2019年高考北京卷理數(shù)試題解析

1、2.執(zhí)行如下圖的程序框圖,輸出的s值為A.1B.2C.32021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)理北京卷本試卷共5頁,150分.測試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在做題卡上,在試卷上作答無效.測試結(jié)束后,將本試卷和做題卡一并交回.第一局部選擇題共40分一、選擇題共8小題,每題5分,共40分.在每題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.復(fù)數(shù)z=2+i,那么zz=A.點B.75C.3D.5解：；z=2十i,zZ=|z2=；22+122=5.應(yīng)選：D.D.4一,212運行第一次,k=1,s=2,31-2一一,22運行第二次,k=2,s=2,32-2_2o2220運行第三次,s二二2,32

2、-2結(jié)束循環(huán),輸出s=2,應(yīng)選B.3.直線l的參數(shù)方程為x=13t,y=24tt為參數(shù),那么點1,0到直線l的距離是丘,x=13t解：由二24t2B.一5t為參數(shù)消去t,可得4x-3y+2=0.那么點1,0到直線l的距離是|41-302|64(-3)4.橢圓xy1十=1(ab0)的曷心率為一b222A.a=2b22B.3a=4bC. a=2bD. 3a=4b解：橢圓的離心率c122,2,rre=,c=a-b,化間得3a=4b,a21b2另解e=1-,4a24b2=a2,即3a2=4b2應(yīng)選：B5.假設(shè)x,y滿足|x|,1-y,且y一1,那么3x+y的最大值為C.5D.7解：由!|x|,1y作出

3、可行域如圖,y1.V-1.一聯(lián)立?,解得A(2,-1),xy-1=0令z=3x+y,化為y=3x+z,由圖可知,當(dāng)直線y=3x+z過點A時,z有最大值為3父21=5.6 .在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足5,Ei一,m2-mi=lg,其中星等為mi的星的亮度為E2k=l,2.太陽的星等是-26.7,2E2天狼星的星等是-1.45,那么太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1B.10.1C.lgiO.1D.1010.1解：兩顆星的星等與亮度滿足5曰/m2-m!=-lg一,令皿=一1.45,m=-26.7,2E2E122E11011g=-(m2-m,)=-

4、(-1.45+26.7)=10.1,=10E255E2E2=10J0.1E1應(yīng)選D.7 .設(shè)點A,B,C不共線,那么“而與太C的夾角為銳角是“品十品|曲的A.充分而不必要條件8 .必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解.A?B?C三點不共線,|aB+aC|bC|aB+而|aB-AC1=iB+aC12|aB-C12：.：啟?k0=裾與M的夾角為銳角.故“太B與充的夾角為銳角是1AB+k11BC|的充分必要條件,應(yīng)選C.8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一如圖.給出以下三個結(jié)論:曲線C恰好經(jīng)過6個整點即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點曲線

5、C上任意一點到原點的距離都不超過72;曲線C所圍成的“心形區(qū)域的面積小于3.其中,所有正確結(jié)論的序號是解：將x換成_x方程不變,所以圖形關(guān)于y軸對稱,C.D.當(dāng)x=0時,代入得y2=1,二y=1,即曲線經(jīng)過(0,1),(0,-1);當(dāng)x0時,方程變?yōu)?2.-一y_xy+x-1=0,所以2.2_.一=x-4x一1-0,解得xW0,所以x只能取整數(shù)1,當(dāng)x=1時,y2y=0,解得y=0或y=1,即曲線經(jīng)過(1,0),(1,1),根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過(-1,0),(-1,1),故曲線一共經(jīng)過6個整點,故正確.222222xy當(dāng)x0時,由x+y=1+xy得x+y-1=xy,2,(當(dāng)x=y時取等),

6、:x2+y2,2,Jx2+y2,72,即曲線C上y軸右邊的點到原點的距離不超過&,根據(jù)對稱性可得：曲線C上任意一點到原點的距離都不超過壺；故正確.在x軸上圖形面積大于矩形面積=1父2=2,x軸下方的面積大于等腰直角三角形的面積1=1X2X1=1,因此曲線C所圍成的“心形區(qū)域的面積大于2+1=3,故錯誤.2應(yīng)選：C.第二局部(非選擇題共110分)二、填空題共6小題,每題5分,共30分.9 .函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是解：函數(shù)f(x)=sin22x=1-cos4x,周期為三2210 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,假設(shè)a2=-3,S5=-10,那么a5=,Sn的最小值為解：設(shè)等差數(shù)

7、列an的前n項和為S,a2=3,&=10,a1d=-354,5a1d-102,-ra5=a+4d=B+4M1=0,n(n-1)n(n-1)19281S=nad-4n(n-)22228:n=4或n=5時,Sn取最小值為S4=8=10.故答案為：0,-10.11.某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得,其三視圖如下圖.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為l,那么該幾何體的體積為40用展鄧俯視解：由三視圖復(fù)原原幾何體如圖,該幾何體是把棱長為4的正方體去掉一個四棱柱,1那么該幾何體的體積V=4父2父2+1(2+4)父2M4=40.故答案為：40.12.l,m是平面口外的兩條不同直線.給出以下三個論斷：l_|

8、_m;m/o(;lj_ot.以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出一個正確的命題：jri_l3二lJ_m,貝Um/a_.解：由l,m是平面a外的兩條不同直線,知：由線面平行的判定定理得：假設(shè)l,l_Lm,那么m/a.故答案為：假設(shè)l_Lo(,l_Lm,那么m/o(.13 .設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).假設(shè)f(x)為奇函數(shù),那么a=；假設(shè)f(x)是R上的增函數(shù),那么a的取值范圍是.解：假設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae)為奇函數(shù),那么f(-x)=-f(x),e,+aex=-(ex+ae,),(a+1)(ex+e)=0對任意的x恒成立.xxxx右函數(shù)f(x)=e+ae是R

9、上的增函數(shù),那么f(x)=e-ae之0恒成立,a-e2x,a-0.即實數(shù)的取值范圍是-0114 .李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷：一次購置水果的總價到達120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.當(dāng)x=10時,顧客一次購置草莓和西瓜各1盒,需要支付130元;在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,那么x的最大值為.解：當(dāng)x=10時,顧客一次購置草莓和西瓜各1盒,可得60+80=140(元),即有

10、顧客需要支付140-10=130(元)；在促銷活動中,設(shè)訂單總金額為m元,可得(m-x)x80%-m父70%,即有Xm,8由題意可得m120,120可得x,=15,8那么x的最大值為15元.故答案為：130,15三、解做題共6小題,共80分.解容許寫出文字說明,演算步驟或證實過程.115 .ABC中,a=3,b-c=2,cosB.(I)求b,c的值；(n)求sin(B-C)的值.Da2c2-b21COSB=-n2ac2a=3解：(I)由題意可得:bc=2,解得：4b=7.a=3c=5(n)由同角三角函數(shù)根本關(guān)系可得:sinB=61-cos2B=-,2.ccsinB5、.3SinC=bc結(jié)合正弦

11、定理=可得:sinBsinC很明顯角C為銳角,故cosC=小-sin2C14故sinB-C=sinBcosC一cosBsinC=；、3.16 .如圖,在四棱錐PRBCD中,RA,平面ABCD,ADCD,AD/BC,PAADCD2,BC3,EPF1為PD的中點,點F在PC上,且.PC3(I)求證：CD,平面PAD；(n)求二面角FAE-P的余弦值；PG2出)設(shè)點G在PB上,且=一.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi),說明理由.PB3C【解答】證實：(I)7PA1平面ABCD,PA_LCD,:AD_CD,P哨AD=A,CD,平面PAD.解：(n)以A為原點,在平面ABCD內(nèi)過A作CD的平行線為x軸,A

12、D為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,_.224A(0,0,0),E(1,0,1),F(-,-,-),P(0,0,2),333r1224AE=(1,0,1),AF=(,),333平面aep的法向量n=.,0,0),設(shè)平面AEF的法向量m=(x,y,z),m|_AE=xz=0,那么4/224,取x=1,得m=(1,1,1),m|_AF=-xyz=0333設(shè)二面角F-AE-P的平面角為6,| mi_n|13那么cos6=4,4=r=.| m|_|n|.33、3二二面角FAEP的余弦值為.3(出)直線AG不在平面AEF內(nèi),理由如下：.,點G在PB上,且PG.G(f,0,-),PB333七42.A

13、G=(一,0,),33丫平面AEF的法向量m=(1,1,1),m忘=4_2=2=0,333故直線AG不在平面AEF內(nèi).17.改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額(元)支付方式(0,1000(1000,2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(I)從全校學(xué)生中隨機抽取1人,估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率；(n)從樣本

14、僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(出)上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.(I)由題意可知,兩種支付方式都是用的人數(shù)為：100-30-255=40人,那么：402該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率p=-.1005(n)由題意可知,僅使用A支付方法的學(xué)生中,金額不大于1000的人數(shù)占3,金額大于1000的人數(shù)占-,55僅使用B支付

15、方法的學(xué)生中,金額不大于1000的人數(shù)占-,金額大于1000的人數(shù)占-,55且X可能的取值為0,1,2.X分布列為:X0126136P(X)252525pX=0=|525213,PX=1=325525,P(、,-326X=21=一父一=5525其數(shù)學(xué)期望:E二0(出)我們不1隨機事件在越來越穩(wěn)定每個學(xué)生方出現(xiàn)題中這矛18.拋過點(2,1).C的方程及(I)求拋勺原點,過拋物線(n)設(shè)O學(xué)校是一個C:x-2機的,日羊本僅使用隨機實驗中消費穩(wěn)定的地象可能是發(fā)生勺學(xué)生2000元的人數(shù)有變化.理由如下:況每個月的消費應(yīng)該相對固定,小概率事件線方程;生日131-25月支付金額大于是不能己的實C的焦點作斜

16、率不W口的,隨著試驗次數(shù)的增多,頻率勺直線l交拋物線C于兩點M,N,(n)很明顯直線l的斜率存在,焦點坐標(biāo)為(0,-1),設(shè)直線方程為y=kx-1,與拋物線方程X2=-4y聯(lián)立可得：x2+4kx-4=0.直線y=分別交直線OM,ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點._2_(I)將點-1)代入拋物線方程：2=2pM(-1)可得：P=2,2X2故：xix2_4k,X1X2-4.X2直線OM的方程為y=上x,與y=1聯(lián)立可得:4|4)口(4A-,-1,同理可得B,1(xJlx?易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為:22一-+,-1,圓的半徑為:x1x2/2x2222x1x2H：-

17、=1-=2kx1x2x1x222xx2=2jk2+1,22c那么圓的方程為：x-2kjry,1=4k1,令x=0整理可得：y2+2y3=0,解得：y1=_3,y2=1,即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點0,-3,0,1.13219.函數(shù)f(x)=x-x+x.4(i)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；(n)當(dāng)xw-2,4時,求證：x-6f(x)x；(m)設(shè)F(x)4f(x)0,g(x)為增函數(shù)；當(dāng)xw(0,一)時,g(x)0,g(x)為增函數(shù)；3而g(0)=g(4)=0,所以g(x)0,即f(x)0,4即f(x)之x-6,綜上可得x-6f(x)x.(m)由(n)知-6f(x)-x0,所

18、以M(a)是a,a6中的較大者,假設(shè)a之a(chǎn)+6,即a04時,M(a)=|a=a之3；假設(shè)a3時,M(a)=|a+6=a+63；所以當(dāng)M(a)最小時,M(a)=3,此時3.20.(13分)數(shù)列4,從中選取第ii項、第i2項、第im項(ii曰2,im),假設(shè)ahOi2Oim,那么稱新數(shù)列1,ai2,a.為aj的長度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列a.的任意一項都是aj的長度為1的遞增子列.(I)寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個長度為4的遞增子列；(n)數(shù)列aj的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am.,長度為q的遞增子列的末項的最小值為a.假設(shè)pq,求證：am.ca.；(出)設(shè)無窮數(shù)列a.的各項均為正整數(shù),且任意兩項均不相等.假設(shè)an的長度為s的遞增子列末項的最小值為2s-1,且長度為s末項為2s-1的遞增子列恰有2s,個(s=1,2,),求數(shù)列a.的通項公式.解：(I)滿足題意的一個長度為4的遞增子列為：1,3,5,6.(n)對于每一個長度為q的遞增子列a1,&,川aq,都能從其中找到假設(shè)干個長度為p的遞增子列a1,a2,Hlap,此時apwaq,設(shè)所有長度為q的子列的末項分別為：q1,aq2,aq3,ll|),所有長度為p