優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題題目練習(xí)

1、1、 填空題1 .用最速下降法求fx=100(x2x1)1x12最優(yōu)解時(shí)，設(shè)x00.5,0.5T，第一步迭代的搜索方向?yàn)?03-100To2 .機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)的規(guī)劃法，其核心一是最佳步長，二是搜索方向。3 .當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下,在任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4 .應(yīng)用外推法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)，中間點(diǎn)和終點(diǎn)，他們的函數(shù)值形成趨勢高-低-高。5 .包含n個設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為n維優(yōu)化問題。1T6 .函數(shù)xHxBxc的梯度為。27 .設(shè)G為nn對稱正定矢I陣，若n維空間中有兩個非零向量d0,d1,滿足d0Gd10,則d°,d1之間存在共

2、一關(guān)系。8 .與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值下降方向,與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的不變方向。9 .設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素。10 .對于無約束二元函數(shù)fx1,x2,若在x0x12,x34點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是在x0點(diǎn)的梯度為0,充分條件是在x0點(diǎn)的海賽矩陣正定。11 .K-T_條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。12 .用黃金分割法求一元函數(shù)fxx210x36的極值點(diǎn)，初始搜索區(qū)間a,b10,10,經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到新區(qū)間-2.36,10。13 .優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束

3、條件。14 .牛頓法搜索方向dk三(2fxk)1fxk,其計(jì)算是大,且要求初始在級極小點(diǎn)附近位置。21115 .將函數(shù)fxx1x2x1x210x14x260表不成一xHxBxc的形式2為。16 .存在矩陣H,向量di,d2,當(dāng)滿足（djTH*0向量di和向量d2是關(guān)于H些媽。17 .采用外點(diǎn)法求約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有_r°r1r20_特點(diǎn)。18 .采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最佳步K021、對于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b,中間插入兩個點(diǎn)a1,a1b1，計(jì)算出fa1f4，則縮短后的搜索區(qū)間為a,

4、b1_o22、由于確定搜索方向和最佳步長的方法不一致,派生出不同的無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解方法。23、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題過程中，懲罰因子具體有趨近于零變化規(guī)律。24、尋出等式約束極值條件時(shí)，將等式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題的方法有消元法和拉格朗日乘子法。25、優(yōu)化問題中二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變上j26、優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)為可行域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。27、方向倒數(shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的變化率。28、設(shè)fx為定義在凸集R上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則fx在R上為凸函數(shù)充分必要條件是海賽矩陣Gx在R上處處半正定。29、在n維空間中互相共食的非零向量是個數(shù)最多有里個。30、約束

5、優(yōu)化問題在可行域內(nèi)對設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。31、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過程在可行域外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近邊2L或等式約束曲面。2、 選擇題1 .下面一C方法需要求海賽矩陣。A.最速下降法B.共軻梯度法C.牛頓型法D.DFP法2 .對于約束問題fxx；x24x24Yxx1x；10Y2x3x10,.一一1根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷xY3xx20T,1,1為T231/x-,一為223.A內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn)C內(nèi)點(diǎn);內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)用于求解B優(yōu)化問題。外點(diǎn)D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)A.無約束優(yōu)化問題B只含不等式的約束優(yōu)化問題C只含等式的優(yōu)化問題D.含有不等式和等式的約束的優(yōu)化問題4 .拉

6、格朗日乘子法師求解等式約束優(yōu)化問題的一種經(jīng)典法，它是一種D。A降維法B.消元法C.數(shù)學(xué)規(guī)戈U法D.升維法5 .對于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b,中間插入兩個點(diǎn)a/ab,計(jì)算出faf口，則縮短后的搜索區(qū)間為D。A.&,bB.b1,bC.a,biD.a,b6 .D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A.設(shè)計(jì)變量B.約束條件C目標(biāo)函數(shù)D.最隹步長7 .變尺度發(fā)的迭代公式為xk1xkakHkfxk,下列不屬于Hk必須滿足的條件是_C_。A.Hk之間有簡單的迭代形式B擬牛頓條件C.與海賽矩陣正定D.對稱正定8 .函數(shù)fx在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A。A.最速上升方向B.上升方向C.最速下降方向

7、D下降方向9 .下面四種無約束優(yōu)化方法中，C在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A.梯度法B.牛頓法C.變尺度法D.共軻梯度法10 .設(shè)fx為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則fx在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣Gx在R上處處B。A.正定B.半正定C.負(fù)定D.半負(fù)定11 .通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是B。A.牛頓法B.梯度法C.共軻梯度法D.變尺度法12 .一維搜索試探方法中，黃金分割法比二次插值法的收斂速度DqA慢B.快C.一樣D.不確定13 .下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯誤的是D，假設(shè)要求在區(qū)間a,b插入兩點(diǎn)a1，a2,a

8、a2。A.其縮短率為0.618B.a1bbaC.a2bbaD.在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的外推法14 .與梯度成銳角的方法為函數(shù)值A(chǔ)方向,與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值B方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的C方向。A.上升B.下降C.不變D.為零15 .二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是AA.等值線族的一個共同中心C.全局最優(yōu)解B.梯度為0的點(diǎn)D.海賽矩陣正定16 .最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量BA.相切B.正交C.成銳角D.共軻17 .下列關(guān)于共輾梯度法的敘述，錯誤的是一AA.需要求海賽矩陣B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度C.共軻梯度法具有二次收斂性D.第一

9、步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度18 .下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯誤的是AQA.可用來求解含不等式約束和等式約束的優(yōu)化問題B.懲罰因子是不斷遞減的正值C.初始點(diǎn)應(yīng)該選擇一個離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)D.初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)19 .設(shè)fx是定義在凸集D上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則fx在D上嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是A:A.Hess和陣處處半正定B.Hess和陣處處正定C.Hesse巨陣處處半負(fù)定D.Hesse巨陣處處負(fù)定20 .下列幾種無約束問題求解方法中，哪種算法需要計(jì)算海賽矩陣AqA.牛頓法B.梯度法C.共軻梯度法D.變尺度法21 .關(guān)于正交方向和共食方向之間的關(guān)系，下列說法正確的是DqA.共軻矩

10、陣是正交矩陣的特殊情況B.共軻矩陣是正交矩陣的推廣C.n維空間中相互共軻的非零向量個數(shù)可以為任一數(shù)量D.22 .多元函數(shù)的海賽矩陣是其B偏導(dǎo)數(shù)所形成的對稱矩陣A.一階C.三階23 .關(guān)于變尺度優(yōu)化方法的變尺度矩陣A.A有簡單的迭代形式C與海賽矩陣正交24 .關(guān)于梯度，下列說法不正確的是A.與切線方向垂直C.是函數(shù)變化率最大的方向25 .與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值B.二階D四階Ak,下列說法不正確的是CB.應(yīng)滿足擬牛頓條件D.應(yīng)為對稱正定DQB.是等值面的切線方向D.函數(shù)最速下降方向A_方向。A.上升B.下降C.不變D.為零判斷題1、二元函數(shù)等值線密度的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（x）2、海賽矩陣正定的

11、充要條件是它的各階主子式都大于零。（3、當(dāng)?shù)咏鼧O值點(diǎn)時(shí)，最速下降法會出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度慢。（4、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子降低系數(shù)越小，則迭代次數(shù)越多。（V）5、梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向?qū)Ｙ惥仃嚬草?。（x）6、數(shù)值迭代法求極值的核心就是建立搜索方向和計(jì)算最佳步長。（V）7、海賽矩陣負(fù)定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（x）8、拉格朗日乘子法師求解無約束優(yōu)化問題的一種方法。（x）9、凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。（V）10、一維搜索的二次插值法用到了點(diǎn)的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)信息。（x）11、二元函數(shù)等值線稀疏的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（V）12

12、、海賽矩陣正定的充要條件是它的主子式都小于零。（x）13、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法師只試用于不等式約束問題（x）14、變尺度法求解優(yōu)化問題時(shí)需計(jì)算海賽矩陣（x）15、梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向相互垂直。（四、問答題1、什么是一維搜索問題？答：當(dāng)方向dk給定時(shí)，求最佳步長k就是求一元函數(shù)f（xk1）f（xkkdk）（k）的極值問題，它稱為一維搜索。2、試述兩種一維搜索方向的原理，它們之間有何區(qū)別？答：區(qū)間消去法：搜索區(qū)間確定之后，采用區(qū)間消去法逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。黃金分割法：所謂黃金分割是指將一段線段分成兩端的方法，使整段與較長段的比值等于較長段與較短段

13、的比值，即1:（1）o3、共食梯度法是利用梯度求共食方向的，那共官方向與梯度之間有什么關(guān)系？答：P704、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答：懲罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題的基本原理是將約束優(yōu)化問題minf(x)s.t.gj(x)0(j1,2,m)hk(x)0(k1,2,l)中的不等式和等式約束優(yōu)化函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)函數(shù)一-懲罰函數(shù)，即ml(x,r1,r2)f(x)rG(gj(x).H(hk(x)j1k1求解該新的目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。5、與最速下降法和牛頓法比較，試述變尺度法的特點(diǎn)？答：P74-776、在變尺度法中，為使變尺度矩

14、陣Hk與aT近似，并具有容易計(jì)算的特點(diǎn)，Hk必須附加哪些條件？答：(1)為保證迭代公式具有下降的性質(zhì)，要求海塞矩陣中的每一個矩陣都是對稱正定的。(2)要求海塞矩陣之間具有簡單的形式：Hk1HkEk0(3)要求海塞矩陣必須滿足擬牛頓條件。7試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路？答：8、寫應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義？答：9、變尺度的搜索方向是什么？變尺度矩陣應(yīng)滿足什么條件？變尺度矩陣在極小點(diǎn)處逼近什么矩陣？并寫出其初始形式？答：10、在變尺度法中，變尺度矩陣Hk為什么要求都是對稱正定的？答：因?yàn)槿粢笏阉鞣较騞kHkgk為下降方向，

15、即要求gTdk0,也就是gTHkgk0,這樣gTHkgk0,即Hk應(yīng)為對稱正定。11、什么是共食方向？滿足什么關(guān)系？共輾與正交是什么關(guān)系？答：P6712、請寫出應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱處理約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本步驟？答：(1)編寫定義目標(biāo)函數(shù)的M文件fun1.m(2)編寫定義約束方程函數(shù)的M文件con.m(3)在窗口調(diào)用求解命令求解.o求解格式為：x0=-1,1Options=optimset('LargeScale''off')；x,fval=fmincon(fun1,x0,con,options)13、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)

16、？答：最速下降法：由于它采用了函數(shù)的負(fù)梯度方向作為下一步的搜索方向，所以收斂速度比較慢，越是接近極值點(diǎn)收斂越慢14、為何優(yōu)化設(shè)計(jì)的可行設(shè)計(jì)域和可行設(shè)計(jì)點(diǎn)？答：15、無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解的一般步驟是什么？答：(1)編寫M文件，一一fun1.m,定義目標(biāo)函數(shù)文件。(2)在命令窗口中調(diào)用無約束線性函數(shù)fminunc求解。求解格式為：x0=-1,1Options=optimset('LargeScale''off)x,fval=fminunc(fun1,x0,options)五、解答題1 .試用牛頓法求fxx122Kl2x22的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x02,1To2 .設(shè)有函數(shù)fX

17、x；2x22xx24x1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值3 .試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)fX1.5x20.5x；x1x22x1的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x°2,4T,迭代精度0.02（迭代一步）。4 .求目標(biāo)函數(shù)fXx22x2Xx24x16x210的極值和極值點(diǎn)。222T,5 .試證明函數(shù)fX2x15x2x32x3x22x3x16x23在點(diǎn)1,1,2處具有極小值。6 .設(shè)非線性規(guī)劃問題22minfX=x12x2s.tgXx10g2Xx20g3Xx2x210用K-T條件驗(yàn)證x01,0T為其約束最優(yōu)點(diǎn)7.給定約束優(yōu)化問題22minfX=x13x2222s.tg1Xx1x250g2Xx12x240g3Xx10g4Xx20驗(yàn)證在點(diǎn)x3,3