2022年-學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：第二章2.3數(shù)學(xué)歸納法Word版含解析

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -數(shù)學(xué)歸納法預(yù)習(xí)課本P92 95， 摸索并完成以下問題1 數(shù)學(xué)歸納法的概念是什么？適用范疇是什么？2 數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是什么？新知初探 1 數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n 有關(guān)的命題，可按以下步驟進(jìn)行只要完成這兩個(gè)步驟，就可以肯定命題對(duì)從n0 開頭的全部正整數(shù)n 都成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法2 數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - -

2、 -點(diǎn)睛 數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)1 驗(yàn)證是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納法的原理說明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)n0，就是我們要證明的命 題對(duì)象對(duì)應(yīng)的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不肯定都是“ 1” ，因此 “ 找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)” 是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)2 遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k” 到“ k 1” 的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n k 到 n k 1 時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)3 利用假設(shè)是核心在其次步證明 n k 1 成立時(shí)，肯定要利用歸納假設(shè)，即必需把歸納假設(shè) “n k 時(shí)命題成立 ” 作為條件來導(dǎo)出 “ n k 1” ，在書寫 f

3、k 1時(shí)，肯定要把包含 f k的式子寫出來， 特別是 f k中的最終一項(xiàng)， 這是數(shù)學(xué)歸納法的核心 不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法小試身手 1判定 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”1 與正整數(shù)n 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法2 數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0 的初始值肯定為1.3 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不行答案： 1×2×3 2假如命題pn對(duì)全部正偶數(shù)n 都成立，就用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)須先證n 成立答案： 23已知 f n 1711231*nn N，運(yùn)算得f23， f4 2， f8 25， f16 3， 2f32 ，由此估計(jì)，當(dāng)n 2 時(shí)，有 2精選名師 優(yōu)秀名師

4、- - - - - - - - - -第 2 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -答案： f2n n 22用數(shù)學(xué)歸納法證明等式典例 用數(shù)學(xué)歸納法證明：2212n2nn 1*n1× 33× 52n 12n 122n 1N 121× 2證明 1 當(dāng) n 1 時(shí)， 1× 3 2×成立32 假設(shè)當(dāng) n kn N * 時(shí)等式成立，即有2212k2kk 1，1× 33× 52k 12k 122k 1就當(dāng) n k 1 時(shí)，122k22 k 121

5、× 3kk 13× 52k 12k 1k 122k 12k 3 k 1k 2， 22k 322k 12k 12k 3即當(dāng) n k 1 時(shí)等式也成立由1 2 可得對(duì)于任意的n N* 等式都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)留意的三點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，一是弄清n 取第一個(gè)值n0 時(shí)等式兩端項(xiàng)的情形；二是弄 清從 n k 到 n k1 等式兩端增加了哪些項(xiàng)，削減了哪些項(xiàng)；三是證明n k 1 時(shí)結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并朝n k 1 證明目標(biāo)的表達(dá)式變形活學(xué)活用 1求證： 1 1111 1 11n N * 2342n 12nn 1n 22n，證明： 1當(dāng) n

6、 1 時(shí)，左邊 1 1 122右邊1 1，左邊右邊112精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2 假設(shè) n kk N* 時(shí)等式成立，即11111 1 111 ， 2k就當(dāng) n k 1 時(shí)，2342k 12kk1k 211111 1112342k 12k2k 12k 21 k 11k 2 1 2k1 2k 112k 21k 21k 312k 112k 2.即當(dāng) n k 1 時(shí)，等式也成立綜合 1， 2 可知，對(duì)一切n N* ，等式成立典例

7、已知 n N * ， n 2，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式求證： 1 12 1 13nn 1.1證明 1 當(dāng) n 3 時(shí)，左邊 12立 1 ，右邊3 1 2，左邊右邊，不等式成 32 假設(shè)當(dāng) n kkN * ， k 3時(shí)，不等式成立，即 1 1 1 1k 1.23k當(dāng) n k 1 時(shí)，1 1 1 1 11k 12 3kk1k 1k 1 1k 1k 2k 2.k 1k 2由于k 1k 2k 2k 1 1，所 以 1 1 1 1 1k 1 1.23kk 1所以當(dāng) n k 1 時(shí)，不等式也成立由1， 2 知對(duì)一切 nN * ， n 2，不等式恒成立 一 題 多 變 1 變條件，變設(shè)問將此題中所要證明的不等

8、式改為：111 1 5*n 1n 2n 3n 2， n N3n6，如何證明？精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -證明： 1當(dāng) n 2 時(shí)，111 34515 ，不等式成立662 假設(shè)當(dāng) n kk2， k N* 時(shí)，命題成立即11 1 5.k 1k 23k6就當(dāng)n k 1 時(shí)，11 1 1111k 1 1k 1 23k3k 13k 23k 1k 11 1 1111 5 11115k 23k3k 13k 23k 3k 163k 13k 23

9、k 3k 163×11 563k 3k 1.所以當(dāng) n k 1 時(shí)，不等式也成立由1， 2 可知，原不等式對(duì)一切n 2， n N* 都成立2 變條件，變設(shè)問將此題中所要證明的不等式改為：11 311 5112n 12n 12n 2， n N*，如何證明？證明： 1當(dāng) n 2 時(shí)，左邊 1 1 345.，右邊32左邊右邊，所以原不等式成立2 假設(shè)當(dāng) n kk2， k N* 時(shí)不等式成立，即 1131 1511 2k 12k 12.就當(dāng) n k 1 時(shí)，左邊1 131 15112k 1112k 1 2k 222k 1 1·2k 14k2k 22 8k 44k2 8k 322k

10、122k 122k 12k 3· 2k 122k 12k 1 12.所以，當(dāng)n k 1 時(shí)不等式也成立由1和2 可知，對(duì)一切n 2， n N * 不等式都成立用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵 1驗(yàn)證第一個(gè)n 的值時(shí)，要留意n0 不肯定為1，如 n kk 為正整數(shù) ，就 n0 k 1. 2證明不等式的其次步中，從n k 到 n k 1 的推導(dǎo)過程中，肯定要用到歸納假設(shè)，精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -不應(yīng)用歸納假設(shè)的證明不是

11、數(shù)學(xué)歸納法，由于缺少歸納假設(shè)3用數(shù)學(xué)歸納法證明與n 有關(guān)的不等式一般有兩種詳細(xì)形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)其次類形式往往要先對(duì)n 取前 n 個(gè)值的情形分別驗(yàn)證比較，以免顯現(xiàn)判定失誤，最終猜出從某個(gè)n 值開頭都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n k 時(shí)成立得nk 1 時(shí)成立， 主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等歸納 猜想 證明典例 考察以下各式2 2× 13× 4 4× 1× 34× 5× 6 8× 1× 3×5

12、5× 6× 7× 8 16× 1× 3× 5× 7你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？ 解 由 題 意 得 ， 2 2× 1,3× 4 4× 1× 3,4× 5× 6 8× 1× 3× 5,5× 6× 7× 8 16× 1× 3× 5× 7，·1·3·5· ·2n 1，猜想： n 1 n 2 n 32n 2n下

13、面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明： 證明： 1當(dāng) n 1 時(shí)，明顯成立；·2 假設(shè)當(dāng) n k 時(shí)等式成立，即k 1 k 2 k 32k 2k 1·3·5· ·2k 1，那么當(dāng) n k 1 時(shí)，k 1 1 k 1 2 k 13 · ·2k 1 k 1k 2 · ·2k·2k1 ·2 2k·1·3·5· ·2k 12k 1 ·2 2k 1·1·3·5· ·2k 1 2k 1·1&

14、#183;3·5· ·2k 11所以當(dāng) n k 1 時(shí)等式成立依據(jù) 12 可知對(duì)任意正整數(shù)等式均成立1 “歸納 猜想 證明”的一般環(huán)節(jié)精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2 “歸納 猜想 證明 ” 的主要題型 已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)或前n 項(xiàng)和 由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在 給出一些簡潔的命題n1,2,3 ，猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n 都成立的一般性命題活學(xué)活用

15、數(shù)列 a中， a 1，a1a n 1an 2，求 a，a ，猜想 a的表達(dá)式，并n12 ，且4n 1n an n3 4n加以證明解： a21，且 an 141n 1ann an n 2，1 a3a22 a24 1， a 1742a3 3a32× 71110.2 43 7猜想： a 1n N * n3n 2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確1 當(dāng) n 1,2 易知猜想正確*2 假設(shè)當(dāng) n kk2， k N 時(shí)猜想正確，即 ak1.3k 2當(dāng) n k 1 時(shí)，ak 1k 1ak k akk 1 · 13k 21k 3k 2k 13k 23k2 2k 13k 2精選名師 優(yōu)秀名師 -

16、- - - - - - - - -第 7 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -k 13k2 2k 1k 13k 1 k 113k 113k 1 2 n k 1 時(shí)猜想也正確由12 可知，猜想對(duì)任意n N* 都正確1設(shè) Sk111層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1 ，就 Sk 1 為k 1A Sk12k 2k 2k 32kB Sk12k 112k 2C Sk11D Sk112k 12k 22k 22k 1解析： 選 C因式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù)，就由Sk11 1 ，k1k 22k得 S 11 1 11.k

17、1k 2k 32k2k 1112k 11由 ，得 Sk 1 Sk2k 12k 1k 11111 S 12k2 k 1.故 Sk 1k2k 12k 1.111*2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1 2 3 2n 1 nn 2， nN k 變到 nk 1 時(shí)，左邊增加了A 1 項(xiàng)B k 項(xiàng)的過程中，由n2C k 1 項(xiàng)D 2k 項(xiàng)解析： 選 D當(dāng) n k 時(shí)，不等式左邊的最終一項(xiàng)為k 1，而當(dāng) nk 1 時(shí)，最終一項(xiàng)為112 112k 12k 1 2k，并且不等式左邊和式的分母的變化規(guī)律是每一項(xiàng)比前一項(xiàng)加1，故增加了2k 項(xiàng)3一個(gè)與正整數(shù)n 有關(guān)的命題，當(dāng)n2 時(shí)命題成立，且由nk 時(shí)命題成立可以推精選名

18、師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -得 n k 2 時(shí)命題也成立，就A該命題對(duì)于n 2 的自然數(shù)n 都成立B該命題對(duì)于全部的正偶數(shù)都成立C該命題何時(shí)成立與k 取值無關(guān) D以上答案都不對(duì)解析： 選 B由 n k 時(shí)命題成立可推出n k 2 時(shí)命題也成立，又n 2 時(shí)命題成立，依據(jù)逆推關(guān)系，該命題對(duì)于全部的正偶數(shù)都成立，應(yīng)選B.4對(duì)于不等式n2 n n 1n N * ，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：1 當(dāng) n 1 時(shí)，2 1 1 1，不等式成

19、立12 假設(shè)當(dāng)n kkN * 時(shí)，不等式成立，即k2 k k 1 ，就當(dāng)n k 1 時(shí)，k 12 k 1k2 3k 2k2 3k 2 k 2k 22 k 1 1， n k 1 時(shí)，不等式成立，就上述證法 A過程全部正確B n 1 驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從 n k 到 n k 1 的推理不正確解析： 選 D在 n k 1 時(shí)，沒有應(yīng)用n k 時(shí)的歸納假設(shè)，應(yīng)選D. 5設(shè) fn 5n 2× 3n 1 1n N* ，如 fn能被 mm N* 整除，就 m 的最大值為 A 2B 4C 8D 16解析： 選 Cf1 8， f2 32， f3 144 8× 18，猜想 m 的最大

20、值為8. 6用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的自然數(shù)n，總有 2n n3”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)值n0 最小應(yīng)當(dāng)是 解析： 210 1 024 103, 9 512 93， n最小應(yīng)為10.20答案： 10111117用數(shù)學(xué)歸納法證明22 32n 12，假設(shè) n k 時(shí)，不等式成立，就2n2當(dāng) n k 1 時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是 解析： 觀看不等式中分母的變化便知答案： 11111122 3222k1 k22k 38對(duì)任意n N*, 34n 2 a2n 1 都能被 14 整除，就最小的自然數(shù)a .解析： 當(dāng) n 1 時(shí)， 36 a3 能被 14 整除的數(shù)為a 3 或 5；當(dāng) a 3

21、 且 n 2 時(shí)， 310 35不能被 14 整除，故a 5.精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -答案： 59已知 n N* ，求證 1·22 2·32 2n 1 ·2n2 2n·2n 12 n n 14n 3證明： 1當(dāng) n 1 時(shí)，左邊 4 18 14 1× 2× 7右邊2 假設(shè)當(dāng) n kkN * ，k 1時(shí)成立，即1·22 2·32 2k 1 

22、3;2 k2 2k·2k 12 kk 14 k 3 就當(dāng) n k 1 時(shí)，1·22 2·32 2k 1 ·2k2 2k·2k 12 2k 1 ·2k 22 2k 2 ·2k 32 kk 14k 3 2k22 k 12k 2 2k 32 kk 14k 3 2k1 · 6k7 k 1 k 2 4 k 7 k 1 · k 1 14 k 1 3，即當(dāng) n k 1 時(shí)成立由12 可知，對(duì)一切n N * 結(jié)論成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明1 n 1111 1* 22 3 2n nn N 2證明： 1當(dāng) n 1 時(shí)， 3 1

23、 1 3，命題成立222*k11112 假設(shè)當(dāng) n kkN就當(dāng) n k 1 時(shí)，時(shí)命題成立，即1 1 22 32k2 k，k 1111111kk12 2k 1 k 2 2k 2k 1 2 2 ·k213 k 22112.又 111111 kk11kkk 11 k2322 12 22 2 k 22· k 2 k 1， 2即 n k 1 時(shí)，命題成立由1和2 可知，命題對(duì)全部n N* 都成立層級(jí)二應(yīng)試才能達(dá)標(biāo)1.凸 n 邊形有 fn條對(duì)角線，就凸n 1 邊形對(duì)角線的條數(shù)fn 1為A fn n1B fn nC fn n1D fn n 2解析： 選 C增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n 1 3

24、 條對(duì)角線，另外原先的一邊也變成了對(duì)角線，故fn 1 fn 1 n 1 3 fn n 1.故應(yīng)選 C.2設(shè) fn 1111n N*，那么 fn 1 f n等于 233n 11A. 3n 2C.11B. 3n113n 1D. 1 113n 13n 23n3n 13n 2精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 10 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -解析： 選 Dfn 1 fn 1 11.3n3n 13n 23設(shè)平面內(nèi)有k 條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k 條直線的

25、交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 f k，就 fk 1與 fk的關(guān)系是 A fk 1 fk k 1 B fk 1 fk k 1 C fk 1 fk kD fk 1 fk k 2解析： 選 C當(dāng) nk 1 時(shí)，任取其中1 條直線記為l，就除 l 外的其他k 條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為fk，由于已知任何兩條直線不平行，所以直線l 必與平面內(nèi)其他k 條直線都相交有 k 個(gè)交點(diǎn) ；又由于任何三條直線不過同一點(diǎn)，所以上面的k 個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同，且與平面內(nèi)其他的fk個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而n k 1 時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是fk k fk 14如命題Ann N* nkk N* 時(shí)命題成立，就有n k 1 時(shí)命題成立現(xiàn)知命題對(duì) n n0n0 N

26、* 時(shí)命題成立，就有A命題對(duì)全部正整數(shù)都成立B命題對(duì)小于n0 的正整數(shù)不成立，對(duì)大于或等于n0 的正整數(shù)都成立C命題對(duì)小于n0 的正整數(shù)成立與否不能確定，對(duì)大于或等于n0 的正整數(shù)都成立 D以上說法都不正確解析： 選 C由題意知n n0 時(shí)命題成立能推出n n0 1 時(shí)命題成立， 由 n n0 1 時(shí)命題成立，又推出n n0 2 時(shí)命題也成立，所以對(duì)大于或等于n0 的正整數(shù)命題都成立，而對(duì)小于n0 的正整數(shù)命題是否成立不確定n 25用數(shù)學(xué)歸納法證明1 a a2 an 1 1 a1 an N* ， a 1，在驗(yàn)證n 1 成立時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為 解析： 當(dāng) n 1 時(shí)， n 1 2，所以左邊 1

27、a a2.答案： 1 a a26用數(shù)學(xué)歸納法證明1 2 22 2n 1 2n 1n N* 的過程如下：當(dāng) n 1 時(shí)，左邊 20 1，右邊 21 1 1，等式成立假設(shè) n kk 1，且 k N * 時(shí)，等式成立，即1 2 22 2k 1 2k 1.就當(dāng) n k 1 時(shí)， 1 2 22 2k 1 2k所以當(dāng) n k 1 時(shí)，等式也成立由知，對(duì)任意nN * ，等式成立上述證明中的錯(cuò)誤是 1 2k11 2 2k 1 1，精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 11 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - -

28、 - - - -解析： 由證明過程知，在證從n k 到 n k 1 時(shí)，直接用的等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式，沒有用上歸納假設(shè)，因此證明是錯(cuò)誤的答案： 沒有用歸納假設(shè)7平面內(nèi)有nn N* 個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n 個(gè)圓把平面分成n2 n 2 部分證明： 1當(dāng) n 1 時(shí)， n2 n 2 2，即一個(gè)圓把平面分成兩部分，故結(jié)論成立2 假設(shè)當(dāng) n kk1， k N* 時(shí)命題成立，即k 個(gè)圓把平面分成k2 k 2 部分就當(dāng) n k 1 時(shí)，這 k 1 個(gè)圓中的k 個(gè)圓把平面分成k2 k 2 個(gè)部分，第k 1 個(gè)圓被前 k 個(gè)圓分成2k 條弧，這2k 條弧中的每一

29、條把它所在的平面部分都分成兩部分，這樣共增加 2k 個(gè)部分，故k1 個(gè)圓把平面分成k2 k 2 2k k 12 k 1 2 部分， 即 n k 1 時(shí)命題也成立綜上所述，對(duì)一切n N* ，命題都成立8已知某數(shù)列的第一項(xiàng)為1，并且對(duì)全部的自然數(shù)n 2，數(shù)列的前n 項(xiàng)之積為n2 .1 寫出這個(gè)數(shù)列的前5 項(xiàng)；2 寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明解： 1已知 a1 1，由題意，得a1 ·a2 22， a2 22 .32 a1·a2·a3 32， a3 2 .24252同理，可得a4 32， a5 42.因此這個(gè)數(shù)列的前5 項(xiàng)分別為1,4， 9， 16， 25.49162

30、 觀看這個(gè)數(shù)列的前5 項(xiàng)，推測數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為：an 1n 1，n22n 2.n 1n2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n 2 時(shí)， an 2.n 1222 當(dāng) n 2 時(shí)， a2 2 12 2，結(jié)論成立 假設(shè)當(dāng) n kk 2， k N * 時(shí)，結(jié)論成立，22.即 akk k 1 a1·a2· ·ak 1 k 12， a1·a2 · ·ak 1·ak·ak 1 k 12，精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 12 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) -

31、 - - - - - - - - - - -2 a k12 k 12k12k 12k 1k 1a1·a2· ·ak 1 ·akk 12·k2k2k 1 12.這就是說當(dāng)n k 1 時(shí)，結(jié)論也成立依據(jù) 可知，當(dāng)n2 時(shí)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是22.an n n 1 這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an 1 n 1，2n n 12 n 2.時(shí)間：120 分鐘滿分： 150 分 一、挑選題 本大題共12 小題，每道題5 分，共 60 分在每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有哪一項(xiàng)符合題目要求的1依據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)fx x2 在 R 上是偶函數(shù)”的推理過程是 A歸納

32、推理B類比推理C演繹推理D非以上答案解析： 選 C依據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，應(yīng)選C. 2自然數(shù)是整數(shù)，4 是自然數(shù)，所以4 是整數(shù)以上三段論推理 A正確B推理形式不正確C兩個(gè)“自然數(shù)”概念不一樣D“兩個(gè)整數(shù)”概念不一樣解析： 選 A三段論中的大前提、小前提及推理形式都是正確的3設(shè) a， b， c 都是非零實(shí)數(shù)，就關(guān)于a， bc， ac， b 四個(gè)數(shù)，有以下說法：四個(gè)數(shù)可能都是正數(shù)；四個(gè)數(shù)可能都是負(fù)數(shù)；四個(gè)數(shù)中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)就說法中正確的個(gè)數(shù)有A 0B 1C 2D 3解析： 選 B可用反證法推出， 不正確，因此 正確4以下推理正確選項(xiàng)A把 ab c與 loga x y類比，就有

33、logax y logax logay B把 ab c與 sinx y類比，就有sinx y sin x sin yC把 ab c與 ax y 類比，就有ax y ax ayD把 a b c 與xyz 類比，就有 xyz xyz解析： 選 Dxyz xyz是乘法的結(jié)合律，正確精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 13 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2fx 5已知 fx 1 fx 24， f1 1x N * ，猜想 fx的表達(dá)式為 2A fx 2x 2B fx x 112C

34、 fx x 1D fx 2x 1解析： 選 Bf22， f32， f4 2，猜想 fx2.2 13 14 1x 16求證：23>5.證明：由于23和5都是正數(shù)，所以為了證明23>5，只需證明 232>52 ，綻開得 5 26>5，即 26>0 ，此式明顯成立，所以不等式23>5成立上述證明過程應(yīng)用了A綜合法B分析法C綜合法、分析法協(xié)作使用D間接證法解析： 選 B證明過程中的“ 為了證明” ， “ 只需證明” 這樣的語句是分析法所特有的，是分析法的證明模式.7已知 bn 為等比數(shù)列，b5 2，就b1b2b3b9 29 如an為等差數(shù)列，a5 2，就 an的類似

35、結(jié)論為A a1 a2a3a9 29B a1 a2 a9 29C a1 a2a9 2× 9D a1 a2 a9 2× 9解析： 選 D由等差數(shù)列性質(zhì)，有a1 a9 a2 a82a5.易知 D 成立8如數(shù)列 an是等比數(shù)列，就數(shù)列an an 1 A肯定是等比數(shù)列B肯定是等差數(shù)列C可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列D肯定不是等比數(shù)列解析： 選 C設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，就 an an 1 an1 q 當(dāng) q 1 時(shí)， an an 1肯定是等比數(shù)列；當(dāng) q 1 時(shí)， an an 1 0，此時(shí)為等差數(shù)列 9已知 a b c 0，就 ab bc ca 的值 A大于 0B小于 0精選名

36、師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 14 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -C不小于0D不大于0解析： 選 D法一： a b c 0， a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 0， ab ac bc a2 b2 c22 0.法二： 令 c 0，如 b 0，就 ab bc ac 0，否就 a， b 異號(hào)， ab bc ac ab<0，排除 A 、B、C，選 D.10已知 1 2× 3 3× 32 4×33 n×3n 1 3n na b

37、 c 對(duì)一切 n N* 都成立，那么 a， b， c 的值為 11A a ， b c1B a bc2441C a 0， b c4D不存在這樣的a，b， c解析： 選 A令 n 1,2,3，3a b c 1， 得 92a b c 7，273 a b c34.，所以 a12b c 1.411已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn，且 a1 1，Sn n2ann N* ，可歸納猜想出Sn 的表達(dá)式為 A S 2n3n 1B S nn 1nn 12n 1C S D S 2nn 21S2411a3 323， a313336nn2n解析： 選 A由 a1 1，得 a1 a222a2， a2 ， ；又 a ，

38、S33 6；24又 111 a4 16a4，得 a41 ， S4 836由 S24105.682n.1 2， S2， S334， S4可以猜想Sn 5n112設(shè)函數(shù)fx定義如下表，數(shù)列xn滿意 x0 5，且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn 1 f xn ，就 x2 016 x12345A.1f x41B 2352精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 15 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -C 4D 5解析：選 Dx1 fx0 f5 2，x2 f2 1，x3 f1 4，x4 f 4 5，

39、x5 f5 2，數(shù)列 xn是周期為4 的數(shù)列，所以x2 016 x4 5，故應(yīng)選 D.二、填空題 本大題共4 小題，每道題5 分，滿分20 分把答案填在題中的橫線上 13已知 x， y R，且 x y<2，就 x， y 中至多有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為 解析： “ 至多有一個(gè)大于1” 包括 “ 都不大于1 和有且僅有一個(gè)大于1” ，故其對(duì)立面為“ x， y 都大于 1”答案： x， y 都大于 114已知 a>0， b>0， m lgab2， n lga b2，就 m， n 的大小關(guān)系是 解析： ab>0.ab>0. a b 2ab>a b.

40、ab2>a b2.ab>ab.ab2>a b.lg2ab2>lgab 2.答案： m>n3223315已知2 2，3 ，4 4 3388154aa4，615就 a b . 6 b，a， b 均為正實(shí)數(shù)，由以上規(guī)律可估計(jì)出a， b 的值，b6，解析： 由題意歸納推理得6 aab 62 1bb 35， a 6. a b6 35 41.答案： 4116現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖， 同一平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是 a 的正方形， 其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，就這兩個(gè)正方形重疊a2部分的面積恒為4 .類比到空間， 有兩個(gè)棱長為a 的正方體， 其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，就這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為 a3解析： 解法的類比 特別化 ，易得兩個(gè)正方體重疊部分的體積為8 .3答案： a8三、解答題 本大