2協(xié)整的JJ檢驗

1、JJ協(xié)整檢驗在本書§2.5中，已經(jīng)介紹了協(xié)整理論。協(xié)整理論是動態(tài)計量經(jīng)濟學(xué)模型的理論基礎(chǔ)，正是由于變量之間可能存在的協(xié)整關(guān)系，才可能將自回歸分布滯后模型變換為具有誤差修正機制的誤差修正模型。在§2.5中已經(jīng)介紹了單整的DF檢驗和ADF檢驗，以及檢驗兩個同階單整變量之間是否存在協(xié)整的EG檢驗(Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法)。這里著重介紹多重協(xié)整檢驗，即檢驗多個具有同階單整變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系。也可以用EG檢驗法檢驗多個具有同階單整變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系。在其第一階段，需要設(shè)計許多線性模型進行OLS估計，應(yīng)用很不方便。Johansen于1988年，

2、以及與JuseliusJohansen檢驗，或一起于1990年提出了一種用向量自回歸模型進行檢驗的方法，通常稱為JJ檢驗，是一種進行多重協(xié)整檢驗的較好方法。1. JJ檢驗的原理§ 1.5 (6.2.27)所示的沒有移動平均項的向量自回歸模型表示為：yt其中=：'-1yt,7.pyt.(6.4.7)Y1ty1t_1y1t3y2tytAy2tay2t_pyMt_p:,二111-,.；t112：11Mp11p12p1M：二121:二122：二12Mp21p22二工p2M,：1M1.、1M2-pM1>2t1t2tSt(6.4.8)(6.4.8)進行差分變換可以得到下式表示的模(

3、6.4.9),產(chǎn)M士為了簡便，改寫為：pyt-'j£如果yt表示M個I(1)過程構(gòu)成的向量，對型：pyt二工Jj卜ny一；tj壬由于I(1)過程經(jīng)過差分變換將變成I(0)過程，即(6.4.9)中的Ayt、的11(j=1,2,，p)都是I(0)變量構(gòu)成的向量，那么只有nyj是i(o)變量構(gòu)成的向量，即y1t4,y2，yMt之間具有協(xié)整關(guān)系，才能保證新生誤差是平穩(wěn)過程。如果R(n)=M,顯然只有y”，y2tH，yM1都是I(0)變量，才能保證新生誤差是平穩(wěn)過程。而這與已知的yt為I(1)過程相矛盾。所以必然存在r(H)cm。如果R(n)=0，意味著n=0,因此(6.4.9)僅僅是

4、個差分方程，各項都是(0)變量，不需要討論yit,，y2t山，yMt,之間是否具有協(xié)整關(guān)系。如果R(n)=r(0<r<M),表示存在r個協(xié)整組合，其余Mr個關(guān)系仍為I(1)關(guān)系。在這種情況下，口可以分解成兩個(MMr)階矩陣a和P的乘積：二二:(6.4.10)其中R(C(,)=r,R(P)=r。將(6.4.10)代入(6.4.9),得至U:p:yt="：j.：yt一：三，yj-,t(6.4.11)j±該式要求y、t,為一個(0)向量，其每一行都是一個(0)組合變量，即每一行所表示的yu，y2tL，yMt,的線性組合都是一種協(xié)整形式。所以矩陣P'決定了y1

5、u,y2tL，yMj之間協(xié)整向量的個數(shù)與形式。所以B,稱為協(xié)整向量矩陣，r為系統(tǒng)中協(xié)整向量的個數(shù)。矩陣a的每一行0是出現(xiàn)在第j個方程中的r個協(xié)整組合的一組權(quán)重,故稱為調(diào)整參數(shù)矩陣。當(dāng)然容易發(fā)現(xiàn)，口和P并不是唯一的。于是，將yt中的協(xié)整檢驗變成對矩陣n的分析問題。這就是JJ檢驗的基本原理。2. JJ檢驗的預(yù)備工作Johansen于1988年提出的檢驗方法必須進行如下步驟的預(yù)備工作:第一步：用OLS分別估計(6.4.12)pyt=''jyt-1j土中的每一個方程，計算殘差，得到殘差矩陣第二步：用OLS分別估計pyy='-jyt_j'j土中的每一個方程，計算殘差，得到

6、殘差矩陣第三步：構(gòu)造上述殘差矩陣的積矩陣：S0,為一個(MXT)階矩陣。(6.4.13)S1,也為一個(MXT)階矩陣。R00R10第四步:-1二TS0S=T飛1sR01R11-1=TS0S11=TS1S1(6.4.14)計算R10R00-R01關(guān)于R11的有序特征值和特征向量。特征值即為特征方程(6.4.15).1R11-R10R00R01的解，12九1A主Lr主之九M之0，構(gòu)成對角矩陣A;對應(yīng)的特征向量卞成的矩陣為B,則有(6.4.16)1R11B=R10R00R01B其中B由下式正規(guī)化：BR11B=I第五步：設(shè)定似然函數(shù)。當(dāng)口無約束時，(6.4.15)的M個特征值都保留，其對數(shù)似然函數(shù)依

7、賴于：1 二、-T'ln1i)(6.4.17)2 i±但當(dāng)R(II)=r(0<r<M)時，對數(shù)似然函數(shù)是r個最大的特征值的函數(shù)：1一T-ln1-i）（6.4.18）3 iN3. JJ檢驗之一一特征值軌跡檢驗如果r個最大的特征值給出了協(xié)整向量，對其余M_r個非協(xié)整組合來說，,上兒.r-1,，M應(yīng)該為0。于是設(shè)零假設(shè)為：Hr:有M_r個單位根，即有r個協(xié)整關(guān)系。備擇假設(shè)為無約束。檢驗統(tǒng)計量為：M"（Mr）=T£ln（九Jr=0,1,2，M1（6.4.19）i=1服從Johansen分布。當(dāng)r=0,1,2，M-1時可以得到一系列統(tǒng)計量值：n（M）,n

8、（M_i），j（i）。依次檢驗這一系列統(tǒng)計量的顯著性。當(dāng)“（M）不顯著時（即n（M）值小于某顯著T水平下的Johansen分布臨界值），不拒絕H0（即不拒絕r=0）,說明有0個協(xié)整向量（即不存在協(xié)整關(guān)系）；當(dāng)n（M）顯著時（n（M）值大于某顯著T水平下的Johansen分布臨界值），拒絕H0而接受H1,此時至少有1個協(xié)整向量，必須接著檢驗n（M1）的顯著性。當(dāng)“（M-1）不顯著時（即H（M-1）值小于某顯著TfcK平下的Johansen分布臨界值），不拒絕H1（即不拒絕r=1）,說明有1個協(xié)整向量（即存在1種協(xié)整關(guān)系）；當(dāng)“（M-1）顯著時（n（M1）值大于某顯著TfcK平下的Johansen

9、分布臨界值），拒絕H1而接受H2,此時至少有2個協(xié)整向量，必須接著檢驗力（M2）的顯著性。，一直檢驗下去，直到出現(xiàn)第一個不顯著的n（Mr）為止，說明存在r個協(xié)整向量。這r個協(xié)整向量就是對應(yīng)于最大的r個特征值的經(jīng)過正規(guī)化的特征向量。（6.4.（19） 驗統(tǒng)計量被稱為特征值軌跡統(tǒng)計量，于是上述檢驗被稱為特征值軌跡檢驗。特征值軌跡檢驗臨界值見表6.4.1。4. JJ檢驗之一'最大特征值檢驗另外一個類似的檢驗的零假設(shè)為：Hr:有M-r個單位根，即有r個協(xié)整關(guān)系。備擇假設(shè)為有M-r-1個單位根。檢驗統(tǒng)計量為基于最大的特征值九r的：（r-1）=-TlnQ-r）（6.4.20）該統(tǒng)計量被稱為最大特征

10、值統(tǒng)計量。于是該檢驗被稱為最大特征值檢驗。檢驗從下往上進行，即首先檢驗統(tǒng)計量二（0）。如果統(tǒng)計量二（0）不顯著，即二（0）值小于某顯著性水平下的Johansen分布臨界值，則不拒絕H0（即不拒絕r=0）,說明有0個協(xié)整向量（即不存在協(xié)整關(guān)系）；如果統(tǒng)計量U（0）顯著，即U（0）值大于某顯著性水平下的Johansen分布臨界值，則拒絕有0個協(xié)整向量的H0，接受至少有1個協(xié)整向量的備擇假設(shè)，必須接著檢驗（1）的顯著性。如果統(tǒng)計量二（1）不顯著，即二（1）值小于某顯著TfcK平下的Johansen分布臨界值，則不拒絕H0（即不拒絕r=1）,說明有1個協(xié)整向量；如果統(tǒng)計量。顯著，即七（1）值大于某顯著

11、性水平下的Johansen分布臨界值，則拒絕有1個協(xié)整向量的H0,接受至少有2個協(xié)整向量的備擇假設(shè)，必須接著檢驗二（2）的顯著性。，一直檢驗下去，直到出現(xiàn)第一個不顯著的，r-1）為止，說明存在（r1）個協(xié)整向量，拒絕至少有r個協(xié)整向量的備擇假設(shè)。這（r1）個協(xié)整向量就是對應(yīng)于最大的（r-1）個特征值的經(jīng)過正規(guī)化的特征向量。最大特征值檢驗臨界值見表6.4.1。注意臨界值的選取與M、r有關(guān)。例如，如果M=2,即變量數(shù)為2;T=40。求得到的兩個特征值（按照從大到小的順序排列）為：兒0=0.50，九1=0.10。由（6.4.20）求出的最大統(tǒng)計量為：（0）-40ln（1-0.50）=27.73（1）

12、=-40ln（1-0.10）=4.21首先檢驗統(tǒng)計量。（0）,此時應(yīng)該選擇對應(yīng)于M0=2的臨界值14.595（給定顯著性水平為95%）。因為27.73>14.595,所以統(tǒng)計量。（0）顯著，則拒絕有0個協(xié)整向量的H0,接受至少有1個協(xié)整向量的備擇假設(shè)，必須接著檢驗匚（1）的顯著性。選擇對應(yīng)于M1=1的臨界值8.083（給定顯著性水平為95%）,因為4.21<8.083,表示統(tǒng)計量匚（1）不顯著，則不拒絕H0（即不拒絕r=1）,說明有1個協(xié)整向量。如果M=3,即變量數(shù)為3,則在進行統(tǒng)計量。（0）顯著性檢驗時，應(yīng)該選擇對應(yīng)于M0=3的臨界值21.279（給定顯著性水平為95%）。表6.

13、4.1由Johansen和Juselius于1990年計算得到。表6.4.1Johansen分布臨界值表統(tǒng)計量50%80%90%95%97.5%99%均值方差最12.4154.9056.6918.0839.65811.5763.0307.024大27.47410.66612.78314.59516.40318.7828.03012.568特312.70716.52118.95921.27923.36226.15413.27818.518征417.87522.34124.91727.34129.59932.61618.45124.163值523.13227.95330.81833.26235.70038.85823.68029.000特2.4154.0956.6918.0839.65811.5763.0307.0