泰勒公式證明及應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上泰勒公式及其應(yīng)用 佟梅(渤海大學(xué)數(shù)學(xué)系 遼寧 錦州 中國)摘要：數(shù)學(xué)是一門很重要的學(xué)科，許多的數(shù)學(xué)家研究出了各種定理、公式，并且都證實了它們的正確性，應(yīng)用這些定理公式解決了許多疑難問題，泰勒公式就是其一。泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的一個重要公式，它在解決分析中的問題時應(yīng)用廣泛、靈活，也是解決各種數(shù)學(xué)問題的一個強有力的工具之一，本文對泰勒公式進行了簡單的介紹，重點介紹了它的各種應(yīng)用，作了一個較系統(tǒng)和規(guī)律性的分析綜述。首先，介紹了泰勒定理及其幾種表示形式的泰勒公式，在后面的應(yīng)用中會應(yīng)用到。其次，就是本文的重點泰勒公式的應(yīng)用，介紹了九個方面，主要包括：研究級數(shù)和廣義積分的斂散性、

2、利用泰勒公式求極限、近似計算和誤差估計、確定和比較無窮小的階、證明不等式等等，通過許多的例題分析，體現(xiàn)出了泰勒公式在解決數(shù)學(xué)問題時的重要性和簡潔性。關(guān)鍵詞：泰勒公式，極限，誤差估計，斂散性，不等式。Taylors formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou China)Abstract: Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds

3、 of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylors formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one

4、 of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introduction to Taylors formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylors formula of d

5、ifferent _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article - the application of Taylors formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylors formnla to calculate limit, the app

6、roximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylors formula in solving mathematics questions are well illustrated. Key

7、 Words: Taylors formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言對于一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了便于研究，往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達，多項式就是非常簡單的函數(shù)，只要對自變量進行有限次加、減、乘三種算術(shù)運算就能計算出函數(shù)值，因此我們希望用多項式來近似表達函數(shù)，本文將介紹近似計算理論分析的一個重要內(nèi)容泰勒公式，并重點研究它的廣泛應(yīng)用。一、泰勒公式 若函數(shù)為次多項式 （1）逐次求它在處的各階導(dǎo)數(shù)，得 因而(1)式可寫作 (2)由此可見，多項式的各項系數(shù)由其各階導(dǎo)數(shù)值唯一確定，例如為了把多項式

8、表示成以為冪次的多項式，先要計算在處的各階導(dǎo)數(shù)。代入(2)式得到對于一般函數(shù)來說，若存在直到階的導(dǎo)數(shù)，則按(2)式右端也能相應(yīng)地寫出一個多項式。把這個多項式記作，那么與之間有些什么關(guān)系，正是下面泰勒(Taylor)定理所要回答的問題。定理11 (Taylor定理)若函數(shù)滿足如下條件：(i)在開區(qū)間上函數(shù)存在階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(ii)在閉區(qū)間內(nèi)存在的階導(dǎo)數(shù)，則對任何，至少存在一點，使得 (3) (3)式稱為函數(shù)在點處的階泰勒公式，=稱為次泰勒多項式，=稱為在處的泰勒公式余項。 （一）、帶拉格朗日(Lagrange)型余項的泰勒公式 當(dāng)時，定理1就是拉格朗日定理,因此，把 (4)稱為階泰勒公式的拉格朗日

9、余項，(3)式稱為帶拉格朗日余項的泰勒公式，也稱為有限增量的泰勒公式，它研究函數(shù)在較大范圍內(nèi)的性質(zhì)，特別地，泰勒公式(3)在時，稱為帶拉格朗日余項的馬克勞林(Maclaurin)公式，也就是 (5)其中，注記4 與拉格朗日中值定理那里的討論類似，如果令，那么，于是拉格朗日型余項可以寫成， ，（二）、帶有皮亞諾(Peano)型余項的泰勒公式 由于拉格朗日余項形式比較復(fù)雜，我們考慮用更簡單的形式表示，若函數(shù)在點可導(dǎo)，則由有限增量公式有： (6)這說明在點附近，函數(shù)可用一次多項式近似表示，其誤差為關(guān)于的高階無窮小量。又由泰勒定理1看到，若的階導(dǎo)數(shù)為上有界函數(shù)，則由(4)式有，即在點附近用的階泰勒多項

10、式近似表示時，其誤差為關(guān)于的高階無窮小量，從而越大近似的程度越高。下面定理將給出定理1較弱條件下，函數(shù)在點附近能用多項式來逼近的結(jié)論。定理2 若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，且存在，則 其中 (7) 稱為泰勒公式(7)的皮亞諾余項，(7)式稱為帶皮亞諾型余項的泰勒公式，因為(7)式是無窮小增量公式的推廣，所以也稱帶小余項的泰勒公式3。特別地，當(dāng)時，我們稱相應(yīng)的表達式為帶皮亞諾余項的馬克勞林公式或者帶小余項的馬克勞林公式。（三）、帶積分型余項的泰勒公式 利用分部積分法也能導(dǎo)出泰勒公式的余項的一種表示余項的積分表示3。定理3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 (8)換句話說，在這種情況下，泰勒公式的余

11、項表示為 (9)(8)式稱為帶積分型余項的泰勒公式，(9)式稱為積分形式的余項。特別地，當(dāng)時，我們稱之為帶積分余項的馬克勞林公式：（四）、帶柯西型余項的泰勒公式 在定理3中，對余項用積分中值定理可得這種形式的余項稱為柯西型余項，我們得到了帶柯西型余項的泰勒公式：，特別地，當(dāng)時，我們稱之為帶柯西型余項的馬克勞林公式：二、泰勒公式的應(yīng)用（一）、用泰勒公式研究級數(shù)和廣義積分的斂散性1、級數(shù)的斂散性例1 判斷正項級數(shù)的斂散性。分析 我們先從一個特殊的問題說起：判斷正項級數(shù)的斂散性。注意到數(shù)列嚴(yán)格遞增趨于，而數(shù)列嚴(yán)格遞減趨于，因此有 由比較判別法可知收斂。這一方法是否具有普遍性？不妨再考慮的情況，此時若

12、仍采用上述“放大”方法，就有， 但是發(fā)散的，故得不出結(jié)果，若將“縮小”，同樣也得不出結(jié)果，看來，即使當(dāng)時上述方法也已碰到很大困難，更不用說是對于的一般情況了。解決這一問題的一個有效工具是利用帶Peano余項的泰勒公式：先將通項適當(dāng)展開，再用等介量法或其他方法判斂，值得指出的是，初學(xué)者往往會疏忽或是不習(xí)慣使用泰勒公式，但事實上，在級數(shù)的判斂問題中，泰勒公式是經(jīng)常用到的?；氐嚼?中，考慮從而得出，可見原級數(shù)當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散。泰勒公式在判斷任意項級數(shù)斂散時同樣有十分重要的作用，我們不妨看下面的例子。例2 判斷下列級數(shù)的斂散性8。 ， 。分析 這兩個級數(shù)的項均正負交替出現(xiàn)，但前一個級數(shù)的通項不具有的

13、規(guī)范形式，后一個的通項形式雖具有，但不具有單調(diào)性，故兩者都可考慮用泰勒公式。解 記，則有：當(dāng)時，條件收斂，而發(fā)散，故必定發(fā)散。當(dāng)時，條件收斂，而絕對收斂，故為條件收斂。當(dāng)時，與均為絕對收斂，故也絕對收斂?？紤]其余分析討論類似于上一題。2、廣義積分的斂散性例3 問：廣義積分收斂嗎？解 因此，由于積分發(fā)散，因此用比較判別法知原廣義積分發(fā)散。（二）、用泰勒公式確定和比較無窮小的階設(shè)在處階可導(dǎo)，且 ，或，所以當(dāng)時，是的階無窮小。例4 用泰勒公式確定時下列無窮小量是的幾階無窮小量？ ，。解 由有則故是的2階無窮小。因，故因而故為的5階無窮小。例5 試用泰勒公式確定常數(shù)和，使為有限值，并求此極限5。解 原

14、式為使上述極限存在，當(dāng)且僅當(dāng)，這時原式（三）、用泰勒公式求的值若用間接法求得泰勒公式：由泰勒公式的唯一性得：例6 設(shè)，求。解 直接由的泰勒公式得 ，(比較的系數(shù)得：，所以。例7 設(shè)在原點的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，求，并計算極限8。解 因而有即而（四）、近似計算及誤差估計1、函數(shù)值的近似計算 例8 求的近似值7。解 換算成弧度，如果用一階泰勒公式求的近似值，即誤差估計為：應(yīng)用三階泰勒公式求近似值的步驟如下：（i）選定函數(shù)，且求出；（ii）把分解為，要求在處易計算，且較?。唬╥ii），其誤差為 ， (在與之間)。下面用三階泰勒公式計算，有誤差估計為。如果題目要求計算誤差不超過，應(yīng)當(dāng)先估計余項的上界 (

15、10)取為何值時，能使誤差？為此，應(yīng)當(dāng)利用(10)解不等式，即。但是在一般情況下，解這種不等式比較麻煩，不如取適當(dāng)?shù)牡闹翟囼炓幌?，例如取時，這個精度已超過了要求，于是得到一個關(guān)于的誤差小于的近似值為：對于任意函數(shù)，如果在點有1到階的導(dǎo)數(shù)，則就可以寫出在點的階泰勒多項式(2)，當(dāng)距不遠時，就可以用該函數(shù)的泰勒多項式的值作為的近似值，當(dāng)確定之后，泰勒多項式的階數(shù)越高，這個近似值的精度越高。例9 計算數(shù)的近似值，使其誤差不超過，并證明數(shù)是無理數(shù)。解 ，其中介于0與之間，當(dāng)時，由于，當(dāng)時，于是由于上式兩端乘以，得：假設(shè)是有理數(shù)，設(shè)，(其中為整數(shù))，當(dāng)時，為整數(shù)，所以左端為整數(shù)，由于，因而右端當(dāng)時，為非

16、整數(shù)，矛盾，因此只能是無理數(shù)。2、某些定積分的近似計算例10 計算的值。解 例11 求積分的值。解 如上函數(shù)、，這些無法用通常積分求得積分值的函數(shù)，我們將被積函數(shù)展開成泰勒級數(shù)，只須對各項式進行積分，并且可使積分值達到很高的近似精度。(五)、用泰勒多項式逼近函數(shù)例12 在上用二次項式逼近函數(shù)，并估計誤差3。解 由于所以，當(dāng)時，誤差估計為：（六）、用泰勒公式求極限對于函數(shù)多項式或有理分式的極限問題的計算是十分簡單的，因此對一些較復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來較復(fù)雜的函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為類似多項式或有理公式的極限問題，下面用例子說明。例13 求。解 由泰勒公式于是：例14 求。解 由泰勒公式，于

17、是：用泰勒公式方法計算極限的實質(zhì)是一種利用等價無窮小的替代來計算極限的方法。我們知道：當(dāng)時，等。這種等價無窮小其實就是將函數(shù)用泰勒公式展至一次項。有些問題用泰勒公式方法和我們已熟知的等價無窮小方法相結(jié)合，問題又能進一步簡化。例15 求。解 原式 (11)若用羅比塔法則定相當(dāng)繁瑣的，下面用泰勒公式方法與等價無窮小方法相結(jié)合來考慮。由泰勒公式于是：將(11)式中分子上的用上式代，而分母的用代，這樣例16 求。解 由泰勒公式，于是在例16中，若用分別代替，顯然是不對的。運用泰勒公式方法時需要注意的一個問題是：將函數(shù)展開至多少項才可以呢？其實從例題不難看出，只須展至分子及分母分別經(jīng)過化簡后系數(shù)不為零的

18、階數(shù)即可。在討論當(dāng)自變量(或自變量的改變量)在不同極限過程中中值點的極限性態(tài)時，也可應(yīng)用泰勒公式。例17 數(shù)在內(nèi)階可導(dǎo)，且，記，證明：。分析 仍是要找出的表達式，為此，可將按兩種不同方式在點處展開為泰勒公式，帶階Peano余項的泰勒公式和帶階Lagrange余項的泰勒公式，再對兩者進行分析比較。證 在點處分別展成帶Peano余項和帶Lagrange余項的泰勒公式，有： 將兩式比較可得 （12）此外，對還可以展開為帶Peano余項的泰勒公式，即有 （13）比較(12和(13)，又有由條件，從而得出：（七）、明含高階導(dǎo)函數(shù)的中值這命題類題型的特點是已知函數(shù)可導(dǎo)的階數(shù)較高(常是二階或二階以上)，同時

19、還給出若干個已知點的函數(shù)值或?qū)?shù)值，常選已知函數(shù)值或一階導(dǎo)數(shù)值為0的點作為展開點(這樣可使一階導(dǎo)數(shù)項消失)，然后再將已知函數(shù)值的各個點的坐標(biāo)代入展開式，進行運算，最后利用介值定理或零點定理證之。例18 在上次可微，且；證明：至少存在一點，使。證 由于 且由題意知，所以，取，有，因此有 。例19 設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，寫出帶拉格朗日余項的一階馬克勞林公式。證明在上至少存在一點，使得。解 對，有，在與之間 對題中的等式積分有改寫成 (13) 由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，令現(xiàn)估計(13)式右邊得即現(xiàn)由連續(xù)函數(shù)中間值定理得：，使(八)、應(yīng)用泰勒公式進行某些定理的證明定理4 (極值的第二充分條件)：若是的駐點(即

20、)，且存在，則(i)當(dāng)時，為極小值。(ii)當(dāng)時，為極大值。證 由帶皮亞諾余項的泰勒公式知： 于是當(dāng)充分接近時，上式左邊的符號由右端的第一項決定，于是(i)當(dāng)時，即，所以為極小值。(ii)當(dāng)時，即，所以為極大值。定理5 (極值的第三充分條件)：設(shè)函數(shù)在含點的某個小區(qū)間內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而且，則(i)當(dāng)為偶數(shù)且時，在點有極大值，當(dāng)為偶數(shù)且時，在點有極小值。(ii)當(dāng)為奇數(shù)時，在點取不到極(大或小)值。證 根據(jù)泰勒公式，有又因為在點連續(xù)，即，所以，且因此，于是，當(dāng)為偶數(shù)且充分接近時，與同符號(因為上式右端的符號取決于)，所以，當(dāng)時，即是極大值；當(dāng)時，即是極小值；而當(dāng)為奇數(shù)時，由于上式右端隨和而改變符

21、號，所以不是極值。（九）、用泰勒公式證明不等式不等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一，它涉及的問題很多，應(yīng)用也十分廣泛，歷來受到重視，不等式的分析證明方法也多種多樣，很具有靈活性，有些還有相當(dāng)?shù)碾y度，因此初學(xué)者往往感到困難，其中泰勒公式是證明不等式的一種很重要的方法。1、估計泰勒公式余項法若已知帶拉格朗日余項的泰勒公式其中是拉格朗日型余項，估計，可得相應(yīng)的不等式。例20求證：。證由泰勒公式所以，評注不用泰勒公式，令也可，通過求導(dǎo)、判斷單調(diào)性來證明兩個不等式，但不如用泰勒公式簡便，通過估計泰勒公式的余項求法來證明不等式是利用泰勒公式證明不等式的一種重要情形。2、由函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)估計一階導(dǎo)數(shù)法例21設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，求證：，使。證明本題的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系是要從函數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的估計導(dǎo)出一階函數(shù)的估計，能將函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起的唯有泰勒公式，要估計，自然考慮對在點展