《平面向量的數量積》教學設計及反思

1、精選文檔平面對量的數量積教學設計及反思 交口第一中學 趙云鵬 平面對量的數量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數學的一個重要概念，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種重要工具，在每年高考中也是重點考查的內容。向量作為一種運算工具，其學問體系是從實際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點共線、垂直、求夾角和線段長度、確定定比分點坐標以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點。一、總體設想：本節(jié)課的設計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數量積的概念和幾何意義；二是圍繞數量積的概念通過變形和限定衍生出新學問垂直的推斷、求夾角和線段長度的公式。教學方案可從三方面加以設

2、計：一是數量積的概念；二是幾何意義和運算律；三是兩個向量的模與夾角的計算。二、教學目標： 1.了解向量的數量積的抽象根源。 2.了解平面的數量積的概念、向量的夾角 3.數量積與向量投影的關系及數量積的幾何意義 4.理解把握向量的數量積的性質和運算律，并能進行相關的推斷和計算三、重、難點：【重點】1.平面對量數量積的概念和性質 2.平面對量數量積的運算律的探究和應用【難點】平面對量數量積的應用4、 課時支配： 2課時五、教學方案及其設計意圖：1平面對量數量積的物理背景 平面對量的數量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移

3、是s，此問題中消滅了兩個矢量，即數學中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W，這里的q是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎，在定義兩個向量的夾角時，要使同學明確“把向量的起點放在同一點上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結果呢？以此為基礎引出了兩非零向量a, b的數量積的概念。2 平面對量數量積（內積）的定義已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量|a|b|cosq叫與的數量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數量積為0. 零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的

4、，按數量積的定義a×b = |a|b|cosq無法得到，因此另外進行了規(guī)定。3. 兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角. ，是記法，是定義的實質它是一個實數。依據推理，當時，數量積為正數；當時，數量積為零；當時，數量積為負。4.“投影”的概念 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。 投影也是一個數量，它的符號取決于角q的大小。當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |b|；當q = 180°時投影為 -|b|. 因此投影可正、可負，還可為零。 依據數量積的定義，向量b在a方向上的

5、投影也可以寫成 留意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應結合圖形加以區(qū)分。5向量的數量積的幾何意義：數量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.向量數量積的幾何意義在證明安排律方向起著關鍵性的作用。其幾何意義實質上是將乘積拆成兩部分：。此概念也以物體做功為基礎給出。是向量b在a的方向上的投影。6兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，則 (1) ab Û a×b = 0； (2)當a與b同向時，a×b = |a|b|；當a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特殊的a×a = |a|

6、2或 (3)|a×b| |a|b| (4)，其中為非零向量a和b的夾角。例1. (1) 已知向量a ,b，滿足,a與b的夾角為,則b在a上的投影為_ (2)若,則a在b方向上投影為 _例2. 已知，按下列條件求 (1) (2) (3) a與b的夾角為 7. 平面對量數量積的運算律1交換律：a × b = b × a證：設a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2數乘結合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若&

7、gt; 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3安排律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方

8、向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質：，（）（）····()·例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a -

9、4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2代入或得：a2 = b2設a、b的夾角為q，則cosq = q = 60°評述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應留意這一隱含條件應用；(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，由于數量積的定義式中含有邊、角兩種關系.例4若記，求證： 以此作為

10、今后求模的基礎。圍繞向量的數量積的定義，可開發(fā)出解決幾何問題中有用的學問：垂直的推斷，夾角的計算和線段長度的計算。依據教學實際，有的數學學問可提出問題讓同學解決，并總結、概括出一般的結論或規(guī)律，但有些學問同學聽講時，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時恰當的處理方式是：先讓同學學會，再說明道理。這里，兩個向量垂直的推斷和夾角的計算，可通過讓同學自己做題后總結出來；而計算模則需要老師講解并加以強化：由，當b = a時，接著演示例題并練習。例2已知且a, b夾角是60°，求小結與反思： 以問題的形式，來反饋一節(jié)課的重點是否突出，難點是否突破。 問題一：關于向量的數量積的概念包括哪些

11、主要內容？如何引入的？ 問題二：說出向量數量積的幾何意義及運算律。 問題三：用向量的數量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？l 數量積的概念包括兩個非零向量的夾角的定義和范圍、數量積的定義。l 向量數量積的幾何意義是：a × b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運算律有三條：。l 用向量的數量積可解決幾何中三大問題：垂直的推斷、夾角的計算和求線段長度。； ； 。板書設計：整個板面分成三列，把重點學問數量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來的幾何意義、運算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個向量夾角的相關概念；右列集中放例題。教學記：本節(jié)課的設計留意教學目標的明確；留意依據同學的認知規(guī)律而科學地進行學問序列的呈現；留意調動同學參與教學活動；留意課堂效果的實效性。高中數學教學應體現學問的來龍去脈，創(chuàng)設問題情景，建立數學模型，讓同學經受數學學問的形成與應用，可以更好的理解數學概念、結論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增加學好數學的愿望和信念。對于抽象數學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，掛念同學克服機械記憶概念的學習方式。老師是同學學習的引導者、組