[高中數(shù)學(xué)]函數(shù)的零點(diǎn)

1、241 函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)請你先想一個(gè)問題。請你先想一個(gè)問題。已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=x2x6，試問，試問x取哪些取哪些值時(shí)，值時(shí)，y=0?求使求使y=0的的x值，也就是值，也就是求二次方程求二次方程x2x6=0的所有根的所有根 .解此方程得解此方程得x1=2，x2=3。 這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)x=2或或x=3時(shí)，這個(gè)函數(shù)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值的函數(shù)值y=0。 畫出這個(gè)函數(shù)的畫出這個(gè)函數(shù)的簡圖，從圖象上可以簡圖，從圖象上可以看出，它與看出，它與x軸相交于軸相交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)(2，0)、(3，0)。 這兩點(diǎn)把這兩點(diǎn)把x軸分成三個(gè)區(qū)間軸分成三個(gè)區(qū)間(，2)、(2，3)、(3，+)。 當(dāng)當(dāng)x(，2

2、)時(shí)，時(shí)，y0；當(dāng)；當(dāng)x(2，3)時(shí)，時(shí)，y0.二次方程二次方程x2x6=0的根的根2，3常稱作函數(shù)常稱作函數(shù)y=x2x6的零點(diǎn)。在坐標(biāo)系中表示的零點(diǎn)。在坐標(biāo)系中表示圖象與圖象與x軸的公共點(diǎn)軸的公共點(diǎn)是是(2，0)、(3，0)。零點(diǎn)的定義零點(diǎn)的定義： 一般地，如果函數(shù)一般地，如果函數(shù)y=f(x)在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)處的值處的值等于等于0，即，即f()=0，則，則叫做這個(gè)函數(shù)的零叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)。在坐標(biāo)系中表示圖象與點(diǎn)。在坐標(biāo)系中表示圖象與x軸的公共點(diǎn)軸的公共點(diǎn)是是(，0)。我們知道，對于我們知道，對于二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c：當(dāng)當(dāng)=b24ac0時(shí)，方程時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩有兩

3、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，這時(shí)說二次函數(shù)個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，這時(shí)說二次函數(shù)y= ax2+bx+c有有兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)=b24ac=0時(shí)，方程時(shí)，方程ax2+bx+c=0有有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，這時(shí)說二次函數(shù)兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，這時(shí)說二次函數(shù)y= ax2+bx+c有一個(gè)有一個(gè)二重的零點(diǎn)二重的零點(diǎn)或說有或說有二階二階零點(diǎn)零點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)=b24ac0時(shí)，方程時(shí)，方程ax2+bx+c=0沒沒有實(shí)數(shù)根，這時(shí)說二次函數(shù)有實(shí)數(shù)根，這時(shí)說二次函數(shù)y= ax2+bx+c沒有零點(diǎn)沒有零點(diǎn)； 考慮函數(shù)考慮函數(shù)是否有零點(diǎn)是否有零點(diǎn)是研究函數(shù)性質(zhì)和精是研究函數(shù)性質(zhì)和精確地畫出函數(shù)圖象的重要一步。確地畫出函數(shù)圖象的重要一步。 例如求

4、出例如求出二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)及其圖象的及其圖象的頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)，就能確定二次函數(shù)的一些，就能確定二次函數(shù)的一些主要性質(zhì)主要性質(zhì)，并能并能粗略地畫出函數(shù)的簡圖粗略地畫出函數(shù)的簡圖。 另外，我們還能另外，我們還能從二次函數(shù)的圖象看到二次從二次函數(shù)的圖象看到二次函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)：的性質(zhì)： （1）當(dāng)函數(shù)圖象通過零點(diǎn)）當(dāng)函數(shù)圖象通過零點(diǎn)且穿過且穿過x軸時(shí)軸時(shí)，函函數(shù)值變號數(shù)值變號。如上例，函數(shù)。如上例，函數(shù)y= x2x6的圖象的圖象在零點(diǎn)在零點(diǎn)2的左邊時(shí)，函數(shù)值取正號，當(dāng)它通的左邊時(shí)，函數(shù)值取正號，當(dāng)它通過第一個(gè)零點(diǎn)過第一個(gè)零點(diǎn)2時(shí)，函數(shù)值由正變?yōu)樨?fù)，再時(shí)，函數(shù)值由正變?yōu)樨?fù)，再通過第二

5、個(gè)零點(diǎn)通過第二個(gè)零點(diǎn)3時(shí)，函數(shù)值又由負(fù)變正。時(shí)，函數(shù)值又由負(fù)變正。 （2）兩個(gè)零點(diǎn)把）兩個(gè)零點(diǎn)把x軸分成三個(gè)區(qū)間：軸分成三個(gè)區(qū)間： (，2)、(2，3)、(3，+)， 在每個(gè)區(qū)間上，所有函數(shù)值在每個(gè)區(qū)間上，所有函數(shù)值保持同號保持同號。例例1. 求函數(shù)求函數(shù)y=x32x2x+2的零點(diǎn)，并畫出的零點(diǎn)，并畫出它的圖象。它的圖象。解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閤32x2x+2=x2(x2)(x2) =(x2)(x+1)(x1). 所以函數(shù)的零點(diǎn)為所以函數(shù)的零點(diǎn)為1，1，2.3個(gè)零點(diǎn)把個(gè)零點(diǎn)把x軸分成軸分成4個(gè)區(qū)間：個(gè)區(qū)間：(，1)、(1，1)、(1，2)、(2，+)。在這四個(gè)區(qū)間內(nèi)，取在這四個(gè)區(qū)間內(nèi)，取x的一些值，

6、以及零點(diǎn)，的一些值，以及零點(diǎn)，列出這個(gè)函數(shù)的對應(yīng)值表：列出這個(gè)函數(shù)的對應(yīng)值表：x1.51 0.5 00.511.522.5y4.38 01.8821.1300.6302.63在直角坐標(biāo)系內(nèi)描在直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)連線，這個(gè)函數(shù)點(diǎn)連線，這個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示。的圖象如圖所示。例例2求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x3x的零點(diǎn)，并畫出它的圖的零點(diǎn)，并畫出它的圖象。象。 解：解：x3x=x(x+1)(x1)，令，令f(x)=0，即，即x(x+1)(x1)=0， 解得解得x1=0，x2=1，x3=1，所以函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)有三個(gè)，為的零點(diǎn)有三個(gè)，為1，0，1， 這三個(gè)點(diǎn)把這三個(gè)點(diǎn)把x軸分成四個(gè)區(qū)間，軸

7、分成四個(gè)區(qū)間，(，1)、(1，0)、(0，1)、(1，+)，在這四個(gè)區(qū)間，在這四個(gè)區(qū)間中取一些中取一些x的值，列出函數(shù)的對應(yīng)值表：的值，列出函數(shù)的對應(yīng)值表： x1.510.500.511.5y 1.87500.37500.37501.875在直角坐標(biāo)系中描在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)作圖得到圖象。點(diǎn)作圖得到圖象。f(x)=x3x例例3若方程若方程7x2(k+13)x+k2k2=0的兩的兩實(shí)根分別在區(qū)間實(shí)根分別在區(qū)間(0，1)，(1，2)內(nèi)，則（內(nèi)，則（ ）（A） （B）k4（C）1k1或或3k4 （D）2k1或或3k432k 解：函數(shù)解：函數(shù)f(x)=7x2(k+13)x+k2k2的圖象的圖象是開口向上

8、的拋物線，兩個(gè)零點(diǎn)分別在是開口向上的拋物線，兩個(gè)零點(diǎn)分別在(0，1)，(1，2)內(nèi)，所以由圖象可知，函數(shù)內(nèi)，所以由圖象可知，函數(shù)y=f(x)滿足滿足 ，即，即 ，(0)0(1)0(2)0fff2222028030kkkkkk212430kkkkk 或或解得，解得，所以所以2k1或或3k4，選，選D。例例4已知已知mR，函數(shù)，函數(shù)f(x)=m(x21)+xa恒有恒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。的取值范圍。 解：（解：（1）當(dāng)）當(dāng)m=0時(shí)，時(shí)，f(x)=xa=0解得解得x=a恒恒有解，此時(shí)有解，此時(shí)aR； （2）當(dāng)）當(dāng)m0時(shí)，時(shí)， f(x)=0，即，即mx2+xma=0恒有解，恒有解， 1=1+4m2+4am0恒成立，恒成立， 令令g(m)=4m2+4am+1， g(m)0恒成立，恒成立， 2=16a2160，解得，解得1a1。 綜上所述知，當(dāng)綜上所述知，當(dāng)m=0時(shí)，時(shí)，aR； m0時(shí)，時(shí)，1a1。例例5方程方程x2+(m2)x+5m=0的兩根都大于的兩根都大于2，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a