二階導數(shù)的應用曲線的凹凸性與拐點

1、二階導數(shù)的應用-曲線的凹凸性與拐點l教學目標與要求通過學習，使學生掌握利用二階導數(shù)的符號判定函數(shù)在某一區(qū)間上凹凸性的方法，為更好地描繪函數(shù)圖形打好基礎，同時，理解拐點的定義和意義。l教學重點與難點教學重點：利用函數(shù)的二階導數(shù)判斷曲線的凹凸性與拐點。教學難點：理解拐點的定義和意義。l教學方法與建議證明曲線凹凸性判定定理時，除了利用“拉格朗日中值定理”證明外，還可用“泰勒定理”來證明；如果利用“拉格朗日中值定理”證明，則要配合函數(shù)圖形來分析講解如何想到需要兩次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脫離圖形，機械證明，讓學生領悟不到思想，摸不著頭腦。在講函數(shù)的凹凸性和曲線拐點的定義時，要強調(diào)凹凸性并不

2、是曲線的固有性質(zhì)，而是函數(shù)的性質(zhì)，與所選的坐標系有關；而拐點是曲線的固有性質(zhì)，與所選的坐標系無關。l教學過程設計1. 問題提出與定義函數(shù)的單調(diào)性對于描繪函數(shù)圖形有很大作用，但僅僅由單調(diào)性還不能準確描繪出函數(shù)的圖形。比如，如果在區(qū)間上，則我們知道在區(qū)間上單調(diào)增，但作圖（參見圖1）的時候，我們不能判斷它增加的方式（是弧，還是?。?，即不能判斷曲線的凹凸性，所以研究曲線的凹凸性對于把握函數(shù)的性態(tài)、作圖等是很有必要的！在圖1中，對于上凸的曲線弧，取其上任意兩點，不妨取作割線，我們總會發(fā)現(xiàn)不論兩點的位置，割線段總位于弧段的下方，這種位置關系可以用不等式來描述。同理，對于上凹的曲線弧，總可用不等式來描述。由

3、此，我們想到對曲線的凹凸性做如下定義：凹凸性定義設在區(qū)間I上連續(xù)，如果對I上任意兩點，恒有則稱在I上的圖形是（向上）凹的，簡稱為凹??；如果恒有則稱在I上的圖形是（向上）凸的，或簡稱為凸弧。如果沿曲線從左向右走，則圖形是（向上）凸的曲線的幾何意義相當于右轉彎，圖形是（向上）凹的曲線相當于左轉彎，而有切線的凹凸弧的分界點正是曲線轉向的點，我們把這樣的點稱為拐點。2. 凹凸性判定定理的引入 曲線凹凸性的定義自然能判別曲線的凹凸性，但實際使用起來需要取兩個點，且兩個不等式對于一些表達式較復雜的函數(shù)來說判斷起來也不容易。因此，我們就想能否用其它方法來判定曲線的凹凸性。函數(shù)的單調(diào)性能由的符號確定，而對于凹

4、凸性它束手無策，所以我們猜想凹凸性是否和有關？經(jīng)過分析，并利用泰勒公式，可證實我們的猜想是正確的，函數(shù)圖形的凹凸性的確和的符號有關,于是得到了判斷曲線凹凸性的定理。定理4.3設在上連續(xù), 在內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù),那么：（1）若在內(nèi)0，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)0，則在上的圖形是凸的。3. 判別凹凸性和拐點舉例例1. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y=3x 2, y=6x . 由y=0, 得x=0. 因為當x0時, y0時, y0, 所以曲線在0, +)內(nèi)為凹的. 例2. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點. 解: y=6x 2+6x-12, . 令y=0, 得. 因為當時,

5、 y0, 所以點(, )是曲線的拐點. 例3 求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點解：函數(shù)的定義域為，且，令，得列表：（）0+00+有拐點有拐點由表可知，當時，曲線有拐點和，表中表示曲線是凹的，表示曲線是凸的函數(shù)的圖像如圖（3）所示. 4. 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二階導數(shù)f (x); (3)求使二階導數(shù)為零的點和使二階導數(shù)不存在的點; (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點; 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時省略. 5 學生黑板練習練習 1.判定下列曲線的凹凸性及拐點.（1），（2），（3）。6.小結 1 在講授函數(shù)單調(diào)性時要注意借助幾何圖形進行直觀說明，使導數(shù)符號與曲線形態(tài)特征相