分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題方法

1、第五講 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，題型廣博，變化多端。我們應(yīng)適當(dāng)?shù)貛蛯W(xué)生總結(jié)一些解題方法，以拓寬思路，提高解題能力。 一、從確定對(duì)應(yīng)入手找出解題方法 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一個(gè)“量率對(duì)應(yīng)”的明顯特點(diǎn)，對(duì)一個(gè)單位“1”來說，每個(gè)分率都對(duì)應(yīng)著一個(gè)具體的數(shù)量，而每一個(gè)具體的數(shù)量，也同樣對(duì)應(yīng)著一個(gè)分率，因此，正確地確定“量率對(duì)應(yīng)”是解題的關(guān)鍵。我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)和掌握“明確對(duì)應(yīng)，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)分率”的解題方法。 例1.小冬看一本故事書，第一天看了總頁數(shù)的1/6，第二天看了總頁數(shù)的1/3，還剩78頁沒有看，這本故事書共有多少頁？ 把這本故事書的總頁數(shù)看作單位“1”，要求這本故事書共有多少頁，就要求出剩

2、下的78頁的對(duì)應(yīng)分率。根據(jù)已知條件，第一、二天看了總頁數(shù)的（1/61/3），還剩下78頁的對(duì)應(yīng)分率是（11/61/3），求這本故事書共有多少頁，就是已知單位“1”的（11/61/3）是78頁，求單位“1”。于是列式為： 78÷（11/61/3）156（頁） 二、通過統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)量找出解題方法 在一道分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，如果出現(xiàn)了幾個(gè)分率，而且這些分率的標(biāo)準(zhǔn)量不同，量的性質(zhì)相異，在解題時(shí)，必須以題中的某一個(gè)量為標(biāo)準(zhǔn)量，將其余量的對(duì)應(yīng)分率統(tǒng)一到這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量上來，才可列式解答。 例2：果園里有蘋果樹和梨樹共420棵，蘋果樹棵數(shù)的1/3等于梨樹的4/9，問這兩種果樹各有多少棵？ 題中的1/3是以蘋果樹為

3、標(biāo)準(zhǔn)量，4/9是以梨樹為標(biāo)準(zhǔn)量，解題時(shí)必須統(tǒng)一成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量。 若以蘋果樹為單位“1”，則有1×1/3梨樹×4/9，那么梨樹就相當(dāng)于單位“1”的1/3÷4/9，兩種果樹的總棵數(shù)就相當(dāng)于單位“1”的（11/3÷4/9），于是列式為： 420÷（11/3÷4/9）240（棵）蘋果樹 240÷（1/3÷4/9）180（棵）梨樹 也可以把梨樹看作單位“1”，或把兩種果樹的總棵數(shù)，或者相差棵數(shù)看作單位“1”。 三、通過假設(shè)推算找出解題方法 有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如果按題中所給條件直接去思考，就難以找到解題方法，如果在解題時(shí)先假設(shè)一個(gè)

4、主觀上所需要的條件，然后按照題目里的數(shù)量關(guān)系推算，所得的結(jié)果則發(fā)生與題目條件不同的矛盾，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，即可找到正確的答案。 例3：紅花村修一條水渠，第一周修了全長(zhǎng)的2/5多10米，第二周修了全長(zhǎng)的1/4少5米，還剩下282米沒有修。這條水渠長(zhǎng)多少米？ 假設(shè)第一周修的恰好是全長(zhǎng)的2/5，這樣第一、二周修后剩下的282米中就要增加10米；假設(shè)第二周修的恰好是全長(zhǎng)的1/4，這樣第一、二周修后剩下的282米中又要減少5米，于是條件變?yōu)椤暗谝恢苄蘖巳L(zhǎng)的2/5，第二周修了全長(zhǎng)的1/4，還剩下（282105）米沒有修。把這條水渠全長(zhǎng)看作單位“1”，那么（282105）米的對(duì)應(yīng)分率就是（12/51/4）

5、。于是列式為： （282105）÷（12/51/4）8201（米） 四、通過逆推找出解題方法 有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如果按從始至終的先后順序去分析，很難達(dá)到解決問題的目的，甚至陷入絕境。不妨“反過來想一想”進(jìn)行逆推，便容易打開思路，順利解題。 例4：有一個(gè)油桶里的油，第一次倒出1/3后加入20千克，第二次倒出這時(shí)油的1/6多5千克，這時(shí)桶里剩下油95千克。問原來桶里有油多少千克？ 從最后條件出發(fā)思考：955100（千克），即為現(xiàn)存油的5/6，故現(xiàn)在桶里有油100÷5/6120，再從第一個(gè)條件思考，12020100（千克），即為原存油的2/3，因此，原來桶里有油100÷2

6、/3150（千克）。綜合算式： （955）÷（11/6）20÷（11/3）150（千克） 五、借助線段圖找出解題方法 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系比較抽象、隱蔽，如果根據(jù)題意畫出線段圖，可使抽象變具體，隱蔽明朗化，從而借助線段圖揭示的數(shù)量關(guān)系可直觀地找出解題方法，甚至有的題還可找到簡(jiǎn)捷的解法。 2 關(guān)于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 例1：甲乙兩人共存人民幣若干元，其中甲占3/5，若乙給甲60元后，則乙余下的錢占總數(shù)的1/4，甲乙兩人各存人民幣多少元？ 從線段圖上一目了然，60元的對(duì)應(yīng)分率是（13/51/4），于是可求出甲乙兩人共存人民幣多少元，進(jìn)而可求出甲乙兩人各存人民幣多少元。 60÷（

7、13/51/4）3200（元）甲乙兩人共存 3200×3/51920（元）甲 3200×（13/5）1280（元）乙 或320019201280（元） 六、抓住不變量找出解題方法 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)量不統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，如果我們能從題中找到一個(gè)不變量，就以不變量為突破口，便能夠很快找到解題方法。 例2：一個(gè)車間有工人360人，其中女工占3/5，后來又招進(jìn)一批女工，這時(shí)女工人數(shù)占全車間工人總?cè)藬?shù)的5/8，又招進(jìn)女工多少人？ 從題中可知，女工人數(shù)起了變化，引起全車間工人總?cè)藬?shù)起了變化，但是男工人數(shù)始終沒有增減，因此，抓住男工人數(shù)沒有變化這個(gè)不變量來分析。當(dāng)全車間工人為360人時(shí)，女工占3

8、/5，則男工占13/52/5，為360×2/5144（人）。又招進(jìn)一批女工后，女工人數(shù)占這時(shí)全車間工人總?cè)藬?shù)的5/8，則男工人數(shù)占這時(shí)全車間工人總?cè)藬?shù)的15/83/8，因此，這時(shí)全車間有工人144÷3/83849（人）。原來全車間有工人360人，現(xiàn)在增加到384人，增加的原因是由于招進(jìn)了一批女工，故又招進(jìn)女工38436024（人）。綜合算式： 360×（13/5）÷（15/8）36024（人） 七、通過轉(zhuǎn)變換條件找出解題方法 有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，可以通過改變看問題的角度，將題中某些已知數(shù)量轉(zhuǎn)換成與之有關(guān)聯(lián)的另一個(gè)數(shù)量，使之成為一個(gè)較為熟悉的簡(jiǎn)單的問題，從而找

9、到解題的新方法。 例3：有兩缸金魚，如果從第一缸取出15尾放入第二缸，這時(shí)第二缸內(nèi)的金魚正好是第一缸的5/7，已知第二缸內(nèi)原有金魚35尾，第一缸內(nèi)原有金魚多少尾？ 這道題可以轉(zhuǎn)化為熟悉的“歸一”問題。題中的5/7根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，表示把這時(shí)第一缸內(nèi)的金魚尾數(shù)平均分成7份，這時(shí)第二缸內(nèi)金魚的尾數(shù)占其中的5份，這5份共351550（尾），則每份是50÷510（尾），因此，這時(shí)第一缸內(nèi)有金魚10×770（尾），那么第一缸內(nèi)原有金魚701585（尾）。綜合算式： （3515）÷5×71585（尾） 八、列表對(duì)應(yīng)比較找出解題 方法 有些分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，可以通過列表對(duì)應(yīng)比

10、較已知條件，研究其對(duì)應(yīng)數(shù)量間的變化規(guī)律，從而可找到解題方法。 例5：某車間舉辦技術(shù)革新培訓(xùn)班，如果抽去全車間男工人數(shù)的1/3和女工人數(shù)的1/4后共有90人參加，如果抽去全車間男工人數(shù)的1/4和女工人數(shù)的1/3后共有85人參加。問這個(gè)車間有男工多少人？ 列表對(duì)應(yīng)比較分析：附圖圖 如果都抽去男工人數(shù)和女工人數(shù)的1/3，那么由（5）式又得：男工人數(shù)的1/3女工人數(shù)的1/3300×1/3>（男工人數(shù)女工人數(shù)）×1/3300×1/3100（人）（6）將（6）式與（2）式比較，男工人數(shù)的1/3比1/4多1008515（人），這15人就相當(dāng)于全車間男工人數(shù)的（1/31/4

11、），則這個(gè)車間有男工15÷（1/31/4）180（人）以上幾種解較復(fù)雜分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法，并非是絕對(duì)孤立的，因此，在教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用，以形成自己的解題技能技巧。 三、求單位“1”的量 一 讀一讀 記一記 比較量÷比較量對(duì)應(yīng)的分率單位“1”的量 多的數(shù)量÷多的分率單位“1”的量 少的數(shù)量÷少的分率單位“1”的量 做了的數(shù)量÷做了的分率單位“1”的量 剩下的數(shù)量÷剩下的分率單位“1”的量 二鞏固提高 鞏固提高1 1畫線段圖找比較量對(duì)應(yīng)的分率。 工程隊(duì)要修一條公路，已經(jīng)修了3/8，還剩 學(xué)校食堂三月燒煤1400千克，燒了原 下2

12、00米沒有修。這條公路長(zhǎng)（ ）米。 計(jì)劃的7/8。原計(jì)劃燒煤（ ）千克。 修教學(xué)樓用了55萬元，比計(jì)劃多用了1/10 棉織廠三月份用電28萬度，比計(jì)劃節(jié) 原計(jì)劃投資（ ）萬元。 約了1/15。原計(jì)劃用電（ ）萬度。 鞏固提高2 在題中用“”勾出單位“1”的量，用“”勾出比較量，用“”批注出比較量對(duì)應(yīng)的分率，并列出綜合算式。 1工程隊(duì)修一條水渠，正好修了兩個(gè)月，第一個(gè)月修了全長(zhǎng)的1/5，第二個(gè)月修了全長(zhǎng)的3/8， 這條水渠長(zhǎng)多少米？ 第二個(gè)月修了240米。 兩個(gè)月一共修了690米。 第一個(gè)月比第二個(gè)月少修210米。 還剩下510米沒有修。 第二個(gè)月修的比剩下的少60米。 修了的比剩下的多180米

13、。 三典型例練 典型例題1 工程隊(duì)修一段公路，第一個(gè)月修了200米，第二個(gè)月修了250米，這時(shí)還剩下全長(zhǎng)的1/6沒有修。這段公路長(zhǎng)（ ）米。 鞏固練習(xí)1 1某農(nóng)場(chǎng)買了一批化肥，第一天運(yùn)回16.8噸，比第二天少運(yùn)2.8噸，兩天正好運(yùn)回了總數(shù)的4/5。這批化肥共有（ ）噸。 2王英看一本故事書，第一天看了全書的1/4，第二天看了25頁，還剩下65頁沒有看。這本書一共有（ ）頁。 3一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時(shí)行了全程的1/4，第二小時(shí)行了80千米，第三小時(shí)行了全程的1/5，離乙地還有140千米。甲乙兩地間的公路長(zhǎng)（ ）千米。 典型例題2 某種電視機(jī)現(xiàn)在每臺(tái)售價(jià)1500元，比原來降低了2/17。

14、降低了（ ）元。 鞏固練習(xí)2 1某種玩具現(xiàn)在每件22元，比原來漲價(jià)5/6。漲了（ ）元。 2徒弟生產(chǎn)了160個(gè)零件，比師傅生產(chǎn)的少1/5。師徒二人一共生產(chǎn)了（ ）個(gè)零件。 3科技書有3000本，比文藝書多2/3?？萍紩臀乃嚂还灿校?）本。 典型例題3 某校五年級(jí)共有學(xué)生152人，選出男生的1/11和5個(gè)女生去參加縣田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，剩下的男女生人數(shù)剛好相等。男生有（ ）人，女生有（ ）人。 鞏固練習(xí)3 1甲乙兩個(gè)工廠共有工人2000人。如果甲廠調(diào)出他原有工人的1/4，乙廠調(diào)出110人，那么甲乙兩廠剩下的人數(shù)相等。甲廠原有工人（ ）人，乙廠原有工人（ ）人。 2科技書和文藝書共有260本。如果科技

15、書借出1/9，文藝書借出10本，科技書比文藝書還多5本。科技書原來有 （ ）本，文藝書原來有（ ）本。 3某校六年級(jí)共有學(xué)生156人，選出男生的1/11和12名女生去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。剩下的男生人數(shù)是女生人數(shù)的2 倍。 男 生有（ ）人，女生有（ ）人。 典型例題4 水果店運(yùn)來蘋果和梨共有300筐，蘋果比梨少1/3。蘋果有（ ）筐。 鞏固練習(xí)4 1五、六年級(jí)共有學(xué)生450人，五年級(jí)的學(xué)生人數(shù)是六年級(jí)的7/8。五年級(jí)有學(xué)生（ ）人。 2科技書和文藝書共有4800本，科技書比文藝書多2/3?？萍紩校?）本。 3五、六年級(jí)共有學(xué)生458人，五年級(jí)比六年級(jí)的7/8還多8人。五年級(jí)有學(xué)生（ ）人。 4 回

16、復(fù)：關(guān)于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題 典型例題5 一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時(shí)行了全程的2/5，第二小時(shí)行了全程的3/8，這時(shí)行了的比剩下的多30千米。 甲、乙兩地間的公路長(zhǎng)（ ）千米。 鞏固練習(xí)5 1建筑工地運(yùn)回批水泥，第一次用去總數(shù)的1/5，第二次用去165袋，還剩下總數(shù)的1/4。這批水泥有（ ）袋。 2一袋水泥，用去2/5，剩下的比用去的多10千克。這袋水泥原有（ ）千克。 3王華讀一本科技書，第一天讀了全書的1/5，第二天讀了全書的1/4，這時(shí)讀了的比剩下的少6頁。這本科技書有（ ）頁。 典型例題6 張明讀一本故事書，第一天讀了全書的1/3，第二天比第一天多讀10頁，還剩下30頁沒有讀。這本故事書有

17、（ ） 頁。 練習(xí)6 1工程隊(duì)修一條水渠，已經(jīng)修了全長(zhǎng)的2/5，沒有修的比修了的多40米。這條水渠長(zhǎng)（ ）米。 2有一桶油，第一次取出40%，第二次取的比第一次少12千克，桶里還剩油28千克。全桶油重（ ）千克。 3一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時(shí)行了全程的1/5，第二小時(shí)行了全程的1/4，第三小時(shí)比第一小時(shí)多行5千米，第四小時(shí)比第二小時(shí)少行3千米，這時(shí)離乙地還有27千米。甲乙兩地的公路長(zhǎng)（ ）千米。 典型例題7 工程隊(duì)修一段公路，第一周修了全長(zhǎng)的1/3少50米，第二周修了全長(zhǎng)的1/4多80米， 兩周共修了730米， 還剩下470米沒有修， 這段公路長(zhǎng)（ ）米。 這段公路長(zhǎng)（ ）米。 鞏固練習(xí)

18、7 1一桶油，第一次倒出總數(shù)的 ，第二次倒出的比總數(shù)的 多2千克， 兩次一共倒出了18千克， 還剩下12千克。 原有油（ ）千克。 原有油（ ）千克。 2工程隊(duì)修一條水渠，第一天修的比全長(zhǎng)的1/3少8米，第二天修的比全長(zhǎng)的1/5多3米， 兩天一共修了35米， 還剩下40米沒有修， 這條水渠長(zhǎng)（ ）米。 這條水渠長(zhǎng)（ ）米。 3有一塊礦石是由銀和銅組成的。銀比總重量的5/12多40克，銅比總重量的7/16少5克。這塊礦石重（ ）克。 典型例題8 學(xué)校圖書室原有科技書和文藝書630本，其中科技書占1/5。這學(xué)期又買回了一批科技書，這時(shí)科技書占總本數(shù)的 3/10。又買回科技書（ ）本。 鞏固練習(xí)8

19、1某養(yǎng)雞場(chǎng)原有公雞和母雞3000只，其中公雞占3/5，最近賣了一批公雞，這時(shí)公雞占兩種雞總數(shù)的2/5。賣了（ ）只公雞。 2果園里有蘋果樹和梨樹1000棵，其中蘋果樹占3/5，今年又栽了一批梨樹，這時(shí)梨樹占兩種樹總棵數(shù)的1/2。今年栽了（ ）棵梨樹。 3建筑工地有兩堆磚，一共有2000塊，其中第二堆占3/5，第一次只用了第一堆磚，第一次用后第一堆磚占總塊數(shù)的3/8。第一次用了（ ）塊磚。 典型例題9 兄弟二人共儲(chǔ)蓄若干元，其中兄儲(chǔ)蓄占3/5。如果弟從自己的儲(chǔ)蓄中給兄18元，那么弟余下的儲(chǔ)蓄就占總數(shù)的1/4 了。兄儲(chǔ)蓄了（ ）元，弟儲(chǔ)蓄了（ ）元。 鞏固練習(xí)9 1兩筐蘋果共重若干千克，其中甲筐占總重量的11/20。如果從甲筐取出7.5千克放入乙筐，則乙筐就占總重量的3/5。甲筐原有蘋果（ ）千克，乙筐原有蘋果（ ）千克。 2一輛汽車要從甲地開往乙地，已經(jīng)行了3/5，如果再行30千米，沒有行的占全程的3/8。甲乙兩地的公路長(zhǎng)（ ）千米。 3一人從東村步行到西村，已經(jīng)走了全程的2/5，如果再走2.5千米就到達(dá)中點(diǎn)。東西兩村相距