由

4、f（0）=，f（1）=a+，當時，f（x）在（0，1）內(nèi)有兩個零點當3a時，f（x）在（0，1）內(nèi)有一個零點綜上可得：當或a時，h（x）有一個零點；當a=或時，h（x）有兩個零點；當時，函數(shù)h（x）有三個零點【點評】本題考查了導數(shù)的運算法則、利用導數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題2（2015新課標II）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2mx（1）證明：f（x）在（，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增；（2）若對于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范圍【分析】（1）利用f（x）0說明函數(shù)為增函數(shù)

5、，利用f（x）0說明函數(shù)為減函數(shù)注意參數(shù)m的討論；（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在1，0單調(diào)遞減，在0，1單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題從而求得m的取值范圍【解答】解：（1）證明：f（x）=m（emx1）+2x若m0，則當x（，0）時，emx10，f（x）0；當x（0，+）時，emx10，f（x）0若m0，則當x（，0）時，emx10，f（x）0；當x（0，+）時，emx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）時單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在1，0單調(diào)遞減，在0，1單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值所以對于任意x1，x21，

6、1，|f（x1）f（x2）|e1的充要條件是即設(shè)函數(shù)g（t）=ette+1，則g（t）=et1當t0時，g（t）0；當t0時，g（t）0故g（t）在（，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增又g（1）=0，g（1）=e1+2e0，故當t1，1時，g（t）0當m1，1時，g（m）0，g（m）0，即合式成立；當m1時，由g（t）的單調(diào)性，g（m）0，即emme1當m1時，g（m）0，即em+me1綜上，m的取值范圍是1，1【點評】本題主要考查導數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應用和恒成立在求參數(shù)中的應用屬于難題，高考壓軸題3（2014廣西）函數(shù)f（x）=ln（x+1）（a1）（）討論f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)a1=1

7、，an+1=ln（an+1），證明：an【分析】（）求函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的取值范圍，即可得到f（x）的單調(diào)性；（）利用數(shù)學歸納法即可證明不等式【解答】解：（）函數(shù)f（x）的定義域為（1，+），f（x）=，當1a2時，若x（1，a22a），則f（x）0，此時函數(shù)f（x）在（1，a22a）上是增函數(shù)，若x（a22a，0），則f（x）0，此時函數(shù)f（x）在（a22a，0）上是減函數(shù)，若x（0，+），則f（x）0，此時函數(shù)f（x）在（0，+）上是增函數(shù)當a=2時，f（x）0，此時函數(shù)f（x）在（1，+）上是增函數(shù)，當a2時，若x（1，0），則f（x）0，此時函數(shù)f（x）在（1，0）上是增函數(shù)，若x

8、（0，a22a），則f（x）0，此時函數(shù)f（x）在（0，a22a）上是減函數(shù)，若x（a22a，+），則f（x）0，此時函數(shù)f（x）在（a22a，+）上是增函數(shù)（）由（）知，當a=2時，此時函數(shù)f（x）在（1，+）上是增函數(shù)，當x（0，+）時，f（x）f（0）=0，即ln（x+1），（x0），又由（）知，當a=3時，f（x）在（0，3）上是減函數(shù)，當x（0，3）時，f（x）f（0）=0，ln（x+1），下面用數(shù)學歸納法進行證明an成立，當n=1時，由已知，故結(jié)論成立假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即，則當n=k+1時，an+1=ln（an+1）ln（），an+1=ln（an+1）ln（），即當n=k+1

9、時，成立，綜上由可知，對任何nN結(jié)論都成立【點評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，以及利用數(shù)學歸納法證明不等式，綜合性較強，難度較大4（2014新課標II）已知函數(shù)f（x）=exex2x（）討論f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)g（x）=f（2x）4bf（x），當x0時，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）【分析】對第（）問，直接求導后，利用基本不等式可達到目的；對第（）問，先驗證g（0）=0，只需說明g（x）在0+）上為增函數(shù)即可，從而問題轉(zhuǎn)化為“判斷g（x）0是否成立”的問題；對第（）問，根據(jù)第（）問的結(jié)論，設(shè)法利用的近似值，并尋

10、求ln2，于是在b=2及b2的情況下分別計算，最后可估計ln2的近似值【解答】解：（）由f（x）得f（x）=ex+ex2，即f（x）0，當且僅當ex=ex即x=0時，f（x）=0，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，則g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，當2b4，即b2時，g（x）0，當且僅當x=0時取等號，從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，x0時，g（x）0，符合題意當

11、b2時，若x滿足2ex+ex2b2即，得，此時，g（x）0，又由g（0）=0知，當時，g（x）0，不符合題意綜合、知，b2，得b的最大值為2（）1.41421.4143，根據(jù)（）中g(shù)（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，為了湊配ln2，并利用的近似值，故將ln即代入g（x）的解析式中，得當b=2時，由g（x）0，得，從而；令，得2，當時，由g（x）0，得，得所以ln2的近似值為0.693【點評】1本題三個小題的難度逐步增大，考查了學生對函數(shù)單調(diào)性深層次的把握能力，對思維的要求較高，屬壓軸題2從求解過程來看，對導函數(shù)解析式的合理變形至關(guān)重要，因為這直接影響到對導數(shù)符號的判斷，是解決

12、本題的一個重要突破口3本題的難點在于如何尋求ln2，關(guān)鍵是根據(jù)第（2）問中g(shù)（x）的解析式探究b的值，從而獲得不等式，這樣自然地將不等式放縮為的范圍的端點值，達到了估值的目的5（2014新課標I）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處得切線方程為y=e（x1）+2（）求a、b；（）證明：f（x）1【分析】（）求出定義域，導數(shù)f（x），根據(jù)題意有f（1）=2，f（1）=e，解出即可；（）由（）知，f（x）1等價于xlnxxex，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，函數(shù)h（x）=，只需證明g（x）minh（x）max，利用導數(shù)可分別求得g（x）min，h（x）max；【解答】解

13、：（）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+），f（x）=+，由題意可得f（1）=2，f（1）=e，故a=1，b=2；（）由（）知，f（x）=exlnx+，f（x）1，exlnx+1，lnx，f（x）1等價于xlnxxex，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g（x）=1+lnx，當x（0，）時，g（x）0；當x（，+）時，g（x）0故g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，從而g（x）在（0，+）上的最小值為g（）=設(shè)函數(shù)h（x）=xex，則h（x）=ex（1x）當x（0，1）時，h（x）0；當x（1，+）時，h（x）0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，從而h（x）在（

14、0，+）上的最大值為h（1）=綜上，當x0時，g（x）h（x），即f（x）1【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式等，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析解決問題的能力6（2013新課標）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2時，f（x）kg（x），求k的取值范圍【分析】（）對f（x），g（x）進行求導，已知在交點處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；（）由（I）得出f（x

15、），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導函數(shù)，通過對k的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）kg（x）恒成立，從而求出k的范圍【解答】解：（）由題意知f（0）=2，g（0）=2，f（0）=4，g（0）=4，而f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，從而a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）設(shè)F（x）=kg（x）f（x）=2kex（x+1）x24x2，則F（x）=2kex（x+2）2x4=2（x+2）（kex1），由題設(shè)得F（0）0，即k1，令F（x）=0，得x1=lnk

16、，x2=2，若1ke2，則2x10，從而當x（2，x1）時，F(xiàn)（x）0，當x（x1，+）時，F(xiàn)（x）0，即F（x）在（2，x1）上減，在（x1，+）上是增，故F（x）在2，+）上的最小值為F（x1），而F（x1）=x1（x1+2）0，x2時F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若k=e2，則F（x）=2e2（x+2）（exe2），從而當x（2，+）時，F(xiàn)（x）0，即F（x）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故當x2時，F(xiàn)（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若ke2時，F(xiàn)（x）2e2（x+2）（exe2），而F（2）=2ke2+20，所以當x2時，f（x）kg（x）不恒成立，綜上，k的取值范圍

17、是1，e2【點評】此題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題7（2013新課標）已知函數(shù)f（x）=exln（x+m）（）設(shè)x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（）當m2時，證明f（x）0【分析】（）求出原函數(shù)的導函數(shù)，因為x=0是函數(shù)f（x）的極值點，由極值點處的導數(shù)等于0求出m的值，代入函數(shù)解析式后再由導函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）證明當m2時，f（x）0，轉(zhuǎn)化為證明當m=2時f（x）0求出當m=2時函數(shù)的導函數(shù)，可知導函數(shù)在（2，+）上為增函數(shù)，并進一步得到導

18、函數(shù)在（1，0）上有唯一零點x0，則當x=x0時函數(shù)取得最小值，借助于x0是導函數(shù)的零點證出f（x0）0，從而結(jié)論得證【解答】（）解：，x=0是f（x）的極值點，解得m=1所以函數(shù)f（x）=exln（x+1），其定義域為（1，+）設(shè)g（x）=ex（x+1）1，則g（x）=ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（1，+）上為增函數(shù)，又g（0）=0，所以當x0時，g（x）0，即f（x）0；當1x0時，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（1，0）上為減函數(shù)；在（0，+）上為增函數(shù)；（）證明：當m2，x（m，+）時，ln（x+m）ln（x+2），故只需證明當m=2時f（x）0當m=2時，函數(shù)在（2，

19、+）上為增函數(shù)，且f（1）0，f（0）0故f（x）=0在（2，+）上有唯一實數(shù)根x0，且x0（1，0）當x（2，x0）時，f（x）0，當x（x0，+）時，f（x）0，從而當x=x0時，f（x）取得最小值由f（x0）=0，得，ln（x0+2）=x0故f（x）=0綜上，當m2時，f（x）0【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了不等式的證明，考查了函數(shù)與方程思想，分類討論的數(shù)學思想，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力熟練函數(shù)與導數(shù)的基礎(chǔ)知識是解決該題的關(guān)鍵，是難題8（2013秋梁子湖區(qū)校級月考）已知函數(shù)（I）若x0時，f（x）0，求的最小值；（II）設(shè)

20、數(shù)列an的通項an=1+【分析】（I）由于已知函數(shù)的最大值是0，故可先求出函數(shù)的導數(shù)，研究其單調(diào)性，確定出函數(shù)的最大值，利用最大值小于等于0求出參數(shù)的取值范圍，即可求得其最小值；（II）根據(jù)（I）的證明，可取=，由于x0時，f（x）0得出，考察發(fā)現(xiàn)，若取x=，則可得出，以此為依據(jù)，利用放縮法，即可得到結(jié)論【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f（x）=，f（0）=0欲使x0時，f（x）0恒成立，則f（x）在（0，+）上必為減函數(shù)，即在（0，+）上f（x）0恒成立，當0時，f（x）0在（0，+）上恒成立，為增函數(shù)，故不合題意，若0時，由f（x）0解得x，則當0x，f（x）0，所以當0x時，f（

21、x）0，此時不合題意，若，則當x0時，f（x）0恒成立，此時f（x）在（0，+）上必為減函數(shù)，所以當x0時，f（x）0恒成立，綜上，符合題意的的取值范圍是，即的最小值為（ II）令=，由（I）知，當x0時，f（x）0，即取x=，則于是a2nan+=+=ln2nlnn=ln2所以【點評】本題考查了數(shù)列中證明不等式的方法及導數(shù)求最值的普通方法，解題的關(guān)鍵是充分利用已有的結(jié)論再結(jié)合放縮法，本題考查了推理判斷的能力及轉(zhuǎn)化化歸的思想，有一定的難度9（2013秋城關(guān)區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x0，（）討論f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)f（x）1+sinx，求a的取值范圍【分析】（）求導函數(shù)，可

22、得f'（x）=asinx，x0，sinx0，1，對a進行分類討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，可得a，構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx（0x），可得g（x）0（0x），再考慮：0x；，即可得到結(jié)論【解答】解：（）求導函數(shù)，可得f'（x）=asinx，x0，sinx0，1；當a0時，f'（x）0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；當a1 時，f'（x）0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；當0a1時，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=arcsina當x0，x1時，sinxa，f'（x）0，f（x）單調(diào)遞增當xx1，x2時

23、，sinxa，f'（x）0，f（x）單調(diào)遞減當xx2，時，sinxa，f'（x）0，f（x）單調(diào)遞增； （）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，a令g（x）=sinx（0x），則g（x）=cosx當x時，g（x）0，當時，g（x）0，g（x）0，即（0x），當a時，有當0x時，cosx1，所以f（x）1+sinx；當時，=1+1+sinx綜上，a【點評】本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導，確定函數(shù)的單調(diào)性10（2011新課標）已知函數(shù)f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為x+2y3=0（）求a、b的值；（

24、）如果當x0，且x1時，f（x）+，求k的取值范圍【分析】（I）求出函數(shù)的導數(shù)；利用切線方程求出切線的斜率及切點；利用函數(shù)在切點處的導數(shù)值為曲線切線的斜率及切點也在曲線上，列出方程組，求出a，b值（II）將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)，求出新函數(shù)的導數(shù)，對參數(shù)k分類討論，判斷出導函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求出參數(shù)k的范圍【解答】解：由題意f（1）=1，即切點坐標是（1，1）（）由于直線x+2y3=0的斜率為，且過點（1，1），故即解得a=1，b=1（）由（）知，所以）考慮函數(shù)（x0），則（i）設(shè)k0，由知，當x1時，h（x）0而h（1）=0，故當x（0，1）時，h（x）0，可得；

25、當x（1，+）時，h（x）0，可得h（x）0從而當x0，且x1時，f（x）（+）0，即f（x）+（ii）設(shè)0k1由于當x（1，）時，（k1）（x2+1）+2x0，故h（x）0，而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）0，可得h（x）0，與題設(shè)矛盾（iii）設(shè)k1此時h（x）0，而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）0，可得h（x）0，與題設(shè)矛盾綜合得，k的取值范圍為（，0【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點處的導數(shù)值是切線的斜率、考查構(gòu)造函數(shù)，通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值、考查了分類討論的數(shù)學思想方法11（2010全國卷）設(shè)函數(shù)f（x）=1ex（）證明：當x1時，f（

26、x）；（）設(shè)當x0時，f（x），求a的取值范圍【分析】（1）將函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）整理成ex1+x，組成新函數(shù)g（x）=exx1，然后根據(jù)其導函數(shù)判斷單調(diào)性進而可求出函數(shù)g（x）的最小值g（0），進而g（x）g（0）可得證（2）先確定函數(shù)f（x）的取值范圍，然后對a分a0和a0兩種情況進行討論當a0時根據(jù)x的范圍可直接得到f（x）不成立；當a0時，令h（x）=axf（x）+f（x）x，然后對函數(shù)h（x）進行求導，根據(jù)導函數(shù)判斷單調(diào)性并求出最值，求a的范圍【解答】解：（1）當x1時，f（x）當且僅當ex1+x令g（x）=exx1，則g'（x）=ex1當x0時g'（x）

27、0，g（x）在0，+）是增函數(shù)當x0時g'（x）0，g（x）在（，0是減函數(shù)于是g（x）在x=0處達到最小值，因而當xR時，g（x）g（0）時，即ex1+x所以當x1時，f（x）（2）由題意x0，此時f（x）0當a0時，若x，則0，f（x）不成立；當a0時，令h（x）=axf（x）+f（x）x，則f（x）當且僅當h（x）0因為f（x）=1ex，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）1=af（x）axf（x）+axf（x）（i）當0a時，由（1）知x（x+1）f（x）h'（x）af（x）axf（x）+a（x+1）f（x）f（x）=（2a1）

28、f（x）0，h（x）在0，+）是減函數(shù)，h（x）h（0）=0，即f（x）（ii）當a時，由（i）知xf（x）h'（x）=af（x）axf（x）+axf（x）af（x）axf（x）+af（x）f（x）=（2a1ax）f（x）當0x時，h'（x）0，所以h'（x）0，所以h（x）h（0）=0，即f（x）綜上，a的取值范圍是0，【點評】本題主要考查導數(shù)的應用和利用導數(shù)證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力；導數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，還要求考生具有較強的

29、分析能力和計算能力估計以后對導數(shù)的考查力度不會減弱作為壓軸題，主要是涉及利用導數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導數(shù)證明不等式等，常伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點之所在12（2010全國卷）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnxx+1（）若xf（x）x2+ax+1，求a的取值范圍；（）證明：（x1）f（x）0【分析】（）先根據(jù)導數(shù)公式求出導函數(shù)f（x），代入xf（x）x2+ax+1，將a分離出來，然后利用導數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值，從而求出參數(shù)a的取值范圍；（）根據(jù)（I）可知g（x）g（1）=1即lnxx+10，然后討論a與1的大小，從而確定（x1）的符號，然后判定f（x）與0的大小即可證得結(jié)論【解答】解

30、：（），xf（x）=xlnx+1，題設(shè)xf（x）x2+ax+1等價于lnxxa令g（x）=lnxx，則 當0x1，g（x）0；當x1時，g（x）0，x=1是g（x）的最大值點，g（x）g（1）=1 綜上，a的取值范圍是1，+）（）由（）知，g（x）g（1）=1即lnxx+10當0x1時，f（x）=（x+1）lnxx+1=xlnx+（lnxx+1）0；當x1時，f（x）=lnx+（xlnxx+1）=0 所以（x1）f（x）0【點評】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用參數(shù)分離法求參數(shù)的取值范圍，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題13（2009全國卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個極值點x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；（）證明：f（x2）【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)f（x），令g（x）=2x2+2x+a，由題意知x1、x2是方程g（x）=0的兩個均大于1的不相等的實根，建立不等關(guān)系解之即可，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f（x）0和f（x）0，求出單調(diào)區(qū)間；（2）x2是方程g（x）=0的根，將a用x2表示，消去a得到關(guān)于x2的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可