全國(guó)卷數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)真題整理

1、全國(guó)卷數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)真題整理參考答案與試題解析一解答題（共14小題）1（2015河北）已知函數(shù)f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）當(dāng) a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）用min m，n 表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=min f（x），g（x）（x0），討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【分析】（i）f（x）=3x2+a設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點(diǎn)P（x0，0），則f（x0）=0，f（x0）=0解出即可（ii）對(duì)x分類(lèi)討論：當(dāng)x（1，+）時(shí)，g（x）=lnx0，可得函數(shù)h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)a分類(lèi)討論：a，a，即可得出

2、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)x（0，1）時(shí)，g（x）=lnx0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可對(duì)a分類(lèi)討論：當(dāng)a3或a0時(shí)，當(dāng)3a0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出【解答】解：（i）f（x）=3x2+a設(shè)曲線y=f（x）與x軸相切于點(diǎn)P（x0，0），則f（x0）=0，f（x0）=0，解得，a=因此當(dāng)a=時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）當(dāng)x（1，+）時(shí)，g（x）=lnx0，函數(shù)h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，故h（x）在x（1，+）時(shí)無(wú)零點(diǎn)當(dāng)x=1時(shí)，若a，則f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=g（1）=0，故x=1是函數(shù)h（x）的一個(gè)零點(diǎn)；若

3、a，則f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=f（1）0，故x=1不是函數(shù)h（x）的零點(diǎn)；當(dāng)x（0，1）時(shí)，g（x）=lnx0，因此只考慮f（x）在（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可當(dāng)a3或a0時(shí)，f（x）=3x2+a在（0，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，因此f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)，而f（0）=，f（1）=a+，當(dāng)a3時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)當(dāng)3a0時(shí)，函數(shù)f（x）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最小值=若0，即，則f（x）在（0，1）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)若=0，即a=，則f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一零點(diǎn)若0，即，由

4、f（0）=，f（1）=a+，當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)3a時(shí)，f（x）在（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)綜上可得：當(dāng)或a時(shí)，h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=或時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)h（x）有三個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類(lèi)討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題2（2015新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2mx（1）證明：f（x）在（，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范圍【分析】（1）利用f（x）0說(shuō)明函數(shù)為增函數(shù)

5、，利用f（x）0說(shuō)明函數(shù)為減函數(shù)注意參數(shù)m的討論；（2）由（1）知，對(duì)任意的m，f（x）在1，0單調(diào)遞減，在0，1單調(diào)遞增，則恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問(wèn)題從而求得m的取值范圍【解答】解：（1）證明：f（x）=m（emx1）+2x若m0，則當(dāng)x（，0）時(shí)，emx10，f（x）0；當(dāng)x（0，+）時(shí)，emx10，f（x）0若m0，則當(dāng)x（，0）時(shí)，emx10，f（x）0；當(dāng)x（0，+）時(shí)，emx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）時(shí)單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增（2）由（1）知，對(duì)任意的m，f（x）在1，0單調(diào)遞減，在0，1單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值所以對(duì)于任意x1，x21，

6、1，|f（x1）f（x2）|e1的充要條件是即設(shè)函數(shù)g（t）=ette+1，則g（t）=et1當(dāng)t0時(shí)，g（t）0；當(dāng)t0時(shí)，g（t）0故g（t）在（，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增又g（1）=0，g（1）=e1+2e0，故當(dāng)t1，1時(shí)，g（t）0當(dāng)m1，1時(shí)，g（m）0，g（m）0，即合式成立；當(dāng)m1時(shí)，由g（t）的單調(diào)性，g（m）0，即emme1當(dāng)m1時(shí)，g（m）0，即em+me1綜上，m的取值范圍是1，1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應(yīng)用和恒成立在求參數(shù)中的應(yīng)用屬于難題，高考?jí)狠S題3（2014廣西）函數(shù)f（x）=ln（x+1）（a1）（）討論f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)a1=1

7、，an+1=ln（an+1），證明：an【分析】（）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的取值范圍，即可得到f（x）的單調(diào)性；（）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式【解答】解：（）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），f（x）=，當(dāng)1a2時(shí)，若x（1，a22a），則f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（1，a22a）上是增函數(shù)，若x（a22a，0），則f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a22a，0）上是減函數(shù)，若x（0，+），則f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+）上是增函數(shù)當(dāng)a=2時(shí)，f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（1，+）上是增函數(shù)，當(dāng)a2時(shí)，若x（1，0），則f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（1，0）上是增函數(shù)，若x

8、（0，a22a），則f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，a22a）上是減函數(shù)，若x（a22a，+），則f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（a22a，+）上是增函數(shù)（）由（）知，當(dāng)a=2時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）在（1，+）上是增函數(shù)，當(dāng)x（0，+）時(shí)，f（x）f（0）=0，即ln（x+1），（x0），又由（）知，當(dāng)a=3時(shí)，f（x）在（0，3）上是減函數(shù)，當(dāng)x（0，3）時(shí)，f（x）f（0）=0，ln（x+1），下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明an成立，當(dāng)n=1時(shí)，由已知，故結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，an+1=ln（an+1）ln（），an+1=ln（an+1）ln（），即當(dāng)n=k+1

9、時(shí)，成立，綜上由可知，對(duì)任何nN結(jié)論都成立【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，綜合性較強(qiáng)，難度較大4（2014新課標(biāo)II）已知函數(shù)f（x）=exex2x（）討論f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)g（x）=f（2x）4bf（x），當(dāng)x0時(shí)，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）【分析】對(duì)第（）問(wèn)，直接求導(dǎo)后，利用基本不等式可達(dá)到目的；對(duì)第（）問(wèn)，先驗(yàn)證g（0）=0，只需說(shuō)明g（x）在0+）上為增函數(shù)即可，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“判斷g（x）0是否成立”的問(wèn)題；對(duì)第（）問(wèn)，根據(jù)第（）問(wèn)的結(jié)論，設(shè)法利用的近似值，并尋

10、求ln2，于是在b=2及b2的情況下分別計(jì)算，最后可估計(jì)ln2的近似值【解答】解：（）由f（x）得f（x）=ex+ex2，即f（x）0，當(dāng)且僅當(dāng)ex=ex即x=0時(shí)，f（x）=0，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，則g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，當(dāng)2b4，即b2時(shí)，g（x）0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，x0時(shí)，g（x）0，符合題意當(dāng)

11、b2時(shí)，若x滿(mǎn)足2ex+ex2b2即，得，此時(shí)，g（x）0，又由g（0）=0知，當(dāng)時(shí)，g（x）0，不符合題意綜合、知，b2，得b的最大值為2（）1.41421.4143，根據(jù)（）中g(shù)（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，為了湊配ln2，并利用的近似值，故將ln即代入g（x）的解析式中，得當(dāng)b=2時(shí)，由g（x）0，得，從而；令，得2，當(dāng)時(shí)，由g（x）0，得，得所以ln2的近似值為0.693【點(diǎn)評(píng)】1本題三個(gè)小題的難度逐步增大，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性深層次的把握能力，對(duì)思維的要求較高，屬壓軸題2從求解過(guò)程來(lái)看，對(duì)導(dǎo)函數(shù)解析式的合理變形至關(guān)重要，因?yàn)檫@直接影響到對(duì)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷，是解決

12、本題的一個(gè)重要突破口3本題的難點(diǎn)在于如何尋求ln2，關(guān)鍵是根據(jù)第（2）問(wèn)中g(shù)（x）的解析式探究b的值，從而獲得不等式，這樣自然地將不等式放縮為的范圍的端點(diǎn)值，達(dá)到了估值的目的5（2014新課標(biāo)I）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處得切線方程為y=e（x1）+2（）求a、b；（）證明：f（x）1【分析】（）求出定義域，導(dǎo)數(shù)f（x），根據(jù)題意有f（1）=2，f（1）=e，解出即可；（）由（）知，f（x）1等價(jià)于xlnxxex，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，函數(shù)h（x）=，只需證明g（x）minh（x）max，利用導(dǎo)數(shù)可分別求得g（x）min，h（x）max；【解答】解

13、：（）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+），f（x）=+，由題意可得f（1）=2，f（1）=e，故a=1，b=2；（）由（）知，f（x）=exlnx+，f（x）1，exlnx+1，lnx，f（x）1等價(jià)于xlnxxex，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g（x）=1+lnx，當(dāng)x（0，）時(shí)，g（x）0；當(dāng)x（，+）時(shí)，g（x）0故g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，從而g（x）在（0，+）上的最小值為g（）=設(shè)函數(shù)h（x）=xex，則h（x）=ex（1x）當(dāng)x（0，1）時(shí)，h（x）0；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，從而h（x）在（

14、0，+）上的最大值為h（1）=綜上，當(dāng)x0時(shí)，g（x）h（x），即f（x）1【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式等，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力6（2013新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2時(shí)，f（x）kg（x），求k的取值范圍【分析】（）對(duì)f（x），g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線及曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過(guò)點(diǎn)P（0，2），從而解出a，b，c，d的值；（）由（I）得出f（x

15、），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)k的討論，判斷出F（x）的最值，從而判斷出f（x）kg（x）恒成立，從而求出k的范圍【解答】解：（）由題意知f（0）=2，g（0）=2，f（0）=4，g（0）=4，而f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，從而a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）設(shè)F（x）=kg（x）f（x）=2kex（x+1）x24x2，則F（x）=2kex（x+2）2x4=2（x+2）（kex1），由題設(shè)得F（0）0，即k1，令F（x）=0，得x1=lnk

16、，x2=2，若1ke2，則2x10，從而當(dāng)x（2，x1）時(shí)，F(xiàn)（x）0，當(dāng)x（x1，+）時(shí)，F(xiàn)（x）0，即F（x）在（2，x1）上減，在（x1，+）上是增，故F（x）在2，+）上的最小值為F（x1），而F（x1）=x1（x1+2）0，x2時(shí)F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若k=e2，則F（x）=2e2（x+2）（exe2），從而當(dāng)x（2，+）時(shí)，F(xiàn)（x）0，即F（x）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若ke2時(shí)，F(xiàn)（x）2e2（x+2）（exe2），而F（2）=2ke2+20，所以當(dāng)x2時(shí)，f（x）kg（x）不恒成立，綜上，k的取值范圍

17、是1，e2【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，解題的關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的性質(zhì)，此題是一道中檔題7（2013新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=exln（x+m）（）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（）當(dāng)m2時(shí)，證明f（x）0【分析】（）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閤=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，由極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求出m的值，代入函數(shù)解析式后再由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）證明當(dāng)m2時(shí)，f（x）0，轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）0求出當(dāng)m=2時(shí)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可知導(dǎo)函數(shù)在（2，+）上為增函數(shù)，并進(jìn)一步得到導(dǎo)

18、函數(shù)在（1，0）上有唯一零點(diǎn)x0，則當(dāng)x=x0時(shí)函數(shù)取得最小值，借助于x0是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)證出f（x0）0，從而結(jié)論得證【解答】（）解：，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，解得m=1所以函數(shù)f（x）=exln（x+1），其定義域?yàn)椋?，+）設(shè)g（x）=ex（x+1）1，則g（x）=ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（1，+）上為增函數(shù)，又g（0）=0，所以當(dāng)x0時(shí)，g（x）0，即f（x）0；當(dāng)1x0時(shí)，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（1，0）上為減函數(shù)；在（0，+）上為增函數(shù)；（）證明：當(dāng)m2，x（m，+）時(shí)，ln（x+m）ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）0當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在（2，

19、+）上為增函數(shù)，且f（1）0，f（0）0故f（x）=0在（2，+）上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0（1，0）當(dāng)x（2，x0）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（x0，+）時(shí)，f（x）0，從而當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值由f（x0）=0，得，ln（x0+2）=x0故f（x）=0綜上，當(dāng)m2時(shí)，f（x）0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了不等式的證明，考查了函數(shù)與方程思想，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)是解決該題的關(guān)鍵，是難題8（2013秋梁子湖區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)（I）若x0時(shí)，f（x）0，求的最小值；（II）設(shè)

20、數(shù)列an的通項(xiàng)an=1+【分析】（I）由于已知函數(shù)的最大值是0，故可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究其單調(diào)性，確定出函數(shù)的最大值，利用最大值小于等于0求出參數(shù)的取值范圍，即可求得其最小值；（II）根據(jù)（I）的證明，可取=，由于x0時(shí)，f（x）0得出，考察發(fā)現(xiàn)，若取x=，則可得出，以此為依據(jù)，利用放縮法，即可得到結(jié)論【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f（x）=，f（0）=0欲使x0時(shí)，f（x）0恒成立，則f（x）在（0，+）上必為減函數(shù)，即在（0，+）上f（x）0恒成立，當(dāng)0時(shí)，f（x）0在（0，+）上恒成立，為增函數(shù)，故不合題意，若0時(shí)，由f（x）0解得x，則當(dāng)0x，f（x）0，所以當(dāng)0x時(shí)，f（

21、x）0，此時(shí)不合題意，若，則當(dāng)x0時(shí)，f（x）0恒成立，此時(shí)f（x）在（0，+）上必為減函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)，f（x）0恒成立，綜上，符合題意的的取值范圍是，即的最小值為（ II）令=，由（I）知，當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，即取x=，則于是a2nan+=+=ln2nlnn=ln2所以【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列中證明不等式的方法及導(dǎo)數(shù)求最值的普通方法，解題的關(guān)鍵是充分利用已有的結(jié)論再結(jié)合放縮法，本題考查了推理判斷的能力及轉(zhuǎn)化化歸的思想，有一定的難度9（2013秋城關(guān)區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x0，（）討論f（x）的單調(diào)性；（）設(shè)f（x）1+sinx，求a的取值范圍【分析】（）求導(dǎo)函數(shù)，可

22、得f'（x）=asinx，x0，sinx0，1，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，可得a，構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx（0x），可得g（x）0（0x），再考慮：0x；，即可得到結(jié)論【解答】解：（）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=asinx，x0，sinx0，1；當(dāng)a0時(shí)，f'（x）0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a1 時(shí)，f'（x）0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0a1時(shí)，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=arcsina當(dāng)x0，x1時(shí)，sinxa，f'（x）0，f（x）單調(diào)遞增當(dāng)xx1，x2時(shí)

23、，sinxa，f'（x）0，f（x）單調(diào)遞減當(dāng)xx2，時(shí)，sinxa，f'（x）0，f（x）單調(diào)遞增； （）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，a令g（x）=sinx（0x），則g（x）=cosx當(dāng)x時(shí)，g（x）0，當(dāng)時(shí)，g（x）0，g（x）0，即（0x），當(dāng)a時(shí)，有當(dāng)0x時(shí)，cosx1，所以f（x）1+sinx；當(dāng)時(shí)，=1+1+sinx綜上，a【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性10（2011新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為x+2y3=0（）求a、b的值；（

24、）如果當(dāng)x0，且x1時(shí)，f（x）+，求k的取值范圍【分析】（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用切線方程求出切線的斜率及切點(diǎn)；利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線切線的斜率及切點(diǎn)也在曲線上，列出方程組，求出a，b值（II）將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)，求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)參數(shù)k分類(lèi)討論，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，求出參數(shù)k的范圍【解答】解：由題意f（1）=1，即切點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）（）由于直線x+2y3=0的斜率為，且過(guò)點(diǎn)（1，1），故即解得a=1，b=1（）由（）知，所以）考慮函數(shù)（x0），則（i）設(shè)k0，由知，當(dāng)x1時(shí)，h（x）0而h（1）=0，故當(dāng)x（0，1）時(shí)，h（x）0，可得；

25、當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0，可得h（x）0從而當(dāng)x0，且x1時(shí)，f（x）（+）0，即f（x）+（ii）設(shè)0k1由于當(dāng)x（1，）時(shí)，（k1）（x2+1）+2x0，故h（x）0，而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）0，可得h（x）0，與題設(shè)矛盾（iii）設(shè)k1此時(shí)h（x）0，而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0，可得h（x）0，與題設(shè)矛盾綜合得，k的取值范圍為（，0【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率、考查構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值、考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法11（2010全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=1ex（）證明：當(dāng)x1時(shí)，f（

26、x）；（）設(shè)當(dāng)x0時(shí)，f（x），求a的取值范圍【分析】（1）將函數(shù)f（x）的解析式代入f（x）整理成ex1+x，組成新函數(shù)g（x）=exx1，然后根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而可求出函數(shù)g（x）的最小值g（0），進(jìn)而g（x）g（0）可得證（2）先確定函數(shù)f（x）的取值范圍，然后對(duì)a分a0和a0兩種情況進(jìn)行討論當(dāng)a0時(shí)根據(jù)x的范圍可直接得到f（x）不成立；當(dāng)a0時(shí)，令h（x）=axf（x）+f（x）x，然后對(duì)函數(shù)h（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性并求出最值，求a的范圍【解答】解：（1）當(dāng)x1時(shí)，f（x）當(dāng)且僅當(dāng)ex1+x令g（x）=exx1，則g'（x）=ex1當(dāng)x0時(shí)g'（x）

27、0，g（x）在0，+）是增函數(shù)當(dāng)x0時(shí)g'（x）0，g（x）在（，0是減函數(shù)于是g（x）在x=0處達(dá)到最小值，因而當(dāng)xR時(shí)，g（x）g（0）時(shí)，即ex1+x所以當(dāng)x1時(shí)，f（x）（2）由題意x0，此時(shí)f（x）0當(dāng)a0時(shí)，若x，則0，f（x）不成立；當(dāng)a0時(shí)，令h（x）=axf（x）+f（x）x，則f（x）當(dāng)且僅當(dāng)h（x）0因?yàn)閒（x）=1ex，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）1=af（x）axf（x）+axf（x）（i）當(dāng)0a時(shí)，由（1）知x（x+1）f（x）h'（x）af（x）axf（x）+a（x+1）f（x）f（x）=（2a1）

28、f（x）0，h（x）在0，+）是減函數(shù)，h（x）h（0）=0，即f（x）（ii）當(dāng)a時(shí)，由（i）知xf（x）h'（x）=af（x）axf（x）+axf（x）af（x）axf（x）+af（x）f（x）=（2a1ax）f（x）當(dāng)0x時(shí)，h'（x）0，所以h'（x）0，所以h（x）h（0）=0，即f（x）綜上，a的取值范圍是0，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類(lèi)討論的思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，對(duì)考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的

29、分析能力和計(jì)算能力估計(jì)以后對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查力度不會(huì)減弱作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在12（2010全國(guó)卷）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnxx+1（）若xf（x）x2+ax+1，求a的取值范圍；（）證明：（x1）f（x）0【分析】（）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)f（x），代入xf（x）x2+ax+1，將a分離出來(lái)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值，從而求出參數(shù)a的取值范圍；（）根據(jù)（I）可知g（x）g（1）=1即lnxx+10，然后討論a與1的大小，從而確定（x1）的符號(hào)，然后判定f（x）與0的大小即可證得結(jié)論【解答】解

30、：（），xf（x）=xlnx+1，題設(shè)xf（x）x2+ax+1等價(jià)于lnxxa令g（x）=lnxx，則 當(dāng)0x1，g（x）0；當(dāng)x1時(shí)，g（x）0，x=1是g（x）的最大值點(diǎn)，g（x）g（1）=1 綜上，a的取值范圍是1，+）（）由（）知，g（x）g（1）=1即lnxx+10當(dāng)0x1時(shí)，f（x）=（x+1）lnxx+1=xlnx+（lnxx+1）0；當(dāng)x1時(shí)，f（x）=lnx+（xlnxx+1）=0 所以（x1）f（x）0【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用參數(shù)分離法求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題13（2009全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；（）證明：f（x2）【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)f（x），令g（x）=2x2+2x+a，由題意知x1、x2是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于1的不相等的實(shí)根，建立不等關(guān)系解之即可，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f（x）0和f（x）0，求出單調(diào)區(qū)間；（2）x2是方程g（x）=0的根，將a用x2表示，消去a得到關(guān)于x2的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可