2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4等比數(shù)列2.4.1等比數(shù)列的概念及通項公式教案新人教A版必修5.doc

1、2021-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4等比數(shù)列2.4.1等比數(shù)列的概念及通項公式教案新人教A版必修5工程內(nèi)容課題2.4,1等比數(shù)列的概念及通項公式共1課時修改與創(chuàng)新教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1 .了解現(xiàn)實生活中存在著一類特殊的數(shù)列；2 .理解等比數(shù)列的概念,探索并掌握等比數(shù)列的通項公式；3 .能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實際問題；4 .體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.二、過程與方法1 .采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué)；2 .發(fā)揮學(xué)生的主體作用,作好探究性活動；3 .密切聯(lián)系實際,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1 .

2、通過生活中的大量實例,鼓勵學(xué)生積極思考,激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度,培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的水平；2 .通過對有關(guān)實際問題的解決,表達(dá)數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.教學(xué)重、難點教學(xué)重點1.等比數(shù)列的概念；2.等比數(shù)列的通項公式.教學(xué)難點1.在具體問題中抽象出數(shù)列的模型和數(shù)列的等比關(guān)系；2.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件教學(xué)過程導(dǎo)入新課師現(xiàn)實生活中,有許多成倍增長的實例.如,將一張報紙對折、對折、再對折、,對折了三次,手中的報紙的層數(shù)就成了8層,對折了5次就成了32層.你能舉出類似的例子嗎？生一粒種子繁殖出第二代120粒種子,用第二代的120粒種子可

3、以繁殖出第三代120X120粒種子,用第三代的120X120粒種子可以繁殖出第四代120X120X120粒種子,師非常好的一個例子！現(xiàn)實生活中,我們會遇到許多這類的事例.師細(xì)胞分裂的個數(shù)也是與我們上述提出的問題類似的實例.細(xì)胞分裂有什么規(guī)律,將每次分裂后細(xì)胞的個數(shù)寫成一個數(shù)列,你能寫出這個數(shù)列嗎？生通過觀察和畫草圖,發(fā)現(xiàn)細(xì)胞分裂的規(guī)律,并記錄每次分裂所得到的細(xì)胞數(shù),從而得到每次細(xì)胞分裂所得到的細(xì)胞數(shù)組成下面的數(shù)列：1,2,4,8,教師出示投影膠片1：“一尺之梗,日取其半,萬世不竭.師這是?莊子天下篇?中的一個論述,能解釋這個論述的含義嗎？生思考、討論,用現(xiàn)代語言表達(dá).師用現(xiàn)代語言表達(dá)后如果把“

4、一尺之植看成單位“1,那么得到的數(shù)列是什么樣的呢？生發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系,寫出一個無窮等比數(shù)列：1,24816教師出示投影膠片2：計算機(jī)病毒傳播問題.一種計算機(jī)病毒,可以查找計算機(jī)中的地址簿,通過郵件進(jìn)行傳播.如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪,郵件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪,依此類推.假設(shè)每一輪每一臺計算機(jī)都感染20臺計算機(jī),那么在不重復(fù)的情況下,這種病毒感染的計算機(jī)數(shù)構(gòu)成一個什么樣的數(shù)列呢？師讀題后這種病毒每一輪傳播的計算機(jī)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是怎樣的呢？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪“每一輪感染20臺出算機(jī)中蘊(yùn)涵的等比關(guān)系.生發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系,寫出一個無窮等比數(shù)列：1,20,20:,2020

5、9;,教師出示多媒體課件二：銀行存款利息問題.師介紹'復(fù)利的背景：“復(fù)利是我國現(xiàn)行定期儲蓄中的一種支付利息的方式,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再計算下一期的利息,也就是通常說的“利滾利.我國現(xiàn)行定期儲蓄中的自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)實際上就是按復(fù)利支付利息的.給出計算本利和的公式：本利和二本金X1+本金尸,這里n為存期.生列出5年內(nèi)各年末的本利和,并說明計算過程.師生合作討論得出“時間“年初本金“年末本利和三個量之間的對應(yīng)關(guān)系,并寫出：各年末本利和單位：元組成了下面數(shù)列：10000X1.0198,10000X1.0198:,10000X1.01983,10000X1.01981,1000

6、0X1.01985.師回憶數(shù)列的等差關(guān)系和等差數(shù)列的定義,觀察上面的數(shù)列說說它們有什么共同特點?師引導(dǎo)學(xué)生類比等差關(guān)系和等差數(shù)列的概念,發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系.引入課題：板書課題2.4等比數(shù)列的概念及通項公式推進(jìn)新課合作探究師從上面的數(shù)列中我們發(fā)現(xiàn)了它們的共同特點是：具有等比關(guān)系.如果我們將具有這樣特點的數(shù)列稱之為等比數(shù)列,那么你能給等比數(shù)列下一個什么樣的定義呢？生回憶等差數(shù)列的定義,并進(jìn)行類比,說出：一般地,如果把一個數(shù)列,從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.教師精講師同學(xué)們概括得很好,這就是等比數(shù)列(geometricsequence)的定義.有些書籍把等比數(shù)列

7、的英文縮寫記作G.P.(GeometricProgression).我們今后也常用G.P.這個縮寫表示等比數(shù)列.定義中的這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(commonratio),公比通常用字母q表示(q#0).請同學(xué)們想一想,為什么qHO呢？生獨(dú)立思考、合作交流、自主探究.師假設(shè)q=0,數(shù)列的第二項就應(yīng)該是0,那么作第一項后面的任一項與它的前一項的比時就出現(xiàn)什么了呢？生分母為0了.師對了,問題就出在這里了,所以,必須qWO.師那么,等比數(shù)列的首項能不能為0呢？生等比數(shù)列的首項不能為0.師是的,等比數(shù)列的首項和公比都不能為0,等比數(shù)列中的任一項都不會是0.合作探究師類比等差中項的概念,請同學(xué)們自己給

8、出等比中項的概念.生如果在a與占中間插入一個數(shù)G,使a、G、6成等比數(shù)列,那么G叫做a、6的等比中項.師想一想,這時a、6的符號有什么特點呢？你能用a、6表示G嗎？生一起探究,左6是同號的0=2,G=土疝,G06.aG師觀察學(xué)生所得到的a、b、G的關(guān)系式,并給予肯定.補(bǔ)充練習(xí)：與等差數(shù)列一樣,等比數(shù)列也具有一定的對稱性,對于等差數(shù)列來說,與數(shù)列中任一項等距離的兩項之和等于該項的2倍,即a.“+a對于等比數(shù)列來說,有什么類似的性質(zhì)呢？生獨(dú)立探究,得出：等比數(shù)列有類似的性質(zhì)：合作探究探究：(1)一個數(shù)列A,飛由,%(&W0)是等差數(shù)列,同時還能不能是等比數(shù)列呢？(2)寫出兩個首項為1的等比

9、數(shù)列的前5項,比擬這兩個數(shù)列是否相同？寫出兩個公比為2的等比數(shù)列的前5項,比擬這兩個數(shù)列是否相同？(3)任一項a,及公比q相同,那么這兩個數(shù)列相同嗎？(4)任意兩項、區(qū)相同,這兩個數(shù)列相同嗎？(5)假設(shè)兩個等比數(shù)列相同,需要什么條件？師引導(dǎo)學(xué)生探究,并給出(1)的答案,(2)(3)(4)可留給學(xué)生答復(fù).生探究并分組討論上述問題的解答方法,并交流(1)的解答.教師精講概括總結(jié)對上述問題的探究,得出：(1)中,既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是存在的,每一個非零常數(shù)列都是公差為0,公比為1的既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列.概括學(xué)生對(2)(3)(4)的解答.(2)中,首項為1,而公比不同的等比數(shù)列是

10、不會相同的：公比為2,而首項不同的等比數(shù)列也是不會相同的.(3)中,是指兩個數(shù)列中的任一對應(yīng)項與公比都相同,可得出這兩個數(shù)列相同；(4)中,是指兩個數(shù)列中的任意兩個對應(yīng)項都相同,可以得出這兩個數(shù)列相同；(5)中,結(jié)論是：假設(shè)兩個數(shù)列相同,需要“首項和公比都相同.(探究的目的是為了說明首項和公比是決定一個等比數(shù)列的必要條件：為等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)做準(zhǔn)備)合作探究師回憶等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程,你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式嗎？生推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式.方法引導(dǎo)師讓學(xué)生與等差數(shù)列的推導(dǎo)過程類比,并引導(dǎo)學(xué)生采用不完全歸納法得出等比數(shù)列的通項公式.具體的,設(shè)等比數(shù)列首項為色,公比為q,根據(jù)等比數(shù)

11、列的定義,我們有：二E立一&應(yīng),as-atq-aq,dLa-iQ3iQ,即aK：qC.師根據(jù)等比數(shù)列的定義,我們還可以寫出%/4_4.6a2七%'進(jìn)iflj/4=a.r；q二aq=a«-sQ=二a：q.亦得_an.r-iQ師觀察一下上式,每一道式子里,項的下標(biāo)與q的指數(shù),你能發(fā)現(xiàn)有什么共同的特征嗎？生把土看成ad,那么,每一道式子里,項的下標(biāo)與q的指數(shù)的和都是n.師非常正確,這里不僅給出了一個由a.倒推到小與a：,q的關(guān)系,從而得出通項公式的過程,而且其中還蘊(yùn)含了等比數(shù)列的根本性質(zhì),在后面我們研究等比數(shù)列的根本性質(zhì)時將會再提到這組關(guān)系式.師請同學(xué)們困繞根據(jù)等比數(shù)列的定

12、義寫出的式子血=生=幺=.=2=心再思考.at2.3如果我們把上面的式子改寫成恐=5包=%"=q,上乙=9.%0的那么我們就有了丁1個等式,將這n-1個等式兩邊分別乘到一起疊乘,得到的結(jié)果是4=于是,得ahaqc.%師這不又是一個推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式的方法嗎？師在上述方法中,前兩種方法采用的是不完全歸納法,嚴(yán)格的,還需給出證實.第三種方法沒有涉及不完全歸納法,是一個完美的推導(dǎo)過程,不再需要證實.師讓學(xué)生說出公式中首項盤和公比q的限制條件.生和q都不能為0.知識拓展師前面實例中也有“細(xì)胞分裂“計算機(jī)病毒傳播“復(fù)利計算的練習(xí)和習(xí)題,那里是用什么方法解決問題的呢？教師出示多媒體課件三：前面

13、實例中關(guān)于“細(xì)胞分裂“計算機(jī)病毒傳播"''復(fù)利計算的練習(xí)或習(xí)題.某種儲蓄按復(fù)利計算本錢利息,假設(shè)本金為a元,每期利率為r,設(shè)存期是x,本利和為y元.(1)寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果存入本金1000元,每期利率為2.25%,試計算5期后的本利和.師前面實例中關(guān)于“細(xì)胞分裂“計算機(jī)病毒傳播“復(fù)利計算的問題是用函數(shù)的知識和方法解決問題的.生比擬兩種方法,思考它們的異同.教師精講通過用不同的數(shù)學(xué)知識解決類似的數(shù)學(xué)問題,從中發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)可以聯(lián)系起來.(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出通項公式為國二2G的數(shù)列的圖象和函數(shù)y二2c的圖象,你發(fā)現(xiàn)了什么

14、？(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出通項公式為4=d)z的數(shù)列的圖象2和函數(shù)尸(L)門的圖象,你又發(fā)現(xiàn)了什么？2生借助信息技術(shù)或用描點作圖畫出上述兩組圖象,然后交流、討論、歸納出二者之間的關(guān)系.師出示多媒體課件四：借助信息技術(shù)作出的上述兩組圖象.觀察它們之間的關(guān)系,得出結(jié)論：等比數(shù)列是特殊的指數(shù)函數(shù),等比數(shù)列的圖象是一些孤立的點.師請同學(xué)們從定義、通項公式、與函數(shù)的聯(lián)系3個角度類比等差數(shù)列與等比數(shù)列,并填充以下表格：等差數(shù)列等比數(shù)列定義從第二項起,每一項與它前一項的差都是同一個常數(shù)從第二項起,每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)首項、公差公比取值有無限制沒有任何限制首項、公比都不能為0通項公式捻二2+77-1dJT1相應(yīng)圖象的特點直線y=a1+x-ld上孤立的點函數(shù)圖象上孤立的點例題剖析【例1】某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年,剩留的這種物質(zhì)是原來的84%,這種物質(zhì)的半衰期為多長精確到1年？師從中能抽象出一個數(shù)列的模型,并且該數(shù)列具有等比關(guān)系.fTO【例2】根據(jù)右圖中的框圖,寫出所打印數(shù)列的前5項,并建立數(shù)列的遞推公式,這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？師將打印出來的數(shù)依次記為a即心,上,小,.“J大口2=1;%二2X;二土X、一.22于是,可得遞推公式?=1,<1由于£l=J_,因此,這個數(shù)列是等比數(shù)列.2生算出這個數(shù)列的各項,求出這個數(shù)列的通