202X版高中數(shù)學(xué)第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式復(fù)習(xí)課課件新人教A版選修4_5

1、復(fù)習(xí)課第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.梳理數(shù)學(xué)歸納法的思想方法，初步形成“歸納猜測證明的思維模式.2.熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、等式等問題的證明步驟.知識梳理達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引知識梳理1.數(shù)學(xué)歸納法是用有限個步驟，就能夠處理完無限多個對象的方法.2.一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當(dāng)nn0時命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN且kn0)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立.完成以上兩個步驟，就可以斷定命題對不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.3.在數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟中，第一步是奠基，第二

2、步是假設(shè)與遞推，遞推是實現(xiàn)從有限到無限飛躍的關(guān)鍵.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，關(guān)鍵是在假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時命題成立的條件下，推出當(dāng)nk1時命題成立這一步，為完成這步證明，不僅要正確使用歸納假設(shè)，還要用到分析法，綜合法，放縮法等相關(guān)知識和方法.題型探究類型一歸納猜測證明例例1數(shù)列數(shù)列an的第一項的第一項a15且且Sn1an(n2，nN).(1)求求a2，a3，a4，并由此猜測，并由此猜測an的表達(dá)式；的表達(dá)式；解解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，解答證明(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項公式.證明當(dāng)證明當(dāng)n2時，時，a252225，公式成立，公式成立

3、.假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk時成立，時成立，即即ak52k2(k2，kN)，當(dāng)當(dāng)nk1時，由條件和假設(shè)有時，由條件和假設(shè)有ak1Ska1a2ak551052k2故當(dāng)nk1時公式也成立.由可知，對n2，nN有an52n2.反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察歸歸納納猜測猜測證明證明.即先通過觀察局部項的特點(diǎn)，進(jìn)展歸納，判斷并猜即先通過觀察局部項的特點(diǎn)，進(jìn)展歸納，判斷并猜測出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展證明測出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)展證明.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1設(shè)設(shè)f(n)0(nN)，對任意自然數(shù)，對任意自然數(shù)n1和和n2總有總有f

4、(n1n2)f(n1)f(n2)，又，又f(2)4.(1)求求f(1)，f(3)的值；的值；解由于對任意自然數(shù)解由于對任意自然數(shù)n1和和n2，總有總有f(n1n2)f(n1)f(n2).取取n1n21，得，得f(2)f(1)f(1)，即，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取取n11，n22，得，得f(3)23.解答(2)猜測f(n)的表達(dá)式，并證明你的猜測.解由解由f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜測猜測f(n)2n.證明：當(dāng)證明：當(dāng)n1時，時，f(1)2成立成立.假設(shè)假設(shè)nk(k1，kN)時，時，f(k)2k成立成立.當(dāng)當(dāng)nk1時，時，f(k1)f(k)f(1)2k

5、22k1，所以當(dāng)所以當(dāng)nk1時，猜測也成立時，猜測也成立.由知猜測正確，即由知猜測正確，即f(n)2n，nN.解答類型二用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或不等式命題角度命題角度1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(以三角函數(shù)為背景以三角函數(shù)為背景)證明證明證明(1)當(dāng)當(dāng)n2時，時，左邊左邊tan tan 2，tan tan 2，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時等式成立，當(dāng)nk1時，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)所以當(dāng)nk1時，等式也成立.由(1)和(2)知，當(dāng)n2，nN時等式恒成立.反思與感悟歸納法是證明有關(guān)正整數(shù)反思與感悟歸納法是證

6、明有關(guān)正整數(shù)n的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個命題必須分兩個步驟：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個命題必須分兩個步驟：(1)論證命題的起始正確性，論證命題的起始正確性，是歸納的根底；是歸納的根底；(2)推證命題正確的可傳遞性，是遞推的依據(jù)推證命題正確的可傳遞性，是遞推的依據(jù).兩步缺一不兩步缺一不可，證明步驟與格式的標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)學(xué)歸納法的一個特征可，證明步驟與格式的標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)學(xué)歸納法的一個特征.證明證明證明(1)當(dāng)當(dāng)n1時，左邊時，左邊2cos x1，即左邊右邊，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，命題成立，當(dāng)nk1時，左邊(2cos x1)(2cos 2x1)(

7、2cos 2k1x1)(2cos 2kx1)當(dāng)nk1時命題成立.由(1)(2)可知，當(dāng)nN時命題成立.命題角度命題角度2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式證明(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時，結(jié)論成立，那么當(dāng)nk1時，即當(dāng)nk1時，結(jié)論成立.反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，除了注意數(shù)學(xué)歸納法標(biāo)準(zhǔn)的格反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，除了注意數(shù)學(xué)歸納法標(biāo)準(zhǔn)的格式外，還要注意靈活利用問題的其他條件及相關(guān)知識式外，還要注意靈活利用問題的其他條件及相關(guān)知識.證明證明證明(1)當(dāng)當(dāng)n2時，時，(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時，命題成立，當(dāng)nk1時，所以當(dāng)nk1時，不等式也成立.由(1)(2)

8、可知，原不等式對一切n2，nN均成立.類型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例例4用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n1)(2n1)能被能被6整除整除.證明證明(1)當(dāng)當(dāng)n1時，時，123顯然能被顯然能被6整除整除.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，命題成立，時，命題成立，即即k(k1)(2k1)2k33k2k能被能被6整除整除.當(dāng)當(dāng)nk1時，時，(k1)(k2)(2k3)2k33k2k6(k22k1).因為因為2k33k2k,6(k22k1)都能被都能被6整除，整除，所以所以2k33k2k6(k22k1)能被能被6整除，整除，即當(dāng)即當(dāng)nk1時命題成立時命題成立.由由(1)和和(2)知，對

9、任意知，對任意nN原命題成立原命題成立.證明反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點(diǎn)反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項、減項、拆項、并項、用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證題獲證.(2)與與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵問題是從有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中關(guān)鍵問題是從nk1時的表達(dá)式中分解出時的表達(dá)式中分解出nk時的表達(dá)式與一個含除式的因式或幾個含時的表

10、達(dá)式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式除式的因式.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4設(shè)設(shè)xN，nN，求證：求證：xn2(x1)2n1能被能被x2x1整除整除.證明證明證明(1)當(dāng)當(dāng)n1時，時，x3(x1)3x(x1)x2x(x1)(x1)2(2x1)(x2x1)，結(jié)論成立，結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，結(jié)論成立，時，結(jié)論成立，即即xk2(x1)2k1能被能被x2x1整除，整除，那么當(dāng)那么當(dāng)nk1時，時，x(k1)2(x1)2(k1)1xxk2(x1)2(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x1)2(x1)2k1x(x1)2k1xxk2(x1)2k1(x2x1)(x1)2k1.由假設(shè)知，x

11、k2(x1)2k1及x2x1均能被x2x1整除，故x(k1)2(x1)2(k1)1能被x2x1整除，即當(dāng)nk1時，結(jié)論也成立.由(1)(2)知，原結(jié)論成立.達(dá)標(biāo)檢測1234答案證明：(1)當(dāng)n1時，顯然命題是正確的；A.從k到k1的推理過程沒有使用歸納假設(shè) B.歸納假設(shè)的寫法不正確C.從k到k1的推理不嚴(yán)密 D.當(dāng)n1時，驗證過程不具體2.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立，那么，以下命題總成立的是A.假設(shè)f(3)9成立，那么當(dāng)k1時，均有f(k)k2成立B.假設(shè)f(5)25成立，那么當(dāng)k5時，均有f(k)k2成立C.假

12、設(shè)f(7)49成立，那么當(dāng)k8時，均有f(k)k2成立D.假設(shè)f(4)25成立，那么當(dāng)k4時，均有f(k)k2成立解析答案1234解析對于解析對于D，f(4)2542，當(dāng)當(dāng)k4時，均有時，均有f(k)k2.(k21)(k1)2解析當(dāng)解析當(dāng)nk1時，左端時，左端123k2(k21)(k1)2.所以增加了所以增加了(k21)(k1)2.1234解析答案1234證明所以a0a12，命題正確.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時命題成立，即ak1ak2.那么當(dāng)nk1時，1234而ak1ak0,4ak1ak0，所以akak10.1234所以當(dāng)nk1時命題正確.由(1)(2)可知，對一切nN，有anan12.1.在推證“nk1命題也成立時，必須把歸納假設(shè)“nk時的命題作為必備條件使用上，否那么不是數(shù)學(xué)歸納法.對項數(shù)估算的錯誤，特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時