初中幾何定理教學(xué)中存在的問(wèn)題的研究

1、第1頁(yè)初中幾何定理教學(xué)中存在的問(wèn)題的研究初中幾何證明題作為培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的重要內(nèi)容，是 學(xué)生探究活動(dòng)的延續(xù)和發(fā)展。幾何定理的教學(xué)是幾何證明的 基礎(chǔ)。但是很多教師在幾何定理的證明的教學(xué)中存在很多的 誤區(qū)，認(rèn)為定理只要理解會(huì)應(yīng)用就可以了，存在輕過(guò)程重應(yīng) 用、輕條件重結(jié)果等傾向。本文結(jié)合多年的教學(xué)與研究就 “初中幾何定理教學(xué)中存在的問(wèn)題談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)。一、注重定理的結(jié)論而忽略對(duì)定理本身的探索過(guò)程。概念和 定理是分析、推理、判斷的重要依據(jù) ; 是進(jìn)行邏輯推理的基 礎(chǔ)，但是在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中很多教師忽略了定理本身的形成的 過(guò)程，而變?yōu)椤皸l文加例題”或雖有揭示定理的過(guò)程但簡(jiǎn)單 淺薄，內(nèi)容貧乏一掠而過(guò)。如：在

2、三角形內(nèi)角和定理的教學(xué) 中一些教師認(rèn)為學(xué)生小學(xué)就已經(jīng)知道這個(gè)結(jié)論因而可以直 接引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣證明，然后利用很多的習(xí)題來(lái)鞏固，這 樣學(xué)生經(jīng)過(guò)的只是“題海”。本人主張可以放手大膽的讓學(xué) 生通過(guò)“拼接，作輔助線”等多種方法讓學(xué)生自己去探 索定理的證明，讓學(xué)生感受定理的形成更利于研究四邊形等 多邊形的內(nèi)角和與外角和定理。二、把新教材中刪去的一些定理補(bǔ)充給學(xué)生增加學(xué)生的負(fù) 擔(dān)。如新蘇科版教材中沒(méi)有把直角三角形被斜邊上的高分成 的兩個(gè)三角形和原三角形相似作為定理而使設(shè)置這樣一道 例題：例如圖在直角三角形 ABC 中，/ ACB=90 CD 是斜邊 AB 上的高。（1）圖中有哪幾對(duì)相似三角形？請(qǐng)把它們表示

3、出來(lái)，并 說(shuō)明理第2頁(yè)由；（2） AC 是那兩條線段的比例中項(xiàng)？為什么？但一些教師由此給出“直角三角形被斜邊上的高分成的兩 個(gè)三角形與原三角形相似”讓學(xué)生記憶，甚至補(bǔ)充每一條直 角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)（射影定理） 這樣不但加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，久而久之是學(xué)生很可能直接應(yīng) 用.考試中就發(fā)現(xiàn)一部分同學(xué)有如下的寫(xiě)法： ABC中因?yàn)?/ACB=90CQAB 與 D所以 ACDAABCAC=ADAB這樣導(dǎo)致因推理不嚴(yán)密而失去應(yīng)該得到的分?jǐn)?shù)。三、沒(méi)有講清定理之間的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)循環(huán)論 證。數(shù)學(xué)定理不是各自孤立的互不聯(lián)系的，而是緊密相關(guān)互 相制約互為因果的，并按數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律形成一個(gè)

4、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目?學(xué)體系。但一些老師在教學(xué)中由于沒(méi)有注意定理之間的因果 關(guān)系使得學(xué)生在證明時(shí)出現(xiàn)循環(huán)論證的現(xiàn)象。如：等腰梯形 的同一底上的兩個(gè)角相等和等腰梯形的對(duì)角線相等兩個(gè)定 理，前者是因后者是果，因此證明等腰梯形的同一底上的兩 個(gè)角相等時(shí)如果利用了等要梯形的對(duì)角線相等就出現(xiàn)了循 環(huán)論證。 下面的證明就為這一種錯(cuò)誤的論證情況： 證明同一 等腰梯形的同一底上的兩個(gè)角相等。（畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知和求證然后證明）如圖：等腰梯形 ABCD 中 AD/ BCAB=DC求證：/ ABChDCB證明：連接 ACBD 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是等腰梯形所以 AC=BD 等 腰梯形的兩條對(duì)角線相等 )在厶 ABC 和厶

5、DCB 中有 AB=DC(已知)第3頁(yè)BC=BC 公共邊)BD=AC 已證)所以 ABCADCB(SSS)所以/ ABChDCB 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)上面的錯(cuò)誤在于證明過(guò)程中用到的等腰梯形的對(duì)角線相等 的本身的證明就需要利用等腰梯形的同一底上的兩個(gè)角相 等來(lái)證出這樣在證明的過(guò)程中就隱含了等腰梯形的同一底 上的兩個(gè)角相等所以是一種循環(huán)論證。四、超越階段要求過(guò)高。培養(yǎng)學(xué)生的推理能力要有一個(gè)循序 漸進(jìn)的過(guò)程，不能操之過(guò)急，必須有意識(shí)有計(jì)劃的培養(yǎng)，使 學(xué)生逐步學(xué)會(huì)推理論證的方法。如：蘇科版教材對(duì)特殊的平 行四邊形的性質(zhì)及判定八年級(jí)要求能利用中心對(duì)稱的性質(zhì) 探索其性質(zhì)和判定能合情的推理理解性質(zhì)及判定到

6、九年級(jí) 就要求能利用邏輯推理的方法來(lái)證明這些特殊的平行四邊 形的性質(zhì)及判定。但是一些教師由于對(duì)要求把握不好或有意 要求過(guò)高，這樣無(wú)形之中就增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)使一些學(xué)生總 認(rèn)為自己掌握的不好，甚至一部分后進(jìn)生沒(méi)有了學(xué)習(xí)的信五、忽視定理的符號(hào)語(yǔ)言的表述。證明過(guò)程的正確的書(shū)寫(xiě)的 前提是幾何定理的正確的書(shū)寫(xiě)，因?yàn)閹缀味ɡ淼姆?hào)語(yǔ)言是 證明的基本的單位。由于一些教師在把定理題設(shè)和結(jié)論轉(zhuǎn)化 為符號(hào)語(yǔ)言的方面做的不好，造成幾何證明題會(huì)證的不會(huì) 寫(xiě)；或書(shū)寫(xiě)不完整；或憑感覺(jué)。由于不會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)從 而不能嚴(yán)謹(jǐn)推理，造成幾何定理無(wú)法具體運(yùn)用到習(xí)題中去。 如：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。第4頁(yè)一些同學(xué)在 運(yùn)用此定理在題中推理時(shí)就出現(xiàn)下面的情形因?yàn)?C 為/AOB的平分線點(diǎn) F 在 0C 上所以 FD=FE 角平分線上的點(diǎn)到角的兩 邊的距離相等 ） 。上邊的推理就是沒(méi)有正確的寫(xiě)出定理的條 件而導(dǎo)致推理不嚴(yán)密。 正確的推理應(yīng)該是因?yàn)?0C 為/ AOB 的 角平分線點(diǎn) F在 0C 上且 FD 丄 0A 于 D,FE 丄 OB 于 E 所以 FD=FE （角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）概念和定理是幾何證明的基礎(chǔ)，有效的定理教學(xué)有助于對(duì)證 明的全面的理解；有利于使用較規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)證明過(guò)