伽羅瓦對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)

1、 SHANGHAI UNIVERSITY上海大學(xué)第一學(xué)年春季學(xué)期（新生研討課） 課程名稱：數(shù)學(xué)進(jìn)展中的幾個案例和啟示 課 程 號： 0100Y035 授課教師： 郭秀云 學(xué) 號：_13122070_ 姓 名：_曹穎_ 所 屬：_理工二組_成 績：_評語： 論伽羅瓦對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn) 曹穎（13122070）摘要：埃瓦里斯特·伽羅瓦法國數(shù)學(xué)家，與尼爾斯·阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人，被公認(rèn)為數(shù)學(xué)界兩個最具浪漫主義色彩的人物之一。他在21年的人生中為數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出了杰出的貢獻(xiàn)，可惜他的一生只能被稱為“天才的悲劇”，令人惋惜悲嘆。關(guān)鍵詞：伽羅瓦、群論、貢獻(xiàn)、體會1、 引言在數(shù)學(xué)中，代數(shù)方

2、程的求解有悠久的歷史。很早就會解1次和2次方程，16世紀(jì)也成功解決了3次和4次方程，它們的根都可以表示為系數(shù)的根的四則運算，我們稱它們有根式解。而5次和5次以上代數(shù)方程求解遇到了嚴(yán)重的障礙，經(jīng)過300年的努力仍然得不出求解公式。經(jīng)過多次失敗之后，阿貝爾和伽羅華從反方向來看問題。在19世紀(jì)20年代，他們證明：一般的5次和5次以上代數(shù)方程沒有根式解。而伽羅華走得更遠(yuǎn)，他引進(jìn)群的概念來判斷一個5次或5次以上方程是否有根式解。2、 正文1.伽羅瓦理論的產(chǎn)生背景用群論的方法來研究代數(shù)方程的解的理論。在19世紀(jì)末以前，解方程一直是代數(shù)學(xué)的中心問題。早在古巴比倫時代，人們就會解二次方程。在許多情況下，求解的

3、方法就相當(dāng)于給出解的公式。但是自覺地、系統(tǒng)地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世紀(jì)的事。三次、四次方程的解法直到16世紀(jì)上半葉才得到。從此以后、數(shù)學(xué)家們轉(zhuǎn)向求解五次以上的方程。 經(jīng)過兩個多世紀(jì)，一些著名的數(shù)學(xué)家，如歐拉、旺德蒙德、拉格朗日、魯菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的進(jìn)展。伽羅瓦從1828年開始研究代數(shù)方程理論，他試圖找出為了使一個方程存在根式解，其系數(shù)所應(yīng)滿足的充分和必要條件。到1832年他完全解決了這個問題。在他臨死的前夜，他將結(jié)果寫在一封信中，留給他的一位朋友。1846年他的手稿才公開發(fā)表。伽羅瓦完全解決了高次方程的求解問題，他建立于用根式構(gòu)造代數(shù)方程的根的一

4、般原理，這個原理是用方程的根的某種置換群的結(jié)構(gòu)來描述的，后人稱之為“伽羅瓦理論”。2.伽羅瓦群論的實質(zhì)我們可以從伽羅瓦的工作過程中，逐步領(lǐng)悟伽羅瓦理論的精髓。首先分析一下他是怎樣在不知道方程根的情況下，構(gòu)造伽羅瓦群的。仍然是對方程（1），設(shè)它的根x1,x2,xn中無重根，他構(gòu)造了類似于拉格朗日預(yù)解式的關(guān)于x1,x2,xn的一次對稱多項式 1=a1x1+a2x2+anxn，其中ai(i=1,2,3,n)不必是單位根，但它必是一些整數(shù)且使得n!個形如1的一次式1,2,n!各不相同，接著又構(gòu)造了一個方程 =0 (2) 該方程的系數(shù)必定為有理數(shù)（可由對稱多項式定理證明），并且能夠分解為有理數(shù)域上的不可

5、約多項式之積。設(shè)f(x)=是的任意一個給定的m次的不可約因子，則方程(1)的伽羅瓦群是指n!個i中的這m個排列的全體。同時他又由韋達(dá)定理知伽羅瓦群也是一個對稱群，它完全體現(xiàn)了此方程的根的對稱性。但是計算一個已知方程的伽羅瓦群是有一定困難的，因此伽羅瓦的目的并不在于計算伽羅瓦群，而是證明：恒有這樣的n次方程存在，其伽羅瓦群是方程根的可能的最大置換群s(n)，s(n)是由n!個元素集合構(gòu)成的，s(n)中的元素乘積實際上是指兩個置換之積?，F(xiàn)在把s(n)中的元素個數(shù)稱為階，s(n)的階是n!。 伽羅瓦找出方程系數(shù)域中的伽羅瓦群g后，開始尋找它的最大子群h1，找到h1后用一套僅含有理運算的手續(xù)（即尋找預(yù)

6、解式）來找到根的一個函數(shù)。的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域r，并且在h1的置換下不改變值，但在g的所有別的置換下改變值。再用上述方法，依次尋找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，于是得到h1,h2,hm，直到hm里的元素恰好是恒等變換（即hm為單位群i）。在得到一系列子群與逐次的預(yù)解式的同時，系數(shù)域r也隨之一步步擴大為r1,r2,rm，每個ri對應(yīng)于群hi。當(dāng)hm=i時，rm就是該方程的根域，其余的r1,r2,rm-1是中間域。一個方程可否根式求解與根域的性質(zhì)密切相關(guān)。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3) p與q獨立，系數(shù)域r添加字母或未知數(shù)p、q到有理數(shù)中而得到的域，先計算出它的伽羅瓦群g

7、，g是s(4)的一個8階子群，g=e，e1，e2，e7，其中e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。 要把r擴充到r1，需在r中構(gòu)造一個預(yù)解式，則預(yù)解式的根，添加到r中得到一個新域r1，于是可證明原方程（3）關(guān)于域r1的群是h1，h1=e，e1，e2，e3，并發(fā)現(xiàn)預(yù)解式的次數(shù)等于子群h1在母群g中的指數(shù)8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。第二步，構(gòu)造第二個預(yù)解式，解出根 ，于是在域r1中添加得到域r2，同樣找出方程（3）在r2中的群h2，h2=e，e1，此時，第二個預(yù)解式的次數(shù)也等于群h2在h1中的指數(shù)4÷2=2。第三步，構(gòu)造第三個預(yù)解式，得它

8、的根 ，把添加到r2中得擴域r3，此時方程（3）在r3中的群為h3，h3=e，即h3=i，則r3是方程（3）的根域，且該預(yù)解式的次數(shù)仍等于群h3在h2中的指數(shù)2÷1=2。在這個特殊的四次方程中，系數(shù)域到根域的擴域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。這種可解理論對于一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數(shù)域到根域的擴域過程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。 現(xiàn)仍以四次方程（3）為例，伽羅瓦從中發(fā)現(xiàn)了這些預(yù)解式實質(zhì)上是一個二次的二項方程，既然可解原理對高次方程也適用，那么對于能用根式求解的一般高次方程，它的預(yù)解式方程組必定存在，并且所有的預(yù)解式都應(yīng)是一個素數(shù)次p

9、的二項方程xp=a。由于高斯早已證明二項方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次預(yù)解式都是二項方程，則能用根式求解原方程。于是，伽羅瓦引出了根式求解原理，并且還引入了群論中的一個重要概念“正規(guī)子群”。 他是這樣給正規(guī)子群下定義的：設(shè)h是g的一個子群，如果對g中的每個g都有g(shù)h=hg，則稱h為g的一個正規(guī)子群，其中g(shù)h表示先實行置換g，然后再應(yīng)用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置換而得到的一個新置換集合。定義引入后，伽羅瓦證明了當(dāng)作為約化方程的群(如由g 約化到h1)的預(yù)解式是一個二項方程xp=a (p為素數(shù))時，則h1是g的一個正規(guī)子群。反之，若h1是g的正規(guī)子群，

10、且指數(shù)為素數(shù)p，則相應(yīng)的預(yù)解式一定是p次二項方程。他還定義了極大正規(guī)子群：如果一個有限群有正規(guī)子群，則必有一個子群，其階為這有限群中所有正規(guī)子群中的最大者，這個子群稱為有限群的極大正規(guī)子群。一個極大正規(guī)子群又有它自己的極大正規(guī)子群，這種序列可以逐次繼續(xù)下去。因而任何一個群都可生成一個極大正規(guī)子群序列。他還提出把一個群g生成的一個極大正規(guī)子群序列標(biāo)記為g、h、i、j, 則可以確定一系列的極大正規(guī)子群的合成因子g/h，h/i，i/g。合成因子g/h=g的階數(shù)/ h的階數(shù)。對上面的四次方程(3)，h1是g的極大正規(guī)子群， h2是h1的極大正規(guī)子群，h3又是h2的極大正規(guī)子群，即對方程(3)的群g 生

11、成了一個極大正規(guī)子群的序列g(shù)、h1、h2、h3。 隨著理論的不斷深入，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)對于一個給定的方程，尋找它在伽羅瓦群及其極大不變子群序列完全是群論的事。因此，他完全用群論的方法去解決方程的可解性問題。最后，伽羅瓦提出了群論的另一個重要概念“可解群”。他稱具有下面條件的群為可解群：如果它所生成的全部極大正規(guī)合成因子都是質(zhì)數(shù)。 根據(jù)伽羅瓦理論，如果伽羅瓦群生成的全部極大正規(guī)合成因子都是質(zhì)數(shù)時，方程可用根式求解。若不全為質(zhì)數(shù)，則不可用根式求解。由于引入了可解群，則可說成當(dāng)且僅當(dāng)一個方程系數(shù)域上的群是可解群時，該方程才可用根式求解。對上面的特殊四次方程(3)，它的g/h=8/4=2，h1/h2=2/1

12、=2，2為質(zhì)數(shù)，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，當(dāng)n=3時，有兩個二次預(yù)解式t2=a和t3=b，合成序列指數(shù)為2與3，它們是質(zhì)數(shù)，因此一般三次方程可根式解。同理對n=4，有四個二次預(yù)解式，合成序列指數(shù)為2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽羅瓦群是s(n)，s(n)的極大正規(guī)子群是a(n) (實際a(n)是由s(n)中的偶置換構(gòu)成的一個子群。如果一個置換可表為偶數(shù)個這類置換之積，則叫偶置換。)，a(n)的元素個數(shù)為s(n)中的一半，且a(n)的極大正規(guī)子群是單位群i，因此s(n)/a(n)=n!/(n!/2)=2，a(n)/i=(n!/2)/1=n!/

13、2， 2是質(zhì)數(shù)，但當(dāng)n 5時，n！/2不是質(zhì)數(shù)，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽羅瓦完全解決了方程的可解性問題。3.伽羅瓦理論做出的貢獻(xiàn)伽羅瓦理論的建立，不僅完成了由拉格朗日、魯菲尼、阿貝爾等人開始的研究，而且為開辟抽象代數(shù)學(xué)的道路建立了不朽的業(yè)績。 在幾乎整整一個世紀(jì)中，伽羅瓦的思想對代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了決定性的影響。伽羅瓦運用他的理論徹底解決了方程的根式可解問題，它徹底解決了代數(shù)方程可解性的群論已經(jīng)足夠強大，可是群論的魅力還不止于此。由于群論的出現(xiàn)，一門新的數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生了抽象數(shù)學(xué)。在此指引下，人們在數(shù)學(xué)上開始更注重于結(jié)構(gòu)性，對稱性，整體的把握。群論更重要的意義在于他突破了原

14、先的思維模式，提供了一種全新的理念。伽羅瓦創(chuàng)立群論是為了應(yīng)用于方程論，但他并不局限于此，而是把群論進(jìn)行了推廣，作用于其他研究領(lǐng)域。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長達(dá)數(shù)百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，并把數(shù)學(xué)運算歸類，使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支，對近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。伽羅瓦的理論是抽象的，他的理論是方法論，是思想！同時這種理論對

15、于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對于二十世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。 4.從伽羅瓦身上得到的體會天才總是和孤寂相伴，孤寂的伽羅瓦沒有親人，孤寂的伽羅瓦沒有愛人，孤寂的伽羅瓦甚至找不到一個可以在思想上和自己對話的人。如果非說有的話，也只有一個早他3年死去和他同樣不得意的阿貝爾，可惜的是，這兩個天才從未蒙面。高處不勝寒，站在一個空前的高度俯視著這個世界，他的孤寂可想而知。伽羅瓦是不幸的，伽羅瓦又是幸運的。伽羅瓦的不幸是因為他同時代的人沒有理解他那超前的思想，他沒有目睹群論強盛時的景象，一顆明星在本該最絢爛的時刻戛然而止，可憐無知音，弦斷有誰聽？我們不能不為之扼腕嘆息；同時，伽羅瓦又是

16、幸運的，因為他的理論最終得到了承認(rèn)。在數(shù)學(xué)發(fā)展的幾個世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家如漫天的群星一樣多，并且每個人都有他的無限光芒，照亮了數(shù)學(xué)這條路，讓人們更加了解數(shù)學(xué)世界，并且推動了世界的發(fā)展。在數(shù)學(xué)坎坷發(fā)展的幾個世紀(jì)里，在眾多杰出的數(shù)學(xué)家里，伽羅瓦讓我感受到了他的特殊，他那的頑強、奮斗、不氣餒的一生給了我很多啟示，讓我感受到數(shù)學(xué)領(lǐng)域里這個天才少年的無限光芒。我想，應(yīng)該很少有人會像伽羅瓦一樣為了自己的目標(biāo)永遠(yuǎn)永不停息的前行著，為了自己的興趣愛好執(zhí)著的追求著。但是上天并不偏愛于他，或許應(yīng)該說沒有一個善解人意的伯樂發(fā)現(xiàn)他這匹千里馬，兩次遭到綜合技術(shù)學(xué)校的拒絕，換做任何一個年輕氣盛的人都會甩甩袖子走人，或者是選擇放

17、棄求學(xué)這條路，但是伽羅瓦是出眾的，他選擇另一天道路，繼續(xù)從事自己喜愛的數(shù)學(xué)研究。如果僅是這點打擊就算了，在“關(guān)于五次方程的代數(shù)解法問題”的研究論文審查過程中受到了重重障礙。這是他滿懷信心的一次壯舉，沒想到柯西不解，文稿交于傅里葉審定時，傅里葉離開人世，手稿也隨之丟失。但是這位天才并沒放棄，仍堅信自己的偉大創(chuàng)作。當(dāng)泊松絞盡腦汁也無法做出正確判斷，以“完全不能理解”將稿子退回時，他還是沒有放棄。這個劃時代的數(shù)學(xué)家，不能受到當(dāng)時的數(shù)學(xué)大家們的認(rèn)可，真可謂是生不逢時。但是是金子總要發(fā)光的，在他離開人世后，他對數(shù)學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)終于凸現(xiàn)出來，受到世人重視。在伽羅瓦坎坷的數(shù)學(xué)一生中，他從未放棄對數(shù)學(xué)的追求，即

18、使是面對挫折，面對死亡，仍表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)的熱愛。他的一生從來沒有被他人的否認(rèn)打敗過，永遠(yuǎn)站立在屬于自己的精神世界里，勇敢地?fù)P帆遠(yuǎn)航，這種不氣餒、不放棄，敢于對夢想追求的精神激勵著一代又一代人。真是這個血氣方剛的年輕人，在激勵著我們，面對理想敢于追求，就像是他在追求自己的數(shù)學(xué)領(lǐng)域一樣。為此，敬佩他數(shù)學(xué)英才伽羅瓦。而崇拜伽羅瓦，不僅僅是他對數(shù)學(xué)的熱愛以及它帶給數(shù)學(xué)界的貢獻(xiàn)，更是因為他那敢于奮斗，敢于拼搏，不僅能站在個人角度看問題，還能為國家挺身而出的作風(fēng)。當(dāng)然還有他面對困境的態(tài)度，那么泰然，那么堅強?！罢嬲挠率扛矣谥泵鎽K淡的人生，敢于正視淋漓的鮮血?！濒斞赶壬倪@段話一直印在我的腦海里，何為勇士？我一直在思考這個問題。當(dāng)我看到未滿21歲的伽羅瓦以他自己的方式走完了人生的這段路程，我在想或許伽羅瓦就是一個真正的勇士。在死亡即將來臨的時候，很多人都會畏懼著選擇逃避，畢竟生活在凄慘也比死亡讓人難以割舍，沒有人敢于拿生命當(dāng)做賭注，去賭一個根本沒有勝算的結(jié)局。