二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

1、二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-曲線的凹凸性與拐點(diǎn)l教學(xué)目標(biāo)與要求通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)在某一區(qū)間上凹凸性的方法，為更好地描繪函數(shù)圖形打好基礎(chǔ)，同時(shí)，理解拐點(diǎn)的定義和意義。l教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凹凸性與拐點(diǎn)。教學(xué)難點(diǎn)：理解拐點(diǎn)的定義和意義。l教學(xué)方法與建議證明曲線凹凸性判定定理時(shí)，除了利用“拉格朗日中值定理”證明外，還可用“泰勒定理”來證明；如果利用“拉格朗日中值定理”證明，則要配合函數(shù)圖形來分析講解如何想到需要兩次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脫離圖形，機(jī)械證明，讓學(xué)生領(lǐng)悟不到思想，摸不著頭腦。在講函數(shù)的凹凸性和曲線拐點(diǎn)的定義時(shí)，要強(qiáng)調(diào)凹凸性并不

2、是曲線的固有性質(zhì)，而是函數(shù)的性質(zhì)，與所選的坐標(biāo)系有關(guān)；而拐點(diǎn)是曲線的固有性質(zhì)，與所選的坐標(biāo)系無關(guān)。l教學(xué)過程設(shè)計(jì)1. 問題提出與定義函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于描繪函數(shù)圖形有很大作用，但僅僅由單調(diào)性還不能準(zhǔn)確描繪出函數(shù)的圖形。比如，如果在區(qū)間上，則我們知道在區(qū)間上單調(diào)增，但作圖（參見圖1）的時(shí)候，我們不能判斷它增加的方式（是弧，還是弧），即不能判斷曲線的凹凸性，所以研究曲線的凹凸性對(duì)于把握函數(shù)的性態(tài)、作圖等是很有必要的！在圖1中，對(duì)于上凸的曲線弧，取其上任意兩點(diǎn)，不妨取作割線，我們總會(huì)發(fā)現(xiàn)不論兩點(diǎn)的位置，割線段總位于弧段的下方，這種位置關(guān)系可以用不等式來描述。同理，對(duì)于上凹的曲線弧，總可用不等式來描述。由

3、此，我們想到對(duì)曲線的凹凸性做如下定義：凹凸性定義設(shè)在區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)，恒有則稱在I上的圖形是（向上）凹的，簡(jiǎn)稱為凹?。蝗绻阌袆t稱在I上的圖形是（向上）凸的，或簡(jiǎn)稱為凸弧。如果沿曲線從左向右走，則圖形是（向上）凸的曲線的幾何意義相當(dāng)于右轉(zhuǎn)彎，圖形是（向上）凹的曲線相當(dāng)于左轉(zhuǎn)彎，而有切線的凹凸弧的分界點(diǎn)正是曲線轉(zhuǎn)向的點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。2. 凹凸性判定定理的引入 曲線凹凸性的定義自然能判別曲線的凹凸性，但實(shí)際使用起來需要取兩個(gè)點(diǎn)，且兩個(gè)不等式對(duì)于一些表達(dá)式較復(fù)雜的函數(shù)來說判斷起來也不容易。因此，我們就想能否用其它方法來判定曲線的凹凸性。函數(shù)的單調(diào)性能由的符號(hào)確定，而對(duì)于凹

4、凸性它束手無策，所以我們猜想凹凸性是否和有關(guān)？經(jīng)過分析，并利用泰勒公式，可證實(shí)我們的猜想是正確的，函數(shù)圖形的凹凸性的確和的符號(hào)有關(guān),于是得到了判斷曲線凹凸性的定理。定理4.3設(shè)在上連續(xù), 在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),那么：（1）若在內(nèi)0，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)0，則在上的圖形是凸的。3. 判別凹凸性和拐點(diǎn)舉例例1. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y=3x 2, y=6x . 由y=0, 得x=0. 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí), y0時(shí), y0, 所以曲線在0, +)內(nèi)為凹的. 例2. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點(diǎn). 解: y=6x 2+6x-12, . 令y=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí),

5、 y0, 所以點(diǎn)(, )是曲線的拐點(diǎn). 例3 求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，得列表：（?+00+有拐點(diǎn)有拐點(diǎn)由表可知，當(dāng)時(shí)，曲線有拐點(diǎn)和，表中表示曲線是凹的，表示曲線是凸的函數(shù)的圖像如圖（3）所示. 4. 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f (x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn); 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時(shí)省略. 5 學(xué)生黑板練習(xí)練習(xí) 1.判定下列曲線的凹凸性及拐點(diǎn).（1），（2），（3）。6.小結(jié) 1 在講授函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意借助幾何圖形進(jìn)行直觀說明，使導(dǎo)數(shù)符號(hào)與曲線形態(tài)特征相